Черноволова Е.В.
Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина
Применение производной к исследованию функций
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Устные задания
у
1
На рисунке изображен график функции у = f(x) . Найдите число промежутков возрастания.
y = f (x)
1
0
1
х
4
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Устные задания
у
Исследуйте функцию на монотонность по графику ее производной. В ответ запишите наибольшую длину отрезка убывания.
2
y = f ′(x)
1
0
1
х
3
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
у
Устные задания
y = f ′(x)
1
3
На рисунке изображен график производной функции f(x) . Найдите число промежутков возрастания.
1
0
х
-
-
-
+
+
2
х
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Устные задания
у
y = f (x)
4
Определите по графику функции характер точек экстремума и экстремумы функции y = f(x ) .
1
-2
1
0
х
-2
2
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Устные задания
у
Определите количество точек экстремума по графику производной функции y = f(x) .
5
y = f ′(x)
1
0
1
х
4
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
6
На рисунке изображен график производной функции f (x) , определенной на интервале ( a ; b ). Найдите точку экстремума функции f (x ) и определите ее характер .
Решите устно!
1
3
-3
4
Ответ: -3 .
Ответ: 4 .
4
2
7
- 1
Ответ: -1 .
Ответ: 7 .
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7] .
7
Ответ: 1 .
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Задания ЕГЭ
1 . На рисунке изображен график производной функции f (x) , определенной на интервале ( a ; b ). Найдите точку экстремума функции f (x ) .
2 . На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1; x 2). Найдите количество точек максимума (минимума) функции y = f (x) на отрезке [ a; b ] .
3 . На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( x 1; x 2). Найдите промежутки возрастания (убывания) функции f ( x ).
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Задача 1. На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( ; ). Найдите промежутки убывания функции f ( x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение.
Найдем промежутки убывания функции, т.е. промежутки на которых f´ ( x )
6
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Задача 2. На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите промежутки убывания функции f ( x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение.
1
Найдем промежутки убывания функции, т.е. промежутки на которых f´ ( x )
6
-4
-10
Наибольшую длину из них имеет промежуток (- 10 ; - 4 )
Ответ: 6 .
2
Решение.
Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´ ( x )
3
Наибольший из них имеет длину равную 3.
Ответ: 3 .
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
0. В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна: -1-(-7) = 6. Ответ: 6 . Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"
Задача 3. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.
-10
- 7
-1
2
6
Решение.
В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f ´ ( x ) 0.
В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна:
-1-(-7) = 6.
Ответ: 6 .
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Задача 4. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек экстремума функции y = f (x) на отрезке [ -3 ; 10 ] .
1
Ответ: 4 .
2
Ответ: 4 .
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Задача 5. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек максимума функции y = f (x) на отрезке [ a; b ] .
Решение.
1
Найдем точки в которых
Это: -3; 3; 5.
x 0 - точка максимума, если производная при переходе через x 0 меняет свой знак с плюса на минус .
+
-
b
a
Условие выполняется в точке x = 3 .
Ответ: 1 .
2
Решение.
Решение аналогично.
+
b
+
+
-
-
-
Условие выполняется в точках: -1; 8; 13 .
a
Ответ: 3 .
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина
Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f (x) , определенной на интервале (—7; 5). Найдите точку экстремума функции f (x ) на отрезке [-6; 4].
-3
+
-
-6
4
Решение.
Отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи.
На этом отрезке производная функции один раз обращается в 0 (в точке -3) и при переходе через эту точку меняет знак, откуда ясно, что точка -3 и есть искомая точка экстремума функции на отрезке.
Ответ: -3.
Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина