Презентация по теме: "Диофантовы уравнения"

Диофантовы уравнения

Выполнил: обучающийся 11 «Б» класса

МБОУ «Гимназия»

Терехов Даниил

Научный руководитель:

Терехова Надежда Анатольевна

учитель математики высшей категории

Цель:

• Систематизировать способы решения линейных диофантовых уравнений.

Гипотеза:

• умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.

Задачи :

• познакомиться с теоретическим блоком, связанным с личностью Диофанта-ученого и его математическими исследованиями;
• научиться решать уравнения в целых числах разных уровней сложности и классифицировать методы решений;
• в помощь учителю создать приложение, в которое будет входить подборка разных задач;
• в помощь учителю создать интерактивный тест в формате *. ppt , помогающий определить степень усвоения темы учениками;

Методы:

• источниковедческий анализ литературы;
• математическая обработка данных;
• решение уравнений;
• классификация уравнений;
• обобщение
• Линейные диофантовы уравнения

Объект

Практическая значимость моей

работы заключается в

использовании ее на углубленных

занятиях по математике, при

подготовке к математическим

олимпиадам и к ЕГЭ.

Немного

о Диофанте

Однородное линейное уравнение

ax + by = 0

Теорема 1: Если числа a и b взаимно простые, то уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел Z и описываются формулой:

, где - «номер» решения

Общее линейное уравнение

ax + by = с

Теорема 2: Если наибольший общий делитель d коэффициентов a и b больше 1, а свободный член с не делится на d , то уравнение ax + by = с не имеет решений в целых числах.

Теорема 3: Любое уравнение ax + by = с , где

НОД ( a;b) =1, имеет хотя бы одно решение в целых числах.

ax + by = с

Методы решения линейных уравнений

• метод перебора;
• отношение делимости;
• выделение целой части;
• метод «спуска»;
• алгоритм Евклида

Метод перебора; Отношение делимости; Выделение целой части

Задача 1 : У осьминога 8 ног, а у морской звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них 39 ног?

Пусть х – количество осьминогов, у – количество морских звезд,

тогда получаем уравнение

Выразим у через х,

т.к у – натуральное число, то

должно делится на 5, значит:

Ответ: 3 осьминога и 3 звезды

Метод «спуска»

Задача 2: Решить в целых числах уравнение 79у-23х=1

Т.к. 79 и 23 взаимно простые числа, то уравнение имеет хотя - бы

одно решение в целых числах.

Выразим переменную, имеющую наименьший по модулю коэффициент

, т.к. х – целое, то

Продолжим :

, пусть

Обозначим

Делая обратную подстановку, получим:

, значит

Ответ:

Алгоритм Евклида

Задача 2 : Решить в целых числах уравнение 79у-23х=1

Алгоритм Евклида заключается в последовательном делении наибольшего коэффициента на наименьший и предыдущего делителя на предыдущий остаток, нахождении наибольшего общего делителя двух чисел.

Из (3) выразим остаток 1=10 – 3*3, из (2): 3 = 23 – 10*2, тогда

Из (1) выразим остаток 10 = 79 – 23*3 и подставим в последнее равенство

Сопоставляя с исходным уравнением 79у-23х=1, получим частное решение

данного уравнения . Применяя одну из теорем, получим

общее решение

.

Выводы:

• познакомился с теоретическим блоком,

связанным с личностью Диофанта-ученого и его

математическими исследованиями;

• научился решать линейные диофантовы

уравнения;

• классифицировал методы решений;
• в помощь учителю создал приложение, в которое

поместил подборку разных задач;

• в помощь учителю создал интерактивный тест в

формате *. ppt , помогающий определить степень

усвоения темы учениками;

Заключение:

В ходе данного исследования я овладел новыми математическими навыками, научился решать диофантовы уравнения разными методами. На примерах показал, что умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.