Презентация "Интегрирование".

Интегрирование

Выполнила: Тумба Наталья

студентка группы Б-4051,

кафедра ВМиИ, СурГПУ

2016, Сургут

Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции).

Интегрирование – операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции.

Неопределенный интеграл от функции f(x) – совокупность всех первообразных для функции f(x) .

Неопределенный интеграл

•  - интеграл;
• f(x) – подынтегральная функция;
• f(x) dx – подынтегральное выражение.

Таблица простейших интегралов

Типы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

• Задание.  Вычислить неопределенный интеграл 
• Решение.  Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого вынесем из знаменателя    за знак интеграла

далее, используя таблицу интегралов (формула №15), получим:

• Ответ  

Внесение под знак дифференциала

• Задание.  Вычислить неопределенный интеграл 
• Решение.  Распишем подынтегральную сумму, используя тригонометрические функции (определение котангенса)

Внесем  под знак дифференциала:

Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

В результате получим

• Ответ  

Метод подстановки (замена переменной)

• Задание.  Найти неопределенный интеграл 
• Решение.  Введем замену  и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции:

• Сделаем обратную замену

• Ответ

Интегрирование по частям (метод стрелок)

• Задание.  Найти неопределенный интеграл 
• Решение.  Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого положим

Подставим это в формулу для интегрирования по частям, затем воспользуемся формулой интеграла косинуса из таблицы интегралов

• Ответ  

Метод неопределенных коэффициентов

• Задание.  Разложить рациональную дробь  на простые дроби.
• Решение.  Так как корнями знаменателя являются значения  , то его можно разложить на множители следующим образом:

• А тогда
• Искомое разложение имеет вид:
• Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:

• Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:

• Отсюда, искомое разложение:
• Ответ   

Интегрирование тригонометрических функций

• Задание.  Найти неопределенный интеграл 
• Решение.  Для вычисления исходного интеграла введем тригонометрическую замену   , тогда

• Подставляя это в искомый интеграл, получим

• Сделаем обратную замену
• Ответ  

Олимпиадные задачи на интегрирование

Задача 1.

• Вычислите:

Задача 2.

• Разрезать отрезок [- 1;1] на черные и белые отрезки так, чтобы интегралы любой

а) линейной функции;

б) квадратного трехчлена по белым и черным отрезкам были равны.

Задача 3.

• Вычислите:

Задача 4.

• Функция  y = f (x) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные.

Известно, что  f  (0) =  f  (1) = 0 и что | f"" ( x )| ≤ 1 на всём отрезке.

Какое наибольшее значение может принимать максимум функции  f  для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?

Задача 5.

• Муравей бежит от муравейника по прямой так, что его скорость обратно пропорциональна расстоянию до центра муравейника. В тот момент, когда муравей находится в точке А на расстоянии l 1 =1м от центра муравейника, его скорость равна v 1 =2см/с. За какое время t муравей добежит от точки А до точки В, которая находится на расстоянии l 2 =2м от центра муравейника? 

Источники:

• Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко.  9-е изд.  М. : Айрис-прес, 2011.  576 с.
• Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Режим доступа: http://school-collection.edu.ru /
• ФизМат БАНК. Режим доступа: http://fizmatbank.ru /
• Webmath.ru. Режим доступа: http ://www.webmath.ru /