Презентация "Тригонометрия, уравнения, неравенства"

Тригонометрия

Тригонометрические

уравнения и неравенства

Повторим значения синуса косинуса

у π/2 90°

120° 2π/3 1 π/3 60°

135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°

180° π -1 0 1 0 0° x

- - - 1/2 ½ 2π 360 (cost)

210° 7π/6 - 1/2 11π/6 330° [-π/6]

-

225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4]

240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3]

270° 3π/2 [-π/2]

(sint)

Арксинус

Примеры:

Арксинусом числа а называется

такое число (угол) t из [-π/2;π/2] ,

что sin t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

у

π/2

1

arcsin а = t

а

х

arcsin( - а )= - arcsin а

- а

arcsin( - а )

-1

-π/2

• Область опрделения функции y = arcsin x –

отрезок [-1;1]

• Область значений – отрезок [- π/2; π/2] .

• График функции y = arcsin x симметричен графику функции y = sin x, относительно прямой y = x.

Уравнение sin t = a

1. Проверить условие | a | ≤ 1

2. Отметить точку а на оси ординат.

y

1

3. Построить перпендикуляр в этой точке.

π -t 1

t 1

a

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью.

x

0

5. Полученные точки – решение уравнения sin t = a.

6. Записать общее решение уравнения.

-1

t =

3

Частные случаи уравнения sin t = a

sin t = 1

y

1

sin t = 0

x

0

sin t = - 1

-1

6

Арккосинус

Арккосинусом числа а называется

такое число (угол) t из [0;π], что

cos t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

у

π/2

arccos а = t

arccos ( - а )

х

π

0

arccos ( - а ) = π- arccos а

-1

1

а

-а

1)arccos(-1)

= π

Примеры:

2)arccos

• Область опрделения функции y = arccos x – отрезок [-1;1]

• Область значений – отрезок [0 ; π] .

• График функции y = arccos x симметричен графику функции y = cos x, относительно прямой y = x

Уравнение cos t = a

1. Проверить условие | a | ≤ 1

2. Отметить точку а на оси абсцисс.

y

t 1

3. Построить перпендикуляр в этой точке.

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью.

5. Полученные точки – решение уравнения cos t = a.

a

x

0

-1

1

6. Записать общее решение уравнения.

t = ± arccos a +2πn; nєZ

-t 1

Частные случаи уравнения cos t = a

cos t = 1

y

cos t = 0

0

x

0

1

-1

cos t = - 1

10

При каких значениях х имеет смысл выражение:

2.arccos(5-2x)

1.arcsin(2x+1)

2) -1≤ 5-2х ≤1

1) -1≤ 2х-1 ≤1

-2≤ 2х ≤0

-6≤ -2х ≤ -4

-1≤ х ≤0

2≤ х ≤3

Ответ: [-1;0]

Ответ: [2;3]

4.arcsin(4x²-3x)

3.arccos(x²-1)

-1≤ х²-1 ≤ 1

0 ≤ х² ≤2

Ответ:

-1≤4х²-3х≤1

4х²-3х ≥ -1

4х²-3х ≤ 1

4х²-3х-1 ≤ 0

Ответ:

Повторим значения тангенса и котангенса

Линия тангенсов tg t ЄR , но t ≠ + π k , kЄZ

у π/2

2π/3 π/3 1 ctg t ЄR, но t ≠ 0 + πk , kЄZ

0 х Линия котангенсов

у

4π/3

-π/2

π 0 х

Арктангенс

Арктангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (-π/2;π/2),

что tg t = а .

Причём, а Є R.

а

у

π/2

arctg а = t

х

0

arctg ( - а ) = - arctg а

arctg ( - а )

-π/2

- а

Примеры:

1) arctg√3/3 =

π/6

2) arctg(-1) =

-π/4

Арккотангенс

Арккотангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (0;π),

что c tg t = а .

Причём, а ЄR .

у

- а

а

arcctg а = t

arcctg (- а )

π

0

х

arcctg( - а ) = π – arcctg а

Примеры:

1) arcctg(-1) =

3π/4

2) arcctg√3 =

π/6

Формулы корней простых тригонометрических уравнений

1. сos t = а , где | а| ≤ 1

2. sin t = а, где | а |≤ 1

3. tg t = а, а ЄR

t = arctg а + πk‚ kЄZ

или

или

Частные случаи

Частные случаи

4. ctg t = а, а ЄR

1) cos t=0

1) sin t=0

t = 0+πk‚ kЄZ

t = π/2+πk‚ kЄZ

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

2) cos t=1

t = 0+2πk‚ kЄZ

2) sin t=1

t = π/2+2πk‚ kЄZ

3) cos t = -1

t = π+2πk‚ kЄZ

3) sin t = - 1

t = - π/2+2πk‚ kЄZ

Примеры:

1) cos t= - ½;

2) sin t = 0;

Частный случай:

t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ

t= ±2π/3+2πk, kЄZ

t = 0+πk, kЄZ

4) ctg t = -

3) tg t = 1;

t = arctg1+πk, kЄZ

t = arcctg( )+πk, kЄZ

t = π/4+πk, kЄZ.

t = 5π/6+πk, kЄZ.

Решение простейших уравнений

2) cos(x+π/3) = ½

• tg 2x = -1

2x = arctg (-1) + πk, kЄZ

x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ

x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ

2x = -π/4 + πk, kЄZ

x = -π/8 + πk/2, kЄZ

x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.

Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

3) sin(π – x/3) = 0

упростим по формулам приведения

sin(x/3) = 0

частный случай

x/3 = πk, kЄZ

x = 3πk, kЄZ.

Ответ: 3πk, kЄZ.

Другие тригонометрические уравнения

1.Сводимые к квадратным

a∙sin²x + b∙sinx + c=0

Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда

a∙p² + b∙p + c = 0

Найти корни, вернуться к замене и

решить простые уравнения.

2.Однородные

1)Первой степени:

a∙sinx + b∙cosx = 0

Т.к. sinx и cosx одновременно

не равны нулю, то разделим обе

части уравнения на cosx. Получим:

простое уравнение

a∙tgx + b = 0 или tgx = m

2)Второй степени:

a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0

Разделим обе части на cos²x.

Получим квадратное уравнение:

a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

а а arcsin а -(π+arcsin а ) x x а -arccos а Ответ: (-(π+arcsin а )+2πk; arcsin а +2πk), kЄZ Ответ: (-arccos а +2πk; arccos а+ 2πk), kЄZ а y π/2 y 4) ctgt а 3) tgt - а arcctg а 0 x x -arctg а - а Ответ: (0+πk; arcctg а +πk), kЄZ. Ответ: (-arctg а +πk; π/2+πk), kЄZ " width="640"

Простые тригонометрические неравенства

y

y

arccos а

2) sint а

1) cost а

а

arcsin а

-(π+arcsin а )

x

x

а

-arccos а

Ответ: (-(π+arcsin а )+2πk; arcsin а +2πk), kЄZ

Ответ: (-arccos а +2πk; arccos а+ 2πk), kЄZ

а

y

π/2

y

4) ctgt а

3) tgt - а

arcctg а

0

x

x

-arctg а

- а

Ответ: (0+πk; arcctg а +πk), kЄZ.

Ответ: (-arctg а +πk; π/2+πk), kЄZ