Преобразования иррациональных выражений

Учитель математики Е.И.Акимова

Преобразования иррациональных выражений

2017г.

Что такое иррациональные выражения?

Иррациональные выражения начинают встречаться на этапе знакомства с корнем из числа, что обычно происходит на уроках алгебры в 8 классе. Здесь интуиция подсказывает, что иррациональные выражения как то связаны с корнями, и это действительно так. Следующее определение подтверждает нашу догадку:

Иррациональными выражениями называют выражения, содержащие операцию извлечения корня. Другими словами, иррациональные выражения – это выражения с радикалами (выражения, содержащие в своей записи знаки корня).

Если дан (имеется в выражении) корень следующего вида:

то это означает, что

Просто обычно в примерах двойка не пишется.

*Поэтому такой корень и называют квадратным (корень второй степени).

Если под корнем имеется ещё корень, то можем преобразовать:

И ещё одно очень важное свойство:

Оно легко доказывается. Мы знаем, что:

Как следствие:

То есть, если мы имеем корень какой-то степени и под корнем выражение с такой же степенью, то в результате получится это самое выражение.

Конечно, есть и другие, но они часто используются вами при решении заданий с  обычным квадратным корнем:

Сразу заметим, что при преобразовании иррациональных выражений, как и при преобразовании любых других выражений, надо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) и не допускать ее сужения.

С иррациональными выражениями, как и с выражениями других видов, можно проводить любые из основных тождественных преобразований, будь то раскрытие скобок, группировка и приведение подобных слагаемых и т.п. Это и понятно, так как в основе этих преобразований лежат такие свойства действий с числами, которые являются общими для чисел разных видов. Также понятно, что при проведении преобразований иррациональных выражений сохраняется принятый порядок выполнения действий. Покажем решения нескольких примеров.

Пример. Преобразуйте иррациональное выражение .

Решение. Для начала заменим корень из 81 его значением 9 (при необходимости смотрите извлечение корней), имеем

Очевидно, в полученном выражении присутствуют подобные слагаемые, поэтому целесообразно выполнить их приведение:

Ответ: .

Пример. Используя формулы сокращенного умножения, представьте иррациональное выражение  в виде произведения двух иррациональных выражений.

Решение. Очевидно, иррациональное выражение в скобках представляет собой квадрат разности, то есть, его можно заменить на , поэтому

А теперь девятку можно переписать как 3², после чего воспользоваться формулой разность квадратов:

В результате проделанных тождественных преобразований мы пришли к нужному нам произведению двух иррациональных выражений.

Ответ: .

Существует еще ряд преобразований, относящихся именно к иррациональным выражениям. Рассмотрим основные из них.

Одно из важнейших преобразований иррациональных выражений состоит в следующем: выражение под знаком корня можно заменить тождественно равным выражением. Сначала приведем примеры его выполнения, после чего поясним, на чем оно базируется.

Это утверждение дает возможность работать с подкоренными выражениями. Например, оно позволяет сумму под корнем в выражении  заменить ее значением, то есть, перейти к корню . Другой пример: иррациональное выражение  можно заменить тождественно равным ему выражением .

Почему данное преобразование имеет место? Дело в том, что когда мы давали определение корня из числа a, то мы сказали о его единственности. То есть, не существует числа a₁, отличного от a, для которого справедливо равенство , это равенство возможно лишь при a=a₁. Также мы знаем, что значения тождественно равных выражений A и A₁ равны при любых допустимых значениях переменных. Из этих фактов следует разбираемое утверждение.

Для тождественных преобразований иррациональных выражений широко используются свойства корней. Например, используя свойство , гдеa≥0, b≥0, от иррационального выражения  можно перейти к тождественно равному выражению . А свойство , где a≥0, позволяет выражение  переписать как .

Преобразование иррациональных выражений, содержащих под знаками корней отрицательные числа и выражения с переменными, сопряжено с рядом нюансов. Например, мы не имеем права записать равенство  на основании свойства корней, выраженного формулой . Дело в том, что указанная формула дана для неотрицательного числа a и положительного b, а −7 и −81 – отрицательные числа. Но если предварительно заменить дробь под знаком корня равной ей дробью 7/81, то дальше можно применять упомянутое свойство корней и переходить к выражению вида .

Подобные тонкости в деталях разобраны в статье преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней.

Свойства корней лежат в основе двух следующих преобразований, называемых внесением под знак корня и вынесением из-под знака корня, к рассмотрению которых мы и переходим.

Внесение множителя под знак подразумевает замену выражения , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, тождественно равным выражением, имеющим вид  или .

Например, иррациональное выражение  после внесения множителя 2 под знак корня принимает вид .

Теоретические основы этого преобразования, правила его проведения, а также решения всевозможных характерных примеров даны в статье внесение множителя под знак корня.

Преобразованием, в известном смысле обратным внесению множителя под знак корня, является вынесение множителя из-под знака корня. Оно состоит в представлении корня  в виде произведения  при нечетных n или в виде произведения  при четных n, где B и C – некоторые числа или выражения.

За примером вернемся в предыдущий пункт: иррациональное выражение после вынесения множителя из-под знака корня принимает вид . Другой пример: вынесение множителя из-под знака корня в выражении  дает произведение , которое можно переписать в виде .

На чем базируется это преобразование, и по каким правилам оно проводится, разберем в отдельной статье вынесение множителя из-под знака корня. Там же приведем решения примеров и перечислим способы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя.

Иррациональные выражения могут содержать дроби, в числителе и знаменателе которых присутствуют корни. С такими дробями можно проводить любые из основных тождественных преобразований дробей.

Во-первых, ничто не мешает работать с выражениями в числителе и знаменателе. В качестве примера рассмотрим дробь . Иррациональное выражение в числителе, очевидно, тождественно равно , а, обратившись к свойствам корней, выражение в знаменателе можно заменить корнем . В результате исходная дробь преобразуется к виду .

Во-вторых, можно изменить знак перед дробью, изменив знак числителя или знаменателя. Например, имеют место такие преобразования иррационального выражения: .

В-третьих, иногда возможно и целесообразно провести сокращение дроби. К примеру, как отказать себе в удовольствии сократить дробь  на иррациональное выражение , в результате получаем .

Понятно, что во многих случаях, прежде чем выполнить сокращение дроби, выражения в ее числителе и знаменателе приходится раскладывать на множители, чего в простых случаях позволяют добиться формулы сокращенного умножения. А иногда сократить дробь помогает замена переменной, позволяющая от исходной дроби с иррациональностью перейти к рациональной дроби, работать с которой комфортнее и привычнее.

Для примера возьмем выражение . Введем новые переменные  и , в этих переменных исходное выражение имеет вид . Выполнив в числителе разложение многочлена на множители по формуле разность квадратов, получаем возможность сократить дробь на u+v, имеем . Выполнив обратную замену, приходим к выражению , которое тождественно равно исходному иррациональному выражению на ОДЗ.

В-четвертых, дроби с иррациональностью можно приводить к новому знаменателю, умножая ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель. Например, приведем дробь  к новому знаменателю x. Для этого ее числитель и знаменатель следует умножить на иррациональное выражение , имеем .

Напомним, что выполнять сокращение дробей или приведение дробей к новому знаменателю необходимо на ОДЗ переменных для исходной дроби.

Умножение числителя и знаменателя дроби на некоторое иррациональное выражение часто используется для проведения преобразования, называемого избавлением от иррациональности в знаменателе. Разберем, как оно проводится.

Избавлением от иррациональности в знаменателе называют преобразование, при котором дробь заменяется тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знаков корней.

Например, замена дроби  дробью  есть освобождение от иррациональности в знаменателе.

Возникает вопрос: «Какие действия необходимо предпринять, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби»? Ответ на него содержится в материале статьи освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Переход от корней к степеням при преобразовании иррациональных выражений проводится на базе равенства , с помощью которого дается определение степени с рациональным показателем. Им безбоязненно можно пользоваться, когда a– положительное число, m – целое число, а n - натуральное. Например, корень можно заменить степенью с дробным показателем вида .

Если же под корнем находится отрицательное число или выражение с переменными, то формулой  надо пользоваться аккуратно. Например, мы не имеем права сразу заменить корни  и  степенями вида  и , так как формула  не имеет смысла для отрицательных a. Как поступать в таких случаях разберемся в статье переход от корней к степеням и обратно.

Задача

Найдите значение выражения

Второй способ:

 Ответ: 9

Задача.

Найдите значение выражения

Ответ: 0,25

Задача.

Найдите значение выражения

Ответ: 4

Задача.

Найдите значение выражения

Задача.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

При х = 3 получится 7+3∙3–4=12

Ответ: 12