Применение теорем Чевы и Менелая

Применение теорем Чевы и Менелая

В курсе геометрии изучаются важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости, но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не входят в основной курс школы.

В данной работе рассматриваются теоремы Чевы и Менелая, которые позволяют легко получить решение, в то время как традиционные подходы приводят к громоздким преобразованиям.

Введение

Историческая справка

Джованни Чева

Менелай Александрийский

3

Теорема Чевы

Если через вершины ∆ABC проведены прямые AX , BY , CZ , пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках X , Y , Z , то для того чтобы эти прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

4

Эта теорема Входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского. Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника, в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки ).

Задача 1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 :1 , считая от вершины.

6

Задача 1 ( c использованием теорем Чевы и Менелая).

Решение :

C

A 1

B 1

O

A

B

C 1

7

Задача 2

В ∆ABC на стороне BC взята точка N так, что NC=3BN . На продолжении стороны AC за точку A взята точка M так, что MA=AC . Прямая MN пересекает сторону AB в точке F . Найти отношение BF:FA .

8

Задача 2 ( c использованием теоремы Менелая).

Решение :

B

k

По условию задачи

МА = АС, NC = 3 BN .

Пусть МА = АС = b ,

BN = k , NC = 3 k .

Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая :

N

F

3k

C

M

b

A

b

Рис. 14

Заключение

• Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7–9 классов. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.
• Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, приводящими к громоздким преобразованиям, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.
• Решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.

10

10