ПРЕЗЕНТАЦИЯ "ПРОИЗВОДНЫЕ"

Механический смысл производной.

Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта , французского математика Роберваля , английского ученого Л. Грегори . Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

И. Ньютон  

Р. Декарт

Г. Лейбниц

Г.Галилей

Ж. Лагранж

Л. Эйлер

Механический смысл производной.

Исаак Ньютон (1643 – 1727)

«Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад.»

Механический смысл производной.

Свободное падение

t

t 1

Механический смысл производной.

Свободное падение

v=gt

t

t 1

Механический смысл производной.

Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи

Производная

- это скорость

Механический смысл производной.

Δх – перемещение тела

Δt – промежуток времени

в течение которого выполнялось

движение

.

О происхождении терминов и обозначений производной и предела

• Термин «производная» - буквально перевод французского слова derivee.
• 1797г – Ж.Лагранж ввел современные обозначения

• И.Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию – флюентой.
• Г.Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как

• Термин «предел» ( lim – сокращение латинского слова limes (межа, граница)) ввел И.Ньютон.

«Алгоритм нахождения производной»

В данной функции от x, нареченной игреком

Вы фиксируете x, отмечая индексом

Придаете вы ему тотчас приращение

Тем у функции самой вызвав изменение

Приращений тех теперь взявши отношение

Пробуждаете к нулю у стремление

Предел такого отношения вычисляется

Он производную в науке называется

Что называется производной?

• Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Блиц-опрос

• Что называется производной функции в точке?

Ответ : производной функции у = f(x) в точке называется предел отношения приращения функции в точке х 0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

• В чем заключается геометрический смысл производной?

Ответ: значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

k = tg  = f '(x 0 ).

• В чем заключается механический смысл производной?

Ответ: производная функции y = f(x) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

x'(t). =  (t)

задача 1

Точка движется прямолинейно по закону

Вычислите скорость движения точки:

а) в момент времени t;

б) в момент времени t=2с.

Решение.

а)

б)

задача 2

Найдите скорость и ускорение для точки, движущейся по закону

а) в момент времени t;

б) в момент времени t=3с.

Решение.

Проблемная задача

• Две материальные точки движутся прямолинейно по законам

В какой момент времени скорости их равны, т.е.

Решение проблемной задачи

Спасибо за урок