Презентация к исследовательской работе "Задачи на делимость и методы их решения"

Задачи на делимость и методы их решения

Автор: Ермолаева Наталья Сергеевна Муниципальное бюджетное образовательное учреждение "Дульдургинская средняя общеобразовательная школа" ученица 9 - в класса Руководитель: Кибирева Ирина Валерьевна учитель математики высшей квалификационной категории Муниципальное бюджетное образовательное учреждение "Дульдургинская средняя общеобразовательная школа"

За­да­ние 19 №  507574

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решеними уравнения 2m − 3n = 1.

За­да­ние 19 №  507579

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3n − 2m = 1.

Цель: Расширить и углубить знания о делимости чисел, изученные на уроках математики и найти различные методы решения задач на делимость

Методы и приемы:

1. Анализ литературных и Интернет источников.

2. Моделирование. 3. Сравнение. 4. Синтез.

5. Описание.

Объект исследования: делимость чисел

Предмет исследования: методы решения задач на делимость

Гипотеза:

Если познакомиться с методами решения задач на делимость, то возможно их применение приведет к успешному решению задач повышенной сложности.

Задачи:

1. Изучение научной литературы по данной теме.

2. Осмысление основных понятий по выбранной теме.

3. Поиск и подборка задач.

4. Решение найденных задач разными способами.

Этапы исследования:

1.Поиск информации в литературе

2.Обобщение признаков делимости

3.Поиск методов решения задач на делимость

4.Анализ методов решения и задач, решаемых данными методами

5.Составление буклета в помощь учащимся

Признаки делимости, основанные на последних цифрах числа

Признаки делимости, основанные на сумме цифр числа

2,4,5,8,

10,20,25,50

Признаки делимости, основанные на последней цифре числа и сумме цифр числа

3,9

Признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы

6,12,15,30

7,11,13,17,

19.23,27,29,

31,37,41,59,

79,99,101

Признак делимости Паскаля

«Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в, то и число а делится на в»

        б) 4   9    0 7

           6 2 3 .

    24+18+0+7 = 47: 7 = 7

47 делится нацело на 7, значит число 4907 делится на 7.

Блез Паскаль (19.6.1623— 19.8.1662)  – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования .

Методы решения

1. Разложение на множители ( или слагаемые)

2. Исключение целой части числа

3. Равноостаточные классы

4. Применение теоремы Безу

5. Четность и нечетность чисел

6. Признаки делимости используются при решение уравнений в целых числах ( диофантовы уравнения)

7. Бином Ньютона

8.Признак делимости Паскаля

9. Малая теорема Ферма.

оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3. " width="640"

Первый метод. Разложение на множители (или слагаемые)

• Задача 1. Доказать, что n 3 +3n 2 +5n+3 делится на 3 при любом натуральном n.
• Решение: представим наш многочлен в виде суммы двух слагаемых:
• n 3 +3n 2 +5n+3=n 3 +3n 2 +2n+3n+3=n(n 2 +3n+2)+3(n+1)=n(n+1)(n+2)+3(n+1), первое слагаемое есть произведение трех последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 3, а второе слагаемое содержит множитель 3 = оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3.

Второй метод. Исключение целой части числа

• Задача 3. Найти все целые x и y, удовлетворяющих уравнению x+y=xy.
• Решение:
• x+y=xy, x-xy = -y,
• x(1-y) = -y,
• x = -y/(1-y)
• x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1))
• (1/(y-1)) є Z, если y-1=±1
• y-1=1, y=2
• y-1=-1, y=0
• Если y=0, то x=0/(1-0)=0
• Если y=2, то х=-2/(1-2)=2
• Ответ: (0;0) и (2;2).

Третий метод. Равноостаточные классы

• Задача 4. Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3.
• Решение: Если число не делится на 3, то оно имеет вид 3k+1 или 3k+2. В первом случае разность между его квадратом и единицей равна (3k+1) 2 -1=9k 2 +6k+1-1=9k 2 +6k, во втором (3k+2) 2 -1=9k 2 +12k+4-1=9k 2 +12k+3. В обоих случаях разность делится на 3, так как каждое слагаемое делится на 3.

Четвертый метод. Применение теоремы Безу

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена a 0 x n +a 1 x n-1 +a 2 x n-2 +…+a n-1 x+a n на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х равном а.

Из теоремы Безу следует, что при любом нечетном значении n выражения a n +b n и a n -b n делятся соответственно на a +b и a-b, а при четном n разность a n -b n делится и на a +b, и на a-b. На основании этого факта решаются многие задачи на делимость.

• Задача 5. Доказать, что выражение

35 n -2*5 n +11 n делится на 6 при любом натуральном n.

• Решение: Запишем наше выражение в таком виде: 35 n - 2*5 n +11 n =(35 n -5 n )+(11 n -5 n ), тогда 35 n- 5 n делится на разность оснований степеней, то есть на 35 - 5=30, а следовательно, делится и на 6, 11 n -5 n также делится на разность оснований 11-5=6.

Этьен Безу родился 31 марта 1730 - 27 сентября 1783

французский математик, член Парижской академии наук.

Преподавал математику в Училище гардемаринов и Королевском артиллерийском корпусе.

Пятый метод. Четность и нечетность чисел

• Задача 7. Доказать, что уравнение x 2 +1974=y 2 не имеет решений в целых числах.
• Решение: Предположим, что уравнение имеет решения в целых числах. Запишем данное уравнение в таком виде: 1974=y 2 -x 2 . Так как 1974 четное число, то, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы разность y 2 -x 2 была четным числом, а это возможно только тогда, когда x и у числа одинаковой четности, то есть x и у одновременно четные, или оба нечетные числа.
• 1974=y 2 -x 2 1974=(у - х)(у + х). Правая часть делится на 4, а левая – нет, значит, целых решений уравнение не имеет.

Шестой Метод. Признаки делимости используются при решении уравнений в целых числах (диофантовы уравнения)

• Задача 9 . Найти все целочисленные решения уравнения 16х+20у=14.
• Решение: Находим наибольший общий делитель 16 и 20; (16,20) = 4, а число 14 не делится на 4, то по теореме уравнение не имеет целочисленных решений.

Диофант Александрийский-древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений.

Седьмой метод. Бином Ньютона

(х+а) n =c n 0 x n +c n 1 x n-1 a+c n 2 x -n-2 a 2 +…+c n k x n-k a n +…+c n n a n , где с n k =n!/k!(n-k)!. Число членов разложения равно n+1. Если бином имеет вид (х-а) n , то все члены разложения, стоящие на четных местах, имеют знак минус, на нечетных местах – знак плюс.

• Задача 10. Доказать, что 62n+3n+2+3n делится на 11 при всех натуральных n.
• Решение: 62n+3n(9+1)=36n+10*3n=(33+3)n+10*3n. Все члены разложения бинома, кроме последнего, имеют множителем число 33, следовательно, делятся на 11. Последний член разложения – 3n. Тогда данное число можно записать так: 36n+10*3n=33A+11*3n, где А – частное от деления n первых членов разложения бинома Ньютона на 33. Но если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11.

Исаак Ньютон родился 4 января 1643 г. в деревне Вульсторп, расположенной у восточного берега Англии, вблизи небольшого города Грэнтема, вскоре после смерти отца также Исаака Ньютона. Происходил он из обедневшего дворянского рода. Родственники и близкие Ньютонов — священники, доктора, аптекари, фермеры.

Восьмой метод.

Метод математической индукции.

Задача 12. Используя метод математической индукции, доказать, что при любом натуральном n: 1) 8 n + 6 делится на 7; 2) n 5 – n делится на 15.

Решение: Покажем, что при n = 1 наше утверждение 8 n  + 6 истинно. Для этого в данное выражение вместо n подставим 1. Имеем: 8 1  + 6 = 14. 14 делится на 7. Следовательно, при n = 1 наше утверждение истинно.

Допустим, что наше утверждение истинно при n = k, то есть 8 k  + 6 делится на 7.

Докажем, что при n = k + 1 наше утверждение истинно, то есть 8 k+1  + 6 делится на 7.

Имеем: 8 k+1  + 6 = 8 k  × 8 + 6 = 8 k  × 8 + 6 × 8 – 6 × 8 + 6 = (8 k  × 8 + 6 × 8) – (6 × 8 -6) = 8(8 k  + 6) – 42.

В данной разности уменьшаемое 8(8 k  + 6) делится на 7, так как (8 k  + 6) делится на 7 по предположению, вычитаемое 42 = 7 * 6 делится на 7. Следовательно, вся разность 8(8 k  + 6) – 42 делится на 7. таким образом, 8 k+1  + 6 делится на 7. Следовательно, при n = k + 1 данное утверждение также справедливо.

Таким образом, наше утверждение справедливо при любом натуральном n.

Девятый метод.

Малая теорема Ферма

Теорема Ферма: Если р число простое, р и а взаимно просты, то а р-1 -1 делится на р.

Иногда применяют следствие из этой теоремы: для простого р и любого натурального а а р -а делится без остатка на р.

Ферма Пьер (1601—1665), французский математик.

Родился 17 августа 1601 г. в Бомон-де-Ломань, в семье городского советника, занимавшегося торговлей. Учился в Тулузе в местном университете. Получив юридическое образование, в 1631 г.

Задача 13. Найти остаток от деления 2 30 на 13.

Решение: 2 30 =2 26 ·2 4 =4 13 ·16-16·4+16·4=16(4 13 -4)+64. Первое слагаемое делится на 13 по теореме Ферма, а так как 64=13·4+12, то остаток от деления равен 12.

Задача 7 . Десятичная запись числа А состоит из 30 единиц и нескольких нулей. Может ли число А быть полным квадратом?

Задача 8. Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?

Задача 9. Докажите, что число имеет нечетное число делителей (включая единицу и само число) тогда и только тогда, когда оно является точным квадратом.

Задача 10. Сколькими нулями оканчивается число 100!?

Задача 11. Сколько делителей имеет число N = p7q3 (включая единицу и само число), где p и q - различные простые числа?

Задача 12. Докажите, что НОК (a,b) * НОД (a,b) = ab.

Задача 13 . Имеется шесть натуральных чисел. Для каждой пары этих чисел выписали их наибольший общий делитель. Могли ли при этом оказаться выписанными все натуральные числа от 1 до 15?

оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3. МБОУ «Дульдургинская средняя общеобразовательная школа» Метод исключение целой части числа Найти все целые x и y, удовлетворяющих уравнению x+y=xy. Решение: x+y=xy, x-xy = -y; x(1-y) = -y, x = -y/(1-y) x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1)) (1/(y-1)) є Z, если y-1=±1 y-1=1, y=2 y-1=-1, y=0 Если y=0, то x=0/(1-0)=0 Если y=2, то х=-2/(1-2)=2 Ответ: (0;0) и (2;2). Четность и нечетность чисел. Доказать, что уравнение x2+1974=y2 не имеет решений в целых числах. Решение: Предположим, что уравнение имеет решения в целых числах. Запишем данное уравнение в таком виде: 1974=y2-x2. Так как 1974 четное число, то, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы разность y2-x2 была четным числом, а это возможно только тогда, когда x и у числа одинаковой четности, т.е. x и у одновременно четные, или оба нечетные числа. 1974=y2-x2 , 1974=(у - х)(у + х). Правая часть делится на 4, а левая – нет, значит, целых решений уравнение не имеет. Ермолаева Наталья ученица 9 класса Применение теоремы Безу. Доказать, что выражение 35n-2*5n+11n делится на 6 при любом натуральном n. Решение: Запишем наше выражение в таком виде: 35n - 2*5n+11n=(35n-5n)+(11n-5n), тогда 35n-5n делится на разность оснований степеней, то есть на 35 - 5=30, а следовательно, делится и на 6, 11n -5n также делится на разность оснований 11-5=6 Бином Ньютона . Доказать, что 62n+3n+2+3n делится на 11 при всех натуральных n. Решение: 62n+3n(9+1)=36n+10*3n=(33+3)n+10*3n. Все члены разложения бинома, кроме последнего, имеют множителем число 33, следовательно, делятся на 11. Последний член разложения – 3n. Тогда данное число можно записать так: 36n+10*3n=33A+11*3n, где А – частное от деления n первых членов разложения бинома Ньютона на 33. Но если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11. Признаки делимости используются при решении уравнений в целых числах (диофантовы уравнения). Найти все целочисленные решения уравнения 16х+20у=14. Решение: Находим наибольший общий делитель 16 и 20; (16,20) = 4, а число 14 не делится на 4, то по теореме уравнение не имеет целочисленных решений. 2016 год " width="640"

Равноостаточные классы.

Метод разложение на множители (или слагаемые)

Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3.

Решение: Если число не делится на 3, то оно имеет вид 3k+1 или 3k+2. В первом случае разность между его квадратом и единицей равна (3k+1)2-1=9k2+6k+1-1=9k2+6k, во втором (3k+2)2-1=9k2+12k+4-1=9k2+12k+3. В обоих случаях разность делится на 3, так как каждое слагаемое делится на 3.

Доказать, что n3+3n2+5n+3 делится на 3 при любом натуральном n.

Решение: представим наш многочлен в виде суммы двух слагаемых:

n3+3n2+5n+3=n3+3n2+2n+3n+3=n(n2+3n+2)+3(n+1)=n(n+1)(n+2)++3(n+1), первое слагаемое есть произведение трех последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, = оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3.

МБОУ «Дульдургинская средняя

общеобразовательная школа»

Метод исключение целой части числа

Найти все целые x и y, удовлетворяющих уравнению x+y=xy.

Решение: x+y=xy, x-xy = -y; x(1-y) = -y,

x = -y/(1-y)

x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1))

(1/(y-1)) є Z, если y-1=±1

y-1=1, y=2 y-1=-1, y=0

Если y=0, то x=0/(1-0)=0 Если y=2, то

х=-2/(1-2)=2 Ответ: (0;0) и (2;2).

Четность и нечетность чисел.

Доказать, что уравнение x2+1974=y2 не имеет решений в целых числах.

Решение: Предположим, что уравнение имеет решения в целых числах. Запишем данное уравнение в таком виде: 1974=y2-x2. Так как 1974 четное число, то, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы разность y2-x2 была четным числом, а это возможно только тогда, когда x и у числа одинаковой четности, т.е. x и у одновременно четные, или оба нечетные числа.

1974=y2-x2 , 1974=(у - х)(у + х). Правая часть делится на 4, а левая – нет, значит, целых решений уравнение не имеет.

Ермолаева Наталья

ученица 9 класса

Применение теоремы Безу.

Доказать, что выражение 35n-2*5n+11n делится на 6 при любом натуральном n.

Решение: Запишем наше выражение в таком виде: 35n - 2*5n+11n=(35n-5n)+(11n-5n), тогда 35n-5n делится на разность оснований степеней, то есть на 35 - 5=30, а следовательно, делится и на 6, 11n -5n также делится на разность оснований 11-5=6

Бином Ньютона .

Доказать, что 62n+3n+2+3n делится на 11 при всех натуральных n.

Решение: 62n+3n(9+1)=36n+10*3n=(33+3)n+10*3n.

Все члены разложения бинома, кроме последнего, имеют множителем число 33, следовательно, делятся на 11. Последний член разложения – 3n. Тогда данное число можно записать так: 36n+10*3n=33A+11*3n, где А – частное от деления n первых членов разложения бинома Ньютона на 33. Но если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11.

Признаки делимости используются при решении уравнений в целых числах (диофантовы уравнения).

Найти все целочисленные решения уравнения 16х+20у=14.

Решение: Находим наибольший общий делитель 16 и 20; (16,20) = 4, а число 14 не делится на 4, то по теореме уравнение не имеет целочисленных решений.

2016 год

признаки делимости, основанные на последних цифрах числа

Признаки делимости, основанные на сумме цифр числа

Признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы .

Признак делимости на 3

Признак делимости на 2.

Число делится на два тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть, это число оканчивается на 2, 4, 6, 8 или 0.

Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Признак делимости на 4.

Признак делимости на 9.

Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 5, либо 0.

Признак делимости на 8 также не формулируется как теорема.

Так как 8 = 2×4 и 1000 = 250×4, поэтому для чисел больше 1000 по аналогии с признаком делимости на 4 проверяется делимость на 8 числа, образованного тремя последними цифрами, а для чисел меньше 1000 (трёхзначных) используются последовательно непосредственное деление на 2 и проверка полученного результата по признаку деления на 4.

Признак делимости на 10.

Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 7.

Берём последнюю цифру числа, удваиваем её и вычитаем из числа, которое осталось без этой последней цифры. Если разность делится на 7, значит всё число делится на 7. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 7.

Признак делимости на 11.

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих начётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Признак делимости на 13.

Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры. Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13.

Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13.

Признаки делимости, основанные на последней цифре числа и сумме цифр числа

Признак делимости на 6

На 6 делятся чётные числа, сумма цифр которых делится на 3.

Признак делимости на 12.

Для того чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Признак делимости на 15.

Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Признак Паскаля:

Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в, то и число а делится на в»