Применение поизводной пи решении задач ЕГЭ

1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции  , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции   на от­рез­ке  .

2. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик y = f'(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−3; 11). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

3. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  . Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.

4. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x) и шесть точек на оси абс­цисс: x₁, x₂, x₃, …, x₆. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) по­ло­жи­тель­на?

5. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции  , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле   . Сколь­ко из от­ме­чен­ных точек   при­над­ле­жат про­ме­жут­кам убы­ва­ния функ­ции?

6.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 4). В какой точке от­рез­ка [−7; −3] f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

 7.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−16; 4). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−14; 2].

8.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции  , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  . В какой точке от­рез­ка     при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

9.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 6). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

1 0. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

1. Задачи с прикладным содержанием

1. Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем   см. Рас­сто­я­ние   от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 55 до 70 см, а рас­сто­я­ние   от линзы до экра­на — в пре­де­лах от 260 до 300 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние  . Ука­жи­те, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

2.Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем   см. Рас­сто­я­ние   от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 330 до 350 см, а рас­сто­я­ние   от линзы до экра­на — в пре­де­лах от 80 до 105 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние  . Ука­жи­те, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

6. Задачи на оптимизацию

1. Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам №1 и №2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра №1 при объёме t² Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 20t Гбайт, а с сер­ве­ра №2 при объёме t² Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит   Гбайт об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции; 25  t 

2. Алек­сей вышел из дома на про­гул­ку со ско­ро­стью v км/ч. После того, как он про­шел 6 км, из дома сле­дом за ним вы­бе­жа­ла со­ба­ка Жучка, ско­рость ко­то­рой была на 9 км/ч боль­ше ско­ро­сти Алек­сея. Когда Жучка до­гна­ла хо­зя­и­на, они по­вер­ну­ли назад и вме­сте воз­вра­ти­лись домой со ско­ро­стью 4 км/ч. Най­ди­те зна­че­ние v, при ко­то­ром время про­гул­ки Алек­сея ока­жет­ся наи­мень­шим. Сколь­ко при этом со­ста­вит время его про­гул­ки?

3. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет 43 че­ло­ве­ка: 23 маль­чи­ка и 20 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам: в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 21. После рас­пре­де­ле­ния по­счи­та­ли про­цент маль­чи­ков в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли. Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма была наи­боль­шей?

4. У фер­ме­ра есть два поля, каж­дое пло­ща­дью 10 гек­та­ров. На каж­дом поле можно вы­ра­щи­вать кар­то­фель и свёклу, поля можно де­лить между этими куль­ту­ра­ми в любой про­пор­ции. Уро­жай­ность кар­то­фе­ля на пер­вом поле со­став­ля­ет 500 ц/га, а на вто­ром — 300 ц/га. Уро­жай­ность свёклы на пер­вом поле со­став­ля­ет 300 ц/га, а на вто­ром – 500 ц/га.

Фер­мер может про­дать кар­то­фель по цене 5000 руб. за цент­нер, а свёклу — по цене 8000 руб. за цент­нер. Какой наи­боль­ший доход может по­лу­чить фер­мер?

 5. Два ве­ло­си­пе­ди­ста рав­но­мер­но дви­жут­ся по вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным до­ро­гам по на­прав­ле­нию к пе­ре­крест­ку этих дорог. Один из них дви­жет­ся со ско­ро­стью 40 км/ч и на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 5 км от пе­ре­крест­ка, вто­рой дви­жет­ся со ско­ро­стью 30 км/ч и на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 3 км от пе­ре­крест­ка. через сколь­ко минут рас­сто­я­ние между ве­ло­си­пе­ди­ста­ми ста­нет наи­мень­шим? Ка­ко­во будет это наи­мень­шее рас­сто­я­ние.