Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма

К учебнику Л.С.Атанасяна

Геометрия 7 - 9, Глава V, п. 44, 8 класс

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

ǁ

ǁ

Что означают слова?

СВОЙСТВА

ПРИЗНАКИ

Если в треугольнике ……………………….. , то он равнобедренный

два угла равны,

две стороны равны,

Свойство

параллелограмма

В параллелограмме

противоположные стороны равны

Признак параллелограмма

(обратное утверждение)

Если в четырехугольнике

противоположные стороны равны,

то этот четырехугольник - параллелограмм

S

/

/

1 0 . ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Дано: АВСД – четырехугольник, АВ=СD, АD=СВ

Доказать: АВСD – параллелограмм (АВ ǁСD, АDǁСВ )

В

С

ǁ

А

D

ǁ

Δ АВС = Δ СDА

∠ ВАС =∠ DСА

∠ ВСА =∠ DАС

АВǁСD

АDǁСВ

/

/

S

2 0 . ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Дано: АВСД – четырехугольник, АВ=СD, АВǁСD

Доказать: АВСD – параллелограмм ( АВ ǁ СD , АDǁСВ )

В

С

АВ = СD

АВ ǁ СD

А

D

АDǁСВ

Δ АВС = Δ СDА

∠ ВСА =∠ DАС

АВǁСD (по условию)

АВСD –

АDǁВС (по доказанному)

параллелограмм

/

/

3 0 . ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Дано: АВСД – четырехугольник, АO=СO, BO=DO

Доказать: АВСD – параллелограмм

В

С

ǁ

O

ǁ

А

D

АВǁСD

∠ ВАO =∠ DСO

Δ АOВ = Δ СOD

АВ=СD

АВǁСD

AB=CD

АВСD –

параллелограмм

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

В

С

O

А

D

Четырехугольник АВСД является параллелограммом, если:

1 0 . АВ=СD

2 0 . АВǁСD

3 0 . АO=СO

AD=BC

AB=CD

BO=DO

Задача № 1

Точки M и N – середины противоположных сторон ВС и АD параллелограмма АВСD. Докажите, что четырехугольник АМСN – параллелограмм.

C

M

B

ǁ

ǁ

ǁ

ǁ

D

N

A

Задача № 2

В треугольнике АВС медиана АМ продолжена за точку М до точки D на расстояние, равное АМ, так, что АМ = МD. Докажите, что четырехугольник АВDС – параллелограмм.

A

C

B

ǁ

ǁ

M

D

Задача № 3

Точки К, L, М и N –середины сторон соответственно АВ, ВС, СD и АD параллелограмма АВСD. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых АL, ВМ, СN и DК – параллелограмм.

C

B

L

ǁ

ǁ

АK = KB, BL = LC, CM = MD, DN = NA

R

S

M

K

P

Доказать:

PRST - параллелограмм.

T

ǁ

ǁ

D

N

A

Задача № 4

На сторонах АВ, ВС, СD и АD параллелограмма АВСD взяты соответственно точки М, N, К и L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, KLMN – параллелограмм.

АM : МВ = m : n,

N

BN : NC = m : n,

CK : KD = m : n,

DL : LA = m : n

Доказать:

KLMN - параллелограмм.

C

B

M

K

A

D

L

ǁ

ǁ

Задача № 4 (решение)

N

ǁ

C

B

M

K

ǁ

A

D

L

Задача № 5

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и СD соответственно в точках М и К, вторая – стороны ВС и АD соответственно в точках N и L Докажите, что четырехугольник MNKL – параллелограмм.

C

B

N

M

K

O

D

L

A