Применение интегралов в различных сферах жизни.

Применение интегралов в различных сферах жизни.

Выполнила студентка ГАУ КО ПОО КСТ Разина Екатерина

Вычисление площадей и объемов.

С помощью определённого интеграла вычисляют площадь криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции, прямыми линиями и осью абсцисс.

где a и b — границы интегрирования, f(x) — функция, ограничивающая фигуру.

S=

С помощью определённого интеграла вычисляют объём тела по известным площадям поперечных сечений или объём тела вращения.

V =∫ₐₓ S(x)dx

Где S(x) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси

С помощью определённого интеграла найти площадь криволинейных трапеций

у = 0,5x + 1

y = 0

x = - 2

x = 3

S=+x)=()-

-(

Фигура, ограниченная кривой

у = 0,5 + 1;

прямыми у = 0, x = - 2,

х = 3 - криволинейная трапеция (по определению), площадь этой

фигуры можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница .

S=

Применение интегралов в физике.

Интегралы применяются в различных сферах жизни, помогая решать задачи, связанные с анализом процессов и вычислением величин.

• Расчёт работы силы при прямолинейном движении тела.

• Определение пути, пройденного телом, по известному закону изменения мгновенной скорости.

• Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины, если сила пропорциональна удлинению.

• Расчёт силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку.

• Прогнозирование траектории спутника во время его вывода на орбиту.

С помощью интеграла в физике решается большое количество задач на определение пути по

известному закону изменения мгновенной скорости и вычисления работы переменной силы.

Тело движется со скоростью v(t)=t + 2 (м/с). Найти путь, который пройдет тело за 2 после начала движения .

Решение.

Скорость – это первая производная от пути. Значит, чтобы найти путь, надо взять определенный интеграл от скорости. Вместо x в интеграле появится t. Нижний предел –время начала движения, значит a==0, верхний предел –через две секунды – время завершения движения, значит b==2.

𝑆 =

Интегралы в инженерии

Электротехника и электроника. Интегралы применяются для анализа электрических цепей, расчёта электромагнитных полей, определения индукции, фильтрации шумов или анализа спектров .

Вычисление работы, энергии и моментов инерции объектов. Например, при анализе движения тела под действием силы тяжести или при расчёте напряжений в конструкциях .

Расчёты инженерных структур. Интегралы помогают в определении объёмов материалов для строительства, расчёте механических нагрузок на конструкции и других задачах

Теплопередача и теплотехника. Интегралы помогают в анализе тепловых потоков, определении распределения температур и расчёте тепловых потерь, а также применяются для моделирования тепло-и

массообмена в различных системах.

Интегралы в медицине

Интегралы широко применяются в медицине для анализа данных, моделирования процессов и разработки методов диагностики и лечения.

Анализ электрокардиограмм (ЭКГ). С помощью интегралов вычисляют площадь под кривой ЭКГ, что позволяет оценить работу сердца, выявить аномалии и провести диагностику сердечных заболеваний.

Фармакокинетика. Интегралы помогают оценить концентрацию лекарства в крови и тканях в разные моменты времени после приёма препарата, что позволяет оптимизировать дозировку и режим приёма лекарств.

Анализ изображений в медицинской диагностике. Интегралы используют для вычисления объёмов опухолей, кровоизлияний, жидкостей и других образований на медицинских снимках. Это помогает в диагностике заболеваний, планировании операций и контроле эффективности лечения

Оценка рисков и прогнозирование заболеваний. Интегралы используют для оценки рисков развития заболеваний, прогнозирования течения болезней и определения эффективности лечения на основе анализа различных биомедицинских данных.

Интегралы в астрономии

Интеграл в контексте астрономии — это функция, которая не изменяется со временем при движении системы. Такие интегралы позволяют описывать движение небесных тел и звёздных систем, а также решать различные задачи.

Изучение движения звёздной системы. Интегралы используются для описания функции фазовой плотности — плотности распределения вероятности найти звезду в элементе фазового пространства. Интегрирование этой функции по скоростям даёт пространственное распределение звёзд в системе, а по всем пространственным координатам — плотность распределения скоростей точек системы.

Решение задач, связанных с падением тел. Интегрирование используется, когда ускорение не постоянно, а меняется по мере приближения тела к планете. Например, с помощью интеграла можно рассчитать время падения Земли на Солнце, если её остановить.

Расчёт движения небесных тел. Например, интегралы применяются для изучения движения материальной точки в поле тяготения, что позволяет определить скорость в зависимости от положения на орбите и её размера

Методы вычисления

В астрономии используются как аналитические, так и численные методы вычисления интегралов.

Аналитические методы позволяют получить решение в виде формул, которые позволяют найти параметры движения (элементы орбиты, координаты и скорости) на любой момент времени.

Численные методы дают решение в виде таблицы значений параметров движения. Например, в небесной механике применяются методы Булирша — Штера, Эверхарта, Рунге — Кутты и Адамса — Коуэлла.

Заключение

Интегралы имеют огромное практическое значение в различных областях науки и техники. Они позволяют решать сложные задачи, связанные с измерением объёмов, площадей и других величин, а также анализировать временные ряды и оптимизировать процессы.

Изучение методов решения интегралов развивает навыки аналитического мышления, уверенность в применении математических методов и умение решать задачи в различных областях науки и техники.

Также понимание практического смысла интегралов облегчает усвоение базовых понятий и применение их в решении реальных задач.

Ссылки на использованный материал

https://smt-org.ru/wp-content/uploads/2023/04/Пт33_ДТМ9-21_2пара_23.pdf

https://obuchonok.ru/node/11171

https://urok.1sept.ru/articles/649134

https://practicum.yandex.ru/blog/integraly-opredelenie-svojstva-primery/

https://profclick.ru/blog/chto-takoe-integral-v-matematike-prost

https://blog.skillfactory.ru/chto-takoe-integraly/