Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ИЗУЧЕНИИ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Исаак Ньютон

(4 января 1643 – 20 марта 1727)

Ньютон открыл ещё в 1665—1666 годы,

однако не публиковал его до 1704 года.

В своих работах функцию называл

флюентой,

а производную функции –

флюксией.

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Готфрид Вильгельм Лейбниц

(1 июля 1646 – 14 ноября 1716)

Лейбниц первым опубликовал теорию и ввел обозначение производной

которое применяется и сейчас

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Архимед (287 год до н.э. – 212 год до н.э.)

Разработал метод построения касательной к спирали (Архимедовой спирали)

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Аполлоний Пергский

(262 год до н.э. – 190 год до н.э.)

Строил касательные к гиперболе, параболе и эллипсу

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Жозеф Луи Лагранж

(25 января 1736 – 10 апреля 1813)

Лагранж ввел термин «производная» в 1797 году и общепринятые обозначения

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Гийом Франсуа Лопиталь

(1661 – 2 февраля 1704)

Автор первого учебника по математическому анализу

«Анализ бесконечно малых», 1696

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Ответьте на вопросы:

Вопрос 1 : Что называется производной?

Вопрос 2 : В чем геометрический и физический смысл производной?

Вопрос 3 : В решении каких типов задач применяется производная?

Вопрос 4 : Сформулируйте признаки монотонности функции и признаки экстремумов?

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Установите соответствие между функцией и ее производной

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Производная в экономических расчетах

Задача 1

Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью км/ч, составляет

С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наибольшей?

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Производная в экономических расчетах

Задача 2

Функция полных издержек производства имеет вид:

где х – объем производства продукции (в условных единицах)

Определить, при каком объеме производства продукции средние издержки имеют наименьшее значение?

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Ответьте на вопросы:

Вопрос 1 : Формула перемещения при равноускоренном движении?

Вопрос 2 : Физический смысл производной? Физический второй производной?

Вопрос 3 : Закон Ома для полной цепи?

Вопрос 4 :Мощность в цепи постоянного тока?

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Производная в физике

Задача

Материальная точка движется по прямой согласно закону

где s(t) – путь в метрах, t – время в секундах.

В какой момент времени из промежутка [4;10] скорость движения будет наибольшей и какова величина этой скорости?

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Производная в физике

Задача

Сила тока I в цепи определяется согласно закону Ома

где E – ЭДС источника, R – сопротивление внешнего участка, r – сопротивление внутреннего участка цепи.

При каком R мощность на внешнем участке цепи является наибольшей?

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Производная в физике

Мощность электрического тока выражается формулой:

Исследуем полученную функцию на экстремум:

Критические точки:

0 , функция возрастает, при R r , разность r-R То есть, точка R=r – точка максимума функции. Следовательно, при R=r достигается наибольшая мощность " width="640"

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Производная в физике

Получаем,

при R r , разность r-R 0 , функция возрастает,

при R r , разность r-R

То есть, точка R=r – точка максимума функции.

Следовательно, при R=r достигается наибольшая мощность

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Производная в химии

Количество вещества, вступившего в химическую реакцию, задается зависимостью:

Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Производная в химии

Изменение количества вещества за момент времени

составит

Отношение

• средняя скорость реакции за

данный период времени

по определению есть производная

функции p(t)

.

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Производная в химии

Количество вещества, вступившего в химическую реакцию, задается зависимостью:

Скорость химической реакции задается зависимостью:

Скорость химической реакции в момент времени t=3 :

Итак, скорость химической реакции в момент времени 3 равна нулю

Применение производной в изучении естественно-научных дисциплин

Решите примеры и составьте высказывание гениального мыслителя!

2

сколько

200

скрыто

1

математики

в каждой

заключено

201

науке

5

0

истины

общественной

0,6

столько

1,004

5 e

,

1,4

лжи

6 е

в ней

¾

естественной

Иммануил Кант