Презентация "Решение уравнений с параметром"

Решение уравнений с параметром

Учитель математики МБОУ СОШ №33

Юревич Н.А.

Учитель математики ОГАОУ «БИЮЛИ»

Роговицкая И.В.

Белгород

Содержание

• Линейные уравнения с параметром
• Квадратные уравнения с параметром
• Экзаменационные задания из материала ГИА.
• Экзаменационные задания из материала ЕГЭ.

Линейное уравнение

Линейным уравнением с параметром относительно х называют уравнение вида

ax - b =0 ,

где a и b – некоторые выражения, зависящие только от параметра, а х – неизвестное.

Линейное уравнение с параметром приводят к виду ax = b .

При а ≠ 0 оно имеет единственное решение x = ,

при а=0 и b =0 его решением является любое число;

если же а=0, а b =0 ,то уравнение решений не имеет.

Пример 1.

Для всех значений параметра а решить уравнение 2а(а — 2) х=а — 2.

Решение:. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, необходимо решить уравнение при следующих значениях параметра:

1) а= 0 ; 2) а= 2 ; 3) а≠0, а≠2

Рассмотрим эти случаи.

• При а= 0 уравнение принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2 уравнение принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения получаем, х=

Откуда x=

0 т в е т: 1) если а= 0 , то корней нет; 2) если а= 2 , то х — любое действительное число;

3) если а ≠0, а ≠2 , то х =

.

Пример2 . Решить уравнение ax -4=6 a -3 x .

Решение .

Приведем уравнение к виду ax = b .

(а+3) x =6а+4.

При a ≠ -3 мы получим

- .

При а=-3 уравнение х(а+3)=6а+4 примет вид : 0*х=-14.

Очевидно, что оно решений не имеет.

Ответ : при а=-3 корней нет;

при

Пример 3 Для всех значений параметра а решить уравнение.

Решение:

Запишем уравнение в стандартном виде

. Если , т.е. , то имеем 0 * Х = 0, решением является множество

действительных чисел:

2. Если , то

Ответ: Если , то ,

Если , то х=-4.

Пример4 . Решите уравнение . Решение: По смыслу задачи (5 a + x )( x -5 a ) ≠ 0 , то есть х ≠ ± 5а . Умножив обе части уравнения на произведение (5 a + x )( x -5 a ), получим уравнение Или . При а=0 уравнение примет вид 0*х=0, решением которого будет любое число, кроме нуля (так как х ≠ ± 5а ). При а ≠ 0 имеем х=5а. Этот корень попадает под ограничение х ≠ ± 5а. Ответ: при а=0 уравнение имеет бесконечно много решений – все действительные числа, кроме нуля; При любом а(-∞;0)U(0;+∞) решений нет. В меню Далее

Квадратные уравнения с параметром.

Известно, что уравнение

называется квадратным только в случае а≠0.

Однако решение таких уравнений очень часто начинают с нахождения дискриминанта. Это неверно! В качестве коэффициента при может быть выражение с параметром. А оно вполне может быть равным нулю, и данное уравнение квадратным не будет, получится линейное уравнение.

Поэтому, решая квадратное уравнение с параметром, необходимо первым делом смотреть на коэффициент при . Если этот коэффициент – выражение с параметром, то нужно отдельно выделить случай, когда оно равно нулю, и решить получившееся линейное уравнение.

Пример1 . Решить уравнение:

Решение.

«Особо» нужно выделить значение а=0, так как при таком а уравнение линейное, а при остальных – квадратное, а также необходимо выяснить, при каких а дискриминант трёхчлена положителен, отрицателен, равен 0 .

Таким образом, при а=0 – одно решение х=0,

при а≠0 – два решения

Ответ : При a =0, x =0;

при а≠0 .

Пример 2. Решить уравнение ax=x 2 +3 Решение:

Корней нет

Ответ:1) при 2) при 3)при

уравнение не имеет решений

0. Тогда, очевидно, надо найти ординату вершины А( ), . Тогда можно получить полный ответ: если a ≤0, то n =1; если 0если a =1,то n =2; если a 1, то n =1. " width="640"

Пример3 . Найдите число решений уравнения .

Решение.

Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически.

Имеем

Положим . Тогда имеем систему

Далее рассмотрим графики На рисунке приведены пять различных случаев. Два из них очевидны.

Если a

Если a =0, то точек пересечения двух графиков – две. Но одна из них – (0;0), что по условию задачи не подходит в качестве решения. Следовательно, при a =0 снова имеем единственное решение.

Пусть теперь a 0. Тогда, очевидно, надо найти ординату вершины А( ), . Тогда можно получить полный ответ:

если a ≤0, то n =1;

если 0

если a =1,то n =2;

если a 1, то n =1.

1, то n =1. В меню Далее " width="640"

.Ответ: если a ≤0, то n =1;

если 0

если a =1,то n =2;

если a 1, то n =1.

В меню Далее

Экзаменационные задания из материала ГИА.

Пример 1. (Базовый уровень)Определите ненулевые коэффициенты p и q квадратного уравнения так, чтобы его корни были равны p и q .

Решение

Из т. Виета следует

Пусть , где p ≠0, q ≠0 (из условия).

Ответ: p =1; q =-2.

Пример 2.(Повышенный уровень) Часть2. Найдите все значения m , при которых парабола имеет с прямой x + my - 1=0 одну – единственную общую точку

. Решение

Так как парабола и прямая имеют общую точку, следовательно, получится уравнение

или

Начнём решение данного уравнения с «вырожденного случая» m =0: уравнение примет вид 1*х=0, его корень х=0.

При D =0, квадратное уравнение имеет единственное решение.

Решим уравнение

Вывод: при - парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку.

Ответ : при m=0 , m=-1 , m= парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку.

0 Далее рассмотрим графики у= и y=a . На рисунке приведены три различных случая 4 решения при а 3 решения при а=7; 2 решения при а7. Ответ: 4 решения при а 3 решения при а=7; 2 решения при а7. В меню " width="640"

Пример 3.(Повышенный уровень) Часть2. Определите количество корней уравнения при всех положительных значениях параметра а.

Решение

Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически. ,а 0

Далее рассмотрим графики у= и y=a . На рисунке приведены три различных случая

4 решения при а

3 решения при а=7;

2 решения при а7.

Ответ:

4 решения при а

3 решения при а=7;

2 решения при а7.

В меню

Экзаменационные задания из материала ЕГЭ. Пример 1.Укажите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно три решения

Решение :В одной системе координат a ох построим графики функций

Получили, что при а=4 уравнение имеет три решения.

Ответ: при а=4 уравнение имеет три решения.

Пример 2. . Найдите значение параметра а, при котором уравнение имеет единственное решение. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.

Решение: В одной системе координат аох построим графики функций

Получили, что при а=-0,5 и а=-1,5 уравнение имеет единственное решение. -0,5+(-1,5)=-2

Ответ: -2.

В меню

Спасибо

за

внимание.