Пробный вариант 3 математика 2016

Пробный вариант 3 математика 2016.

1. За­да­ние 1 № 341323. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ре­ше­ние.

Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки:

Ответ: -3.

Ответ: -3

341323

-3

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.04.2015 ва­ри­ант МА90701.

2. За­да­ние 2 № 337358. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Най­ди­те наи­мень­шее из чисел a², a³, a⁴.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) a²

2) a³

3) a⁴

4) не хва­та­ет дан­ных для от­ве­та

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что от­ку­да сле­ду­ет, что Таким об­ра­зом, наи­мень­шее из пред­став­лен­ных в от­ве­те чисел — число

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 3.

Ответ: 3

337358

3

3. За­да­ние 3 № 317389. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 5

2)

3)

4) 40

Ре­ше­ние.

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

317389

1

4. За­да­ние 4 № 314572. Най­ди­те корни урав­не­ния

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки:

Ответ: 0; 4.

Ответ: 0;4

314572

0;4

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

5. За­да­ние 5 № 138. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1)

2)

3)

4)

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке.

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций:

1)   урав­не­ние пря­мой c точ­кой пе­ре­се­че­ния с осью ор­ди­нат

2)   урав­не­ние ги­пер­бо­лы.

3)   урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ны вверх.

4)   урав­не­ние пря­мой c точ­кой пе­ре­се­че­ния с осью ор­ди­нат

Тем самым най­де­но со­от­вет­ствие: A — 4, Б — 3, В — 2.

Ответ: 432.

Ответ: 432

138

432

Источник: ГИА по ма­те­ма­ти­ке 28.05.2013. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 1313.

6. За­да­ние 6 № 341225. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на усло­ви­я­ми Най­ди­те

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но вы­чис­лим: c₂ = −2, c₃ = −3, c₄ = −4, c₅ = −5, c₆ = −6, c₇ = −7.

При­ме­ча­ние.

Дан­ная по­сле­до­ва­тель­ность об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Най­дем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

тогда

Зная раз­ность и пер­вый член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, можно найти по­сред­ствен­но:

Ответ: −7.

Ответ: -7

341225

-7

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

7. За­да­ние 7 № 338131. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

Ре­ше­ние.

При­ведём в скоб­ках к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Под­ста­вим зна­че­ние

Ответ: 390.

Ответ: 390

338131

390

8. За­да­ние 8 № 314604. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Решим каж­дое из не­ра­венств:

1) — ре­ше­ний нет.

2) — верно для всех

3)

4)

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

314604

3

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

9. За­да­ние 9 № 311458. Диа­го­наль  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Так как угол А равен 75°, а сумма од­но­сто­рон­них углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°, боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 105°.

Ответ: 105.

Ответ: 105

311458

105

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Ва­ри­ант 9

10. За­да­ние 10 № 311494. В окруж­но­сти с цен­тром в точке O про­ве­де­ны диа­мет­ры AD и BC, угол OAB равен 25°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OCD.

Ре­ше­ние.

Углы BCD и OAB яв­ля­ют­ся впи­сан­ны­ми и опи­ра­ют­ся на одну дугу BD. По­это­му ∠OAB = ∠BCD = ∠OCD = 25°.

Ответ: 25.

Ответ: 25

311494

25

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Ва­ри­ант 10

11. За­да­ние 11 № 169880. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а тан­генс од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, , где x — число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 20.

Ответ: 20

169880

20

12. За­да­ние 12 № 316285. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС равно шести сто­ро­нам клет­ки, или 6 см.

Ответ: 6.

Ответ: 6

316285

6

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90107.

13. За­да­ние 13 № 145. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ют.

2) Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ром­бом.

3) Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180° .

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

-------------------

Дуб­ли­ру­ет 315121

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ют» — верно, т.к. сов­па­да­ют точки пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис и се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров этого тре­уголь­ни­ка.

2) «Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ром­бом» — не­вер­но; вер­ным будет утвер­жде­ние: «Су­ще­ству­ет ромб, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квад­ра­том».

3) «Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180°» — верно по свой­ству тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1; 3

145

1; 3

Источник: ГИА по ма­те­ма­ти­ке 28.05.2013. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 1313.

14. За­да­ние 14 № 30. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по бегу на 30 мет­ров для уча­щих­ся 9-х клас­сов.

Какую от­мет­ку по­лу­чит де­воч­ка, про­бе­жав­шая эту ди­стан­цию за 5,36 се­кун­ды?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) От­мет­ка «5».

2) От­мет­ка «4».

3) От­мет­ка «3».

4) Нор­ма­тив не вы­пол­нен.

Ре­ше­ние.

Де­воч­ка про­бе­жа­ла ди­стан­цию не так быст­ро, чтобы по­лу­чить «5», но до­ста­точ­но быст­ро, чтобы по­лу­чить «4».

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

30

2

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ГИА—2013 по математике.

15. За­да­ние 15 № 315200. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны не­ко­то­рые из круп­ней­ших по чис­лен­но­сти на­се­ле­ния стран мира.

Чис­лен­ность на­се­ле­ния ка­ко­го го­су­дар­ства при­мер­но в 6 раз мень­ше чис­лен­но­сти на­се­ле­ния Китая? В от­ве­те на­пи­ши­те чис­лен­ность на­се­ле­ния этого го­су­дар­ства в млн чел.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что чис­лен­ность на­се­ле­ния Китая 1275 млн чел., сле­до­ва­тель­но, го­су­дар­ство с чис­лен­но­стью на­се­ле­ния при­мер­но в 6 раз мень­ше долж­но иметь чис­лен­ность на­се­ле­ния около 1275 : 6 = 212,5 млн чел. Из диа­грам­мы видно, что такое го­су­дар­ство — Ин­до­не­зия.

Ответ: 215.

Ответ: 215

315200

215

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

16. За­да­ние 16 № 318186. Клуб­ни­ка стоит 180 руб­лей за ки­ло­грамм, а ви­но­град – 160 руб­лей за ки­ло­грамм. На сколь­ко про­цен­тов клуб­ни­ка до­ро­же ви­но­гра­да?

Ре­ше­ние.

Клуб­ни­ка до­ро­же ви­но­гра­да на 180 − 160 = 20 руб­лей. Раз­де­лим 20 на 160:

Зна­чит, клуб­ни­ка до­ро­же ви­но­гра­да на 12,5%.

Ответ: 12,5.

Ответ: 12,5

318186

12,5

17. За­да­ние 17 № 311358. Ди­зай­нер Павел по­лу­чи­л заказ на де­ко­ри­ро­ва­ние че­мо­да­на цвет­ной бу­ма­гой. По ри­сун­ку опре­де­ли­те, сколь­ко бу­ма­ги (в см²) не­об­хо­ди­мо за­ку­пить Павлу, чтобы окле­ить всю внеш­нюю по­верх­ность че­мо­да­на, если каж­дую грань он будет об­кле­и­вать от­дель­но (без за­ги­бов).

Ре­ше­ние.

Най­дем пло­ща­ди всех де­та­лей, ко­то­рые не­об­хо­ди­мо об­кле­ить:

Так как че­мо­дан имеет по две оди­на­ко­вых де­та­ли, вся пло­щадь, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо об­кле­ить равна

Ответ: 17400.

Ответ: 17400

311358

17400

Источник: 9 класс. Математика. Кра­е­вая диагностическая работа. Крас­но­дар (вар. 4)

18. За­да­ние 18 № 341530. Сред­ний рост иг­ро­ков в бас­кет­бол в школь­ной муж­ской сбор­ной со­став­ля­ет 175 см. Рост Ки­рил­ла из этой сбор­ной со­став­ля­ет 175 см. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Обя­за­тель­но найдётся игрок, по­ми­мо Ки­рил­ла, ро­стом 175 см.

2) Ки­рилл — самый низ­кий в сбор­ной ко­ман­де по бас­кет­бо­лу.

3) Обя­за­тель­но найдётся игрок ро­стом менее 175 см.

4) Обя­за­тель­но найдётся игрок, по­ми­мо Ки­рил­ла, ро­стом не менее 175 см.

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

Ре­ше­ние.

Пер­вое утвер­жде­ние не­вер­но: на­при­мер, в ко­ман­де могут быть три иг­ро­ка ро­стом 175 см, 176 см и и 174 см.

Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но: при­мер из п. 1.

Тре­тье утвер­жде­ние не­вер­но: все иг­ро­ки могут быть ро­стом 175 см.

Четвёртое утвер­жде­ние вер­но: так как если будет игрок ниже 175 см., то для того, чтобы сред­ний рост был 175 см. нужен игрок выше 175 см.

Ответ: 4.

Ответ: 4

341530

4

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.05.2015 ва­ри­ант МА90902.

19. За­да­ние 19 № 341390. На эк­за­ме­не 60 би­ле­тов, Стас не вы­учил 6 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный билет.

Ре­ше­ние.

Стас вы­учил 60 − 6 = 54 би­ле­та, зна­чит ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся один из них равна

Ответ: 0,9.

Ответ: 0,9

341390

0,9

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.04.2015 ва­ри­ант МА90703.

20. За­да­ние 20 № 311530. Пло­щадь тра­пе­ции     можно вы­чис­лить по фор­му­ле   , где    — ос­но­ва­ния тра­пе­ции,    — вы­со­та (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те вы­со­ту   , если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны     и   , а её пло­щадь   .

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим вы­со­ту тра­пе­ции из фор­му­лы пло­ща­ди:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 4.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин:

Ответ: 4

311530

4

Источник: 9 класс. Математика. Кра­е­вая диагностическая работа. Крас­но­дар (вар.6)

21. За­да­ние 21 № 338522. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

22. За­да­ние 22 № 333319. Из двух го­ро­дов од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу от­пра­ви­лись два ве­ло­си­пе­ди­ста. Про­ехав не­ко­то­рую часть пути, пер­вый ве­ло­си­пе­дист сде­лал оста­нов­ку на 30 минут, а затем про­дол­жил дви­же­ние до встре­чи со вто­рым ве­ло­си­пе­ди­стом. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 144 км, ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна 24 км/ч, ско­рость вто­ро­го — 28 км/ч. Опре­де­ли­те рас­сто­я­ние от го­ро­да, из ко­то­ро­го вы­ехал вто­рой ве­ло­си­пе­дист, до места встре­чи.

Ре­ше­ние.

За то время, пока пер­вый ве­ло­си­пе­дист делал оста­нов­ку, вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­ехал . Всё осталь­ное время они од­но­вре­мен­но на­хо­ди­лись в пути, зна­чит, вто­рой ве­ло­си­пе­дист за это время про­ехал Таким об­ра­зом, сум­мар­но он про­ехал 84 км.

Ответ: 84 км.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 06.05.2014 ва­ри­ант МА90701.

23. За­да­ние 23 № 341129. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

при усло­вии, что

По­стро­им гра­фик:

Пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку при и при

Ответ: −4; −3.

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 10.02.2015 ва­ри­ант МА90501.

24. За­да­ние 24 № 314897. Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны , и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠KAC90°.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки и и уста­но­вим со­от­вет­ствие между их уг­ла­ми. Про­тив боль­шей сто­ро­ны все­гда лежит боль­ший угол, в тре­уголь­ни­ке это угол в тре­уголь­ни­ке , в свою оче­редь, есть тупой угол и он яв­ля­ет­ся наи­боль­шим, зна­чит Угол за­ве­до­мо не может быть равен углу так как он со­став­ля­ет толь­ко его часть. Сле­до­ва­тель­но угол равен углу

Найдём ко­си­нус угла KAC ис­поль­зуя тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Ответ:

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

25. За­да­ние 25 № 311773. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. До­ка­жи­те, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC черезO, а точку пе­ре­се­че­ния высот через H. Тогда и Таким об­ра­зом, точки A, C, O и H лежат на одной окруж­но­сти.

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90101.

26. За­да­ние 26 № 311704. Длина ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 3 см. Окруж­ность с диа­мет­ром пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу в точке . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка , если из­вест­но, что .