Призмы, параллелепипед, куб. Построение сечений методом следов.

Призмы

Презентацию выполнила учитель математики МАОУ Лицей №1

Мухамбетова Салтанат Ромашевна

Содержание

• Призма
• Параллелепипед
• Куб
• Построение сечений призм и параллелепипедов различными методами

В меню

Призма

• Определение призмы и ее элементов
• Количество вершин, ребер, граней, диагоналей у n-угольной призы
• Виды призм
• Призматическая поверхность
• Боковая и полная поверхности призм; формулы вычисления их площадей
• Формулы вычисления объемов прямой и наклонной призм

В меню

Параллелепипед

• Определение и свойства параллелепипеда
• Виды параллелепипеда
• Свойства прямоугольного параллелепипеда
• Объем параллелепипеда

В меню

Определение призмы и ее элементов

Призмой называется многогранник две грани которого, называемые основаниями призмы, - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани – параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.

Грани призмы, отличные от оснований, называются боковыми гранями ,а их объединение – боковой поверхностью призмы. Стороны боковых граней, не лежащие в плоскостях оснований, называются боковыми ребрами призмы.

Объединение боковой поверхности призмы и двух её оснований называется полной поверхностью призмы.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не лежащие в одной грани, называется диагональю призмы .

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы .

Далее

Определение призмы и ее элементов

На рисунке изображена шестиугольная призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 (название призме принято давать в соответствии с многоугольником, лежащим в ее основании). Призма имеет:

• два основания – это выпуклые шестиугольники ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ;

• ребра при основании – это стороны указанных шестиугольников;
• боковые ребра - их шесть AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 , EE 1 , FF 1 ;
• боковые грани – их тоже шесть (например, боковая грань DD 1 E 1 E ).

Назад

Далее

Определение призмы и ее элементов

Призма обладает следующими свойствами:

• все боковые ребра равны между собой как отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями;
• все боковые грани призмы являются параллелограммами;
• соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны;
• в основаниях лежат равные многоугольники.

В меню

Назад

N-угольная призма

Призма называется n-угольной, если её основания – простой n-угольник.

У n-угольной призмы 2n вершин, 3n ребер, n+2 граней и n(n-3) диагоналей.

В меню

• Правильная
• Правильная

• Наклонная
• Наклонная

• Прямая
• Прямая

Виды призм

.

.

.

В меню

Правильная призма

• Правильной призмой называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

На рисунке изображена правильная семиугольная призма. В основании призмы лежит правильный семиугольник, а боковые ребра перпендикулярны к основаниям призмы.

В меню

Прямая призма

• Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

На рисунке изображена прямая призма. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра

В меню

Наклонная призма

• Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны плоскости основания.

На рисунке изображена наклонная призма.

В меню

Призматическая поверхность

плоскостями, пересекающими все его грани и ребра, представляют собой призму. Эта призма является прямой(см. рис.а) или наклонной(см. рис.б), если секущие плоскости соответственно перпендикулярны или не перпендикулярны боковым ребрам призматического тела.

Часть призматического тела, заключенная между двумя параллельными

В меню

Назад

Призматическая поверхность

Поверхность, образованная движением прямой в пространстве так, что эта прямая остается параллельной самой себе и пересекает данную плоскую ломанную линию, называется призматической поверхностью.

Подвижная прямая называется образующей призматической поверхности , а данная ломанная – ее направляющей . Тело, ограниченное призматической поверхностью, называется призматическим телом . Образующие призматической поверхности, проходящие через вершины направляющей, называются ребрами призматической поверхности (призматического тела).

Далее

Боковая и полная поверхности призм; формулы вычисления их площадей

Площадью боковой поверхности S бок призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадью полной поверхности S полн призмы называется сумма площадей всех ее граней, т.е. S полн = 2 S оcн + S бок , где S оcн – площадь основания призмы.

Для прямой призмы, все боковые грани которой являются прямоугольниками, площадь боковой поверхности находят по формуле S бок = Р осн ·l , где Р осн - периметр многоугольника, лежащего в основании призмы, а l -длина бокового ребра.

Далее

Боковая и полная поверхности призм; формулы вычисления их площадей

Труднее обстоит дело с нахождением площади боковой поверхности наклонной призмы, боковые грани которой являются параллелограммами. Здесь помогает понятие перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярным сечением призмы называется такое ее сечение плоскостью, которое перпендикулярно боковым ребрам и пересекает каждое из них.

Заметим, что каждая сторона многоугольника, являющегося перпендикулярным сечением, – это высота некоторой боковой грани. Поэтому площадь каждой боковой грани, как параллелограмма, находим по формуле a i ·l , , где l - длина бокового ребра призмы, a i – длина некоторой стороны перпендикулярного сечения. Суммируя площади боковых граней, получаем S бок = Р п.сеч ·l , где Р п.сеч – периметр перпендикулярного сечения.

В меню

Назад

Формулы вычисления объемов прямой и наклонной призм

Объем прямой призмы равен произведению площади основания призмы на ее высоту.

V призмы = S о ּ H , где S о – площадь основания призмы, Н – длина высоты призмы

Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро.

V призмы = S ⊥ ּ l , где l – длина бокового ребра призмы; S ⊥ – площадь перпендикулярного сечения призмы.

При этом, высота призмы равна расстоянию между плоскостями, содержащими основания призмы, а перпендикулярное сечение – сечение призмы плоскостью перпендикулярной боковому ребру призмы и пересекающей все боковые ребра призмы или их продолжения.

Далее

Формулы вычисления объемов прямой и наклонной призм

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямая призма

Далее

Назад

Формулы вычисления объемов прямой и наклонной призм

На рисунке MNPQ – перпендикулярное сечение призмы, пересекающее три боковых ребра призмы и продолжение четвертого. В этом случае объем призмы находим по формуле V призмы = S MNPQ ּ AA 1

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – наклонная призма

В меню

Назад

Количество вершин, ребер, граней, диагоналей у n-угольной призы

Призма называется n-угольной, если её основания – простой n-угольник.

У n-угольной призмы 2n вершин, 3n ребер, n+2 граней и n(n-3) диагоналей.

В меню

Определение и свойства параллелепипеда

Призма, основание которой – параллелограмм, называется параллелепипедом.

Всего параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер, 8 вершин и 4 диагонали.

Стороны параллелограммов, образующих поверхность параллелепипеда, называются ребрами параллелепипеда .

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими (противоположными).

Параллельные ребра параллелепипеда, не лежащие в одной грани, называются его противолежащими (противоположными) ребрами .

Отрезок, соединяющий две противоположные вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда .

Далее

Определение и свойства параллелепипеда

Свойства параллелепипеда:

• диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;
• точка пересечения диагоналей параллелепипеда являются его центром симметрии;
• противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны;
• сумма квадратов длин всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его ребер.

Назад

Далее

Определение и свойства параллелепипеда

Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными вершинам , например, вершины А и С 1 , В и D 1 . AC 1 , BD 1 , CA 1 , DB 1 – диагонали параллелепипеда.

Одну из граней (любую, например ABCD ) и противоположную ей грань A 1 B 1 C 1 D 1 называют основаниями параллелепипеда , а остальные грани по отношению к выбранным – боковыми гранями . В данном примере ADD 1 A 1 , ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 , CDD 1 C 1 – боковые грани.

AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 – боковые ребра.

Точки A , B , C , D , A 1 , B 1 , C 1 , D 1 в которых сходятся ребра, называются вершинами.

Параллелограммы ABCD , ADD 1 A 1 , DD 1 C 1 C , CC 1 B 1 B , A 1 B 1 C 1 D 1 , AA 1 B 1 B , из которых состоит поверхность тетраэдра, называются гранями параллелепипеда .

В меню

Назад

• Наклонный
• Наклонный

• Прямой
• Прямой

Виды параллелепипеда

.

.

В меню

24

Наклонный параллелепипед

Параллелепипед называется наклонным, если его боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований.

На рисунке изображена наклонная призма.

В меню

Прямой параллелепипед

Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.

Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник, называется прямоугольным .

Далее

Прямой параллелепипед

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной его вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда .

У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.

A 1 C 2 =AB 2 +AD 2 +AA 1 2

В меню

Назад

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

• все шесть граней являются прямоугольниками;
• все двугранные углы- прямые;
• все диагонали равны
• квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений

В меню

Объем параллелепипеда

Прямой параллелепипед 0

Прямоугольный параллелепипед

Общая формула для вычисления объема любого параллелепипеда такова: V П = S о ּ H , где S о – площадь любой грани, которая принимается за основание параллелепипеда; Н – высота параллелепипеда, равная расстоянию между его основаниями. Здесь следует понимать, что в наклонном параллелепипеде любая пара граней, расположенных в параллельных плоскостях, может быть принята за основания. В результате формула V П = S о ּ H может быть записана тремя различными способами. Например, для наклонного параллелепипеда, изображенного на рисунке, получим.

Здесь Н 1 , Н 2 , Н 3 , – высоты параллелепипеда, соответственно равные расстояниям между парами параллельных плоскостей ABC и A 1 B 1 C 1 , ADD 1 и BCC 1 , ABB 1 и DCC 1 .

В меню

Куб

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

На рисунке изображен правильный гексаэдр или куб. Его поверхность состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов). Поскольку каждая его вершина является общей для трех граней, то сумма плоских углов при вершине равна 270º.

У правильного гексаэдра также как и у паралллепипеда 8 вершин (N в =8), 6 граней (N гр =6) и 12 ребер (N р =12).

Если длина ребра куба равна a , то длина диагонали куба равна

Запомните : длина диагонали квадрата ,

длина диагонали куба .

В меню

Построение сечений призм и параллелепипедов различными методами

• Методы построения сечений многогранников
• Построение сечения в параллелепипеде
• Построение сечения в треугольной призме
• Задачи

В меню

Задачи

• Задача №1
• Задача №2
• Задача №3
• Задача №4
• Задача №5
• Задача №6

В меню

Задача №1

Задача 1

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на рёбрах АВ, ВС и С 1 D 1 отмечены точки M, N, L соответственно, причем АМ=МВ, BN=2NC, C 1 L=3LD 1 . Постройте сечение куба плоскостью MNL и определите, в каком отношении это сечение делит ребро А 1 D 1 .

Решение

1) Точки М и N лежат в секущей плоскости и лежат в плоскости нижнего основания, значит, (LMN)Ç (АВС) = МN.

2) Плоскости нижнего и верхнего основания куба параллельны друг другу, поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Здесь надо найти, в каком отношении плоскость (MNL) делит ребро А 1 D 1 .

Пусть А 1 D 1 Ç (MNL) = Р. Треугольники ВМN и РLD 1 подобны по двум углам ( углы В и D 1 прямые, углы М и L равны как углы с сонаправленными сторонами).

, и РD 1 =0.5 ВN, тогда РD 1 :РА 1 = 1:2.

Итак, мы имеем уже две стороны сечения куба: РL и NM.

Далее

Задача №1

3) Прямая NM пересекает прямую DС в точке О, т.е. точка О – точка, лежит и в секущей плоскости, и в плоскости грани DCC 1 . Но, в плоскости грани DCC 1 лежит и точка L секущей плоскости, значит, соединив точки О и L, мы получим линию пересечения секущей плоскости и плоскости грани DCC 1 , а для сечения куба это сторона LТ.

4) Аналогично п.3 NM ÇАD = Е. Прямая РЕ – линия пересечения секущей плоскости и плоскости грани АDD 1 . РЕ ÇАА 1 = Н. Для сечения куба это сторона РН.

5) Остался последний шаг: точки секущей плоскости М и Н лежат в одной

грани, соединив их, получим сторону сечения РН; точки Т и N лежат в

одной грани, соединив их, получим сторону сечения ТN. На рис.

РLTNMН – искомое сечение.

Ответ : 1:3.

Назад

В меню

Задача №2

Задача 2

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка М лежит на ребре CD и DM:МС = 1:3, точка К лежит на ребре АВ и АК:КВ = 3:1 . Постройте сечение куба, проходящее через точки M, К параллельно диагонали СА 1 и определите его периметр, если ребро куба равно 1.

Решение

1) Точки секущей плоскости М и К лежат в одной грани , значит, их можно соединить, и мы получим линию пересечения секущей плоскости с гранью АВС, отрезок МК.

2) Чтобы секущая плоскость была параллельна диагонали СА 1 , мы должны построить прямую, лежащую в секущей плоскости и параллельную прямой СА 1 .

Рассмотрим плоскость АСА 1 . В этой плоскости лежит диагональ СА 1 и эта плоскость имеет с секущей плоскостью общую точку О (О = МК^АС).

По свойствам квадрата, точка О – середина диагонали квадрата нижнего основания АС.

Поскольку, плоскость АСА 1 проходит через прямую, параллельную секущей плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна прямой СА 1 . Но, т.к. секущая плоскость и плоскость АСА 1 имеют общую точку О, то линия их пересечения проходит

Далее

Задача №2

.

их пересечения проходит через точку О. Построим в плоскости АСА 1 прямую, параллельную прямой СА 1 . Эта прямая пересечет ребро АА 1 в точке Н, которая лежит в секущей плоскости. По теореме Фалеса, Точка Н – середина ребра АА 1 .

4) Прямые КМ и АD лежат в одной плоскости и пересекаются в точке Е. Точки секущей плоскости Н и Е лежат в одной грани АDD 1 . Соединив эти точки, получим линию пересечения секущей плоскости и грани АDD 1 , для сечения куба это сторона ТН.

5) Последний шаг в построении сечения:

точки Н и К лежат в одной грани, соединив их, получим сторону сечения КН; точки Т и М лежат в одной грани, соединив их, получим сторону сечения ТМ.

НТМК – искомое сечение.

6) Найдем периметр этого сечения.

а) В грани АВВ 1 А 1 точка Н - середина ребра АА 1 , точка К такова, что КВ:КА = 1:3.

При условии, что ребро куба равно 1, АН = 0,5, АК = 0,75 и по

теореме Пифагора для ΔНАК НК =

Назад

Далее

Задача №2

Назад

В меню

Задача №3

Задача 3

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на ребре ВВ 1 отмечена точка М такая, что ВМ:МВ 1 = 1:2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости А 1 С 1 D.

Решение

Для построения секущей плоскости α, параллельной плоскости А 1 С 1 D, необходимо построить две пересекающиеся прямые плоскости α, параллельные двум прямым плоскости А 1 С 1 D. (признак параллельности плоскостей)

а) Построим диагонали оснований АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 отрезки АС, ВD и В 1 D 1 , а так же отрезок ОВ 1 и линию пересечения плоскостей А 1 С 1 D и ВDD 1 прямую DО 1 .

Четырехугольник ОDО 1 В 1 – параллелограмм (по признаку: ОD║О 1 В 1 и ОD = О 1 В 1 ), значит DО 1 ║В 1 О.

В плоскости ВDD 1 проведем отрезок МН, параллельный отрезку ОВ 1 . По теореме Фалеса ВН:ОН = ВМ:МВ 1 = 1:2.

Далее

Задача №3

Имеем : МН║ОВ 1 , ОВ 1 ║DО 1 , следовательно, МН║DО 1 , а DО 1 лежит в плоскости А 1 С 1 D.

б) В плоскости АВС через точку Н проведем прямую КР, параллельную диагонали АС.

АС║А 1 С 1 , КР║АС, следовательно, КР║А 1 С 1 .

в) Итак, мы построили две пересекающиеся прямые МН и КР, параллельные двум прямым плоскости А 1 С 1 D.

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная

плоскость. Кроме того, эта плоскость проходит через заданную точку М. Поэтому, плоскость, проходящая через прямые МН и КР, – искомая секущая плоскость.

Точки секущей плоскости М и К лежат в плоскости одной грани, соединив их, мы получим сторону сечения МК.

Точки секущей плоскости и Р лежат в плоскости одной грани, соединив их, мы получим сторону сечения МР.

Треугольник МКР – искомое сечение.

Назад

В меню

Задача №4

Задача 4

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - наклонный параллелепипед, АА 1 , ВВ 1 , СС 1 и DD 1 - его рёбра, а основание ABCD - параллелограмм. На рёбрах АВ, ВВ 1 и А 1 D 1 отмечены точки M, N, L соответственно, причем 2АМ=МВ, BN=NВ 1 , А 1 L=LD 1 . Постройте сечение s параллелепипеда плоскостью MNL и определите, в каком отношении это сечение делит ребро AD.

Решение

1) а) Точки М и N лежат в одной грани, соединив их, получим сторону сечения МN.

б) Прямые МN и АА 1 лежат в одной плоскости АВВ 1 , значит их можно пересечь в точек К. Точка К лежит на прямой АА 1 , а прямая АА 1 лежит в грани АА 1 D 1 D, значит, точки К и L лежат в одной грани и их можно соединить прямой КL. Эта прямая пересекает ребро АD в точке Р, отрезок РL – сторона сечения.

в) Прямые МN и А 1 В 1 лежат в одной плоскости АВВ 1 , значит их можно пересечь в точек Е. Точка Е лежит на прямой А 1 В 1 , а прямая А 1 В 1 лежит в грани А 1 В 1 С 1 D 1 , значит, точки Е и L лежат в одной грани и их можно соединить прямой ЕL. Эта прямая пересекает ребро А 1 В 1 в точке Н, отрезок LН – сторона сечения.

Далее

Задача №4

г) Точки Н и N лежат в одной грани, соединив их, получим сторону сечения НN.

Точки Р и М лежат в одной грани, соединив их, получим сторону сечения РМ.

РМNНL – искомое сечение.

2) Найдем, в каком отношении секущая плоскость делит ребра АD и В 1 С 1 .

а) Треугольники ВМN и АМК подобны по двум углам, АК:ВN=АМ:МВ = 1:2, учитывая, что N – середина ВВ 1 , и параллельные ребра параллелепипеда равны АК:АА 1 =1:4, а АК:КА 1 =1:5.

Треугольники КАР и А 1 LК подобны по двум углам, АР:А 1 L = АК:КА 1 = 1:5. Учитывая, что L – середина А 1 D 1 , и параллельные ребра параллелепипеда равны АР:АD = 1:10 и АР:РD = 1:9.

Ответ : 1:9.

Назад

В меню

Задача №5

Задача 5

Основанием прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 является равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ, причем АС = 4 , угол С равен 120°, боковое ребро АА 1 равно 8 . Найти площадь сечения А 1 В 1 С.

Решение

а) Проведем СН – высоту ΔАВС и восстановим перпендикуляр НН 1 к ребру АВ в плоскости АВВ 1 .

Прямая СН – проекция прямой СН 1 на плоскость АВС и СН^АВ, по теореме о трех перпендикулярах СН 1 ^АВ. Но, АВ║А 1 В 1 , значит, СН 1 ^А 1 В 1 ( по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна третьей прямой).

Тогда СН 1 высота Δ А 1 В 1 С и S сеч = 0,5СН 1 ∙А 1 В 1 .

б) Найдем высоту СН 1 .

ΔСНН 1 – прямоугольный (НН 1 ^АВ).

НН 1 = 8.

В прямоугольном треугольнике СНВ угол В равен 30°, гипотенуза ВС = 4, значит катет СН = 2, АВ =  .

Из прямоугольного  Δ СНН 1  :

в)

Ответ:

В меню

Задача №6

Задача 6

Основанием призмы является правильный треугольник со стороной 6. Боковое ребро ВВ 1 призмы равно 5 и образует со сторонами АВ и ВС углы по 60°. Точка К середина ребра А 1 В 1 , точка М лежит на ребре ВС и ВМ:МС = 2:1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки К и М, параллельно ребру АС.

Решение

а) Построим указанное сечение.

Проведем в плоскости АВС прямую МЕ, параллельную АС (точка Е лежит на ребре АВ).

Точки Е и К лежат в одной грани, соединив их отрезком, получим сторону КЕ сечения.

Плоскости АВС и А 1 В 1 С 1 параллельны, значит секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Но, ЕМ║АС║А 1 С 1 , значит, можно в плоскости А 1 В 1 С 1 провести прямую КР (точка Р лежит на ребре В 1 С 1 ), параллельную А 1 С 1 и эта прямая будет параллельна и прямой ЕМ. Соединив точки Р и М, получим сторону сечения.

Итак, секущая плоскость проходит через точки К и М, и прямая ЕМ, лежащая в этой плоскости, параллельна прямой АС, следовательно, секущая плоскость

параллельна прямой АС по признаку параллельности прямой и плоскости.

ЕМРК - искомое сечение.

Далее

Задача №6

б) Найдем площадь четырехугольника ЕМРК.

КР║ЕМ, ЕК и РМ не параллельны, значит, ЕМРК – трапеция.

КР – средняя линия ΔА 1 В 1 С 1 , поэтому, КР=0,5А 1 С 1 , КР = 3.

Треугольники АВС и ЕМВ подобны по двум угла, ЕМ:АС = ВМ:ВС=2:3, ЕМ = 4.

Параллелограммы ВСС 1 В 1 и АВВ 1 А 1 равны, ВМ:МС = ВЕ:ЕА ( по теореме Фалеса), значит, КЕ = РМ, и трапеция ЕМРК – равнобедренная.

Найдем длину РМ. Проведем отрезок НС, параллельный РМ. Четырехугольник РНСМ- параллелограмм по определению, и НС = РМ, НС 1 = 1.

Из Δ НСС 1 : учитывая, что угол В 1 ВС равен углу В 1 С 1 С и они оба равны 60°, найдем по теореме косинусов НС = .

В трапеции ЕМРК высота СD равна ( вычислите это самостоятельно).

S сеч = .

Назад

В меню

Методы построения сечений многогранников

Секущей плоскостью многогранника называется плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, эти отрезки образуют многоугольник, который и называется сечением многогранника .

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит построить прямые, являющиеся следами пересечений граней многогранника данной плоскостью. Секущая плоскость может быть задана различными способами, например:

• Тремя точками, которые не лежат на одной прямой;
• Прямой и точкой, не лежащей на ней;
• Некоторыми из указанных выше геометрических элементов в совокупности с различными зависимостями между ними и элементами(гранями, ребрами, диагоналями и т.д.) многогранника.

Далее

24

Методы построения сечений многогранников

Для фактического построения сечений многогранников плоскостью применяются два метода: построения следов и соответствия .

Метод построения следов состоит в том, что на плоскости нижнего основания многогранника(иногда на какой-либо другой плоскости) выполняется построения следов(линии пересечений секущей с плоскостью). С помощью этих следов легко выполняется построение точек пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Построение сечений основано на простом следствии из аксиом стереометрии: если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения данных плоскостей.

Одним из недостатков метода следов является тот факт, что при малом наклоне плоскости сечения к плоскости основания след оказывается весьма удаленным от основной части чертежа. Поэтому приходится строить многогранник меньшего размера, что нежелательно.

Метод соответствия не имеет недостатка, присущего методу следов. Каждой точке сечения ставится в соответствие некоторая точка основания рассматриваемой призмы

или пирамиды.

Назад

В меню

Построение сечения в треугольной призме

Построим сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A 1 и C (рис. а) параллельно прямой BC 1 .

Плоскость сечения обозначим через µ. Перенесем параллельно себе прямую BC 1 до пересечения с A 1 C, например, в точке C(рис. б), и с продолжением B 1 B в точке S. Тогда CS – линия пересечения плоскостей µ и B B 1 C 1 C. Точки S и A 1 принадлежат плоскостям µ и AA 1 B 1 B, значит, A 1 S=µ^ AA 1 B 1 B. Проведя прямую A 1 S, найдем вершину K сечения. Сечение – треугольник A 1 KC.

В меню

Построение сечения в параллелепипеде

Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M и N на ребрах AA 1 и C C 1 параллельно диагонали BD основания (рис.а).

Покажем два приема построения сечения.

1.Обозначим плоскость сечения через µ. Прямая

BD расположена в плоскости BB 1 D 1 D(рис. а),

следовательно, плоскости µ и BB 1 D 1 D. Построим точку пересечения прямой MN, лежащей в

плоскости µ, с плоскостью BB 1 D 1 D. Для этого постоим прямую О 1 О, тогда общая точка Е прямых О 1 О и MN и есть точка пересечения прямой MN с плоскостью BB 1 D 1 D. Затем через точку Е в плоскости BB 1 D 1 D проведем прямую, параллельную BD, и найдем точки P и Q пересечения ее с ребрами BB 1 и D 1 D. Сечение – параллелограмм MNPQ.

Далее

Построение сечения в параллелепипеде

Если в задаче требуется вычислить углы наклона плоскости сечения к граням параллелепипеда, то лучше сечение построить по такой схеме.

2.Линии MN и CA лежат в одной плоскости AA 1 C 1 C, продолжим их до

пересечения в точке S(рис.б). Так как MN принадлежит плоскости µ, то точка S – это точка пересечения плоскостей µ и ABCD. Тогда, по условию задачи, эта линия пересечения должна быть параллельна BD. Проводим через точку S линию KF ІІ BD, соединяя точки N и F, при пересечении с BB 1 получаем точку P, а соединяя точки N и K, при пересечении с DD 1 получаем точку Q. Сечение - параллелограмм MNPQ.

В меню

Назад