Проект " Косы и математика"

Министерство образования и науки республики Бурятия

АМО «Еравнинский район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Можайская средняя общеобразовательная школа»

Республиканская научно-практическая конференция

«Шаг в будущее»

Секция: Алгебра

Проект

«Математика и косы»

Авторы работы: Дондокова Аделина,

Цыбикова Аюна,

ученицы 9 класса

Руководитель: Кудрина Надежда

Андреевна,

учитель математики

с. Можайка ,2023 г.

Оглавление

1. Введение

2. Теоретическая часть:

1 Историческая справка.

2 . Теория кос

1. Практическая часть

2. Заключение

3. Список использованных источников информации

4. Приложение

1.Введение

Актуальность. Косы присутствуют в нашей жизни в различных видах и вариациях, но не все знают, что косы-это красивый геометрический объект. Чем отличается математическая коса от косы, которую практически каждый человек умеет заплетать из трех прядей волос? В начале нашего исследования мы изучили литературу, провели анализ источников информации по данной теме в сети «интернет» и пришли к выводу: красивое и наглядное понятие косы сейчас в центре внимание современной математики и физики. В основе нашей работы (её теоретической части) лежит статья «косы и узлы» а. Б. Сосинского, опубликованная в научно-популярном физико-математическом журнале «Квант» (1989) год, №2). Мы провели анкетирование среди школьников 5 – 11 классов и выяснили: ребята не подозревают, что коса – это ещё и математический объект. Изучив литературу и опираясь на результаты социологического исследование (анкетирование) определили следующую проблему.

Проблема. Плетение кос – разве это математика.

Гипотеза. Косы – один из простейших геометрических объектов, легко поддающихся классификации и «алгебраизации».

Цель. Установление взаимосвязи между плетением кос и математикой.

Задачи

1. Изучить теорию кос, историю возникновения и развития.

1. Рассмотреть классификацию и алгебраизацию кос

2. Научиться плести косы

3. Найти связь между математическими косами и косами в жизни

4. Рассмотреть положение кос

Предмет исследования. Косы

Объект исследования. Классификация и алгебраизация кос

Методы исследование. Теоретические, практические, математические

Практическая значимость. Материалы нашего исследования могут быть использованы:

• для дальнейшего изучения инвариантов узлов

• для повышения образовательного уровня школьников (в качестве дидактического материала для проведения: предметных декад, школьных конференций и т.д.)

• на занятиях внеурочной деятельности.

Тезисы по тексту работы. Плетение кос – разве это математика? Косы – один из простейших геометрических объектов, легко поддающихся «алгебраизации». Теория кос – это реальная и живая наука. Теория кос и узлов – сравнительно молодой и интенсивно развивающийся раздел математики. Теория кос, основания которой были построены благодаря азарту и настойчивости немецкого алгебраиста Эмиля Артина, является красивым синтезом геометрии, алгебры и алгеометрических методов. Косы – один из простейших геометрических объектов, легко поддающийся «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Теория кос имеет много приложений жизни, как в математике, так и за пределами её Встречая косы в повседневной жизни, мы не подозревали, что это ещё и математические объекты. В нашей работе мы исследовали связь между плетением кос и математикой, рассмотрели классификацию и алгебраизацию кос. Нам удалось установить связь между красивыми топологическими объектами – косами и математикой с помощью основной теоремы о косах.

2. Теоретическая часть

1 . Историческая справка. Теория кос – это реальная и живая наука. Теория кос и узлов – сравнительно молодой и интенсивно развивающийся раздел математики. Математики впервые заинтересовались косами и узлами лишь в ⅩⅠⅩ веке и с того времени теория кос и узлов обрела статус самостоятельного раздела математики. Теория кос, основание которой были построены благодаря азарту и настойчивости немецкого алгебраиста Эмиля Артина, является красивым синтезом геометрии, алгебры и алгоритмических методов. (приложение 1). Первоначально косы были предложены Артином в качестве математической модели для текстильной промышленности, но приложения этой теории оказались весьма разнообразными. Теперь они занимают важное место в комплексном анализе, комбинаторике, квантовой механике и квантовой теории поля. В последние 20 лет математики и физики с огромным интересом стали заниматься соответствующими теориями (особенно, теорией узлов). Среди лауреатов Филдсовской премии есть советские и российские математики: Сергей Новиков (1970), Григорий Маргулис (1978), Владимир Дринфельд (1990), Ефим Зельманов (1994), Максим Концевич (1998), Владимир Воеводский (2002), Григорий Перельман (2006, от медали отказался), Андрей Окуньков (2006) и Станислав Смирнов (2010).

2 . Теория косОпределение. Косу можно себе представить так: в верхний и нижний край вертикальной доски вбито по n гвоздиков (n может равняться 1,2,3,4...) – каждый из гвоздиков верхнего основания соединён нитью с одним из гвоздиков нижнего; нити попарно не пересекаются и всё время должны опускаться вниз (нить не имеет права, повернувшись, начать подниматься вверх). По прибытии вниз мы находим те же нити (также зафиксированные гвоздями), но не обязательно в том же порядке. Касательный вектор в любой точке кривой должен всё время «смотреть вниз», ему запрещается быть горизонтальным и тем более «смотреть вверх».

1. Классификация кос. Наше исследование начнём с примеров кос.

Среди кос выделяются:

• Девичья коса К1

Девичья коса – символ девичества, молодости, красоты, чистоты. В Древней Руси девушки берегли косу до замужества. С древнейших времен длинные волосы считаются символом красоты и женственности.

• Тривиальная коса К2

Коса, все нити которой вертикальные прямые, называется тривиальной.

Тривиальная коса – частый случай крашеной косы.

• Крашенная коса К3

Крашеной называется любая коса, которая отвечает тождественная перестановка (1 2 1 2 3…? 3…?), т.е. коса, сохраняющая порядок номеров нитей.

• Циклическая коса К4

Среди кос следует выделить, кроме крашенных, в известном смысле противоположные им – циклические косы: это косы, переставляющие все номера нитей по единому циклу, как это делаете коса К4: 12 4 3 1.

В таблице (рисунок 1) представлены проекции кос на плоскость из трех и четырех нитей. (Приложение 1)

Две косы считаются эквивалентными (т.е. Одинаковым), если одну можно превратить в точную копию другой, двигая нити (без разрывов и склеивание) так, чтобы точка каждой нити перемещались только в горизонтальной плоскости. Такое движение показано на рисунке 3. (Приложение 1)

1. Алгебраизация кос. Косы - один из простейших геометрических объектов, легко поддающийся «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Делается это совсем просто (рисунок 3): нужно приложить одну косу к другой, склеив соответствующие нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвозди первой косы, верхние – второй). В таблице (рис.4) представлена проекция умножения кос на плоскость из трёх нитей. (приложение 1)

2.4. Определение. Возьмём две косы a и b с одинаковым числом нитей и соединим нижние концы нитей первой косы с верхними концами нитей второй косы рис. 4; полученную косу, сжатую в два раза в вертикальном направлении, называют произведением этих двух кос и обозначают ab.

Провели данное определение в практике.

Такое умножение обладает рядом свойства обычного умножения чисел.

Подведем итог в виде теоремы.

2.5. Теорема о косах. Свойства умножения кос

1. Ассоциативный закон (сочетательный). Общий у кос и у чисел К1(К2К3) =(К1К2) К3

2. Наличие единицы. Тривиальная коса К2 = 1, для которой 1K = K1= K

Т.е. Коса, которая, как число 1, не изменяет то, что на неё умножается.

1. Наличие обратного элемента (аналог деления). У каждой косы К имеется обратная коса

Как построить обратную косу? Очень просто: нужно зеркально отразить К относительно горизонтальной плоскости. Рассмотрим данную операцию на рисунке 5. (приложение 1) Всякий раз, когда некоторое множество снабжено операцией, обладающей тремя свойствами, о которых мы только что упоминали, математики говорят, что они имеют дело с группой. Итак, мы только что показали, что множество кос с n нитями образует группу. Эту группу обозначают Кₙ. Отметим сразу же, что группа кос Кₙ (для n2) – в отличии от чисел – не обладает переместительным свойством: произведение двух кос зависит в общем случае от порядка множителей. Один из вопросов анкетирования звучал так: «Каждую ли косу можно расплести? (Рисунок 6а).

Теорема (для кос с любым числом прядей больше двух)

Все косы, полученные четным числом вращений подвески (причем допустимы вращения в любых направлениях) можно расплести. Косы, полученные нечетным числом полных оборотов, расплести нельзя.

Вывод: косу «склеенную» из двух симметричных, можно «расплести» приложение (рис. 6а, 6б, 6в). Достаточно ли соотношений I – III для доказательства всех равенств в теории кос? Оказывается – да: немецкий математик Эмиль Артин, создатель теории кос, доказал в 1936 году, что любое равенство в теории кос вытекает из соотношений I – III. Эта замечательная теорема позволяет решить основную проблему теории кос – проблему классификации. Именно, можно указать (бесконечный) список кос (без повторений) и алгоритм, относящий любой косе её номер в этом списке.

3.Приложение кос.

Астрономия

• 
  Теория кос имеет большое значение для изучения Солнца. Недавно ученые установили, что на Солнце перенос энергии от поверхности к короне может быть опосредован особыми торнадо, сплетающимися в косы.

Физика

• Физикам из Университета Чикаго впервые удалось создать в лаборатории узел из вихря воды и наблюдать за его эволюцией и распадом. В результате, ученым удалось рассмотреть, как образуются, движутся и распадаются узлы, образованные движением жидкости.

География

• Коса образуется в результате перемещения обломочного материала волнами и вдольбереговыми течениями и отложения этих наносов в результате огибания потоком наносов выступа берега.

Биология

• 
  Молекула ДНК.

Её молекулы имеют огромную по молекулярным масштабам длину и состоят из двух нитей, сплетённых между собой в двойную спираль.

3.Практическая часть

Анкетирование. Анкетирование проводилось среди учащихся 5 – 11 классов нашей школы. 46 учащихся ответили на следующие вопросы анкеты.

Вопросы анкеты

1. Что такое косы?

2. Какие виды кос вы знаете?

3. В каких областях применяются косы?

4. Каждую ли косу можно расплести?

Цель проведения анкеты – установить, что ребятам известно о косах; предполагают ли они, что косы являются также и математическими объектами.

Результаты анкетирования занесли в таблицу (Приложение 3)

В результате проведенного социологического исследования получены следующие результаты:

• Оказалось, что большинство опрошенных имеют представление о косах, как о причёске или хозяйственном инструменте, с помощью которого косят траву.

• Из числа участников анкетирования лишь 3(6%) человека смогли определить косу как некоторый объект (в таблице ответы выделены цветом).

• На вопрос о классификации кос, большинство респондентов снова дали ответы, связанные с внешним видом человека.

• Среди ответов мы определили для себя группу оригинальных, редких.

Мы пришли к выводу о том, что ребята не воспринимают косу как математический объект. Классификацию кос соотносят с внешним видом человека (причёска) или хозяйственным инструментом. Однако все опрошенные соотносят косы с их плетением.

Выполняя исследовательскую работу, мы изучили виды кос и научились их плести.

Среди кос выделяются:

• Девичья коса

Девичья коса – символ девичества, молодости, красоты.

• Тривиальная коса

Тривиальная коса – частный случай крашеной косы.

• Крашеная коса

Коса, сохраняющая порядок номеров нитей.

• Циклическая коса

Циклические косы – косы, противоположные крашеным.

Вывод: оказалось, достаточно сложно сплести циклическую косу и косу, состоящую из пяти нитей, умножать косы - это совсем просто. Нужно приложить одну косу к другой, склеив соответствующие нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвозди первой косы, верхние – второй). Проведя исследование по данной теме, мы изучили математическое понятие «коса», историю возникновения и развития, а также классификацию кос и их свойства. Нами было рассмотрено приложение кос в различных сферах жизни и деятельности человека. В ходе исследования нам удалось установить связь между плетением кос и математикой. Встречая косы в повседневной жизни, мы не подозревали, что это ещё и математические объекты. По красоте теория кос не уступает классической математике, которая изучается в школе.

Заключение

В нашей работе мы исследовали связь между плетением кос и математикой. В работе мы рассмотрели классификацию и алгебраизацию кос. Коса – это формальная модель того, что понимается под словом «сплетение» в обычной жизни (девичья коса, плетёный брелок, классический канат из переплетённых жил и т.д.), т.е. множество нитей, запутанных некоторым определённым образом. Нам удалось установить связь между красивыми топологическими объектами косами и математикой с помощью основной теоремы о косах. Мы показали, что множество кос с n нитями образует группу. Установили, что группа кос Кn (для n2) – в отличии от чисел – не обладает переместительным свойством. Гипотеза о том, что косы – один из простейших геометрических объектов, легко поддающихся классификации и «алгебраизации», нашла своё подтверждение. В своей работе мы показали практическое применение данной темы.

Список использованных источников информации

Косы и узлы/ [А. Б. Сосинский]. – М.: Квант №4, 1973

Узлы и косы / [А. Б. Сосинский]. – М.: МЦНМО, 2001

Узлы. Хронология одной математической теории / [А. Б. Сосинский]. – М.: МЦНМО, 2005

Узлы. Хронология одной математической теории / [А. Б. Сосинский]. – М.: Квант №3, 2009

Цикл лекций в Летней школе «Современная математика» / [А. Б. Сосинский].- http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=220

http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_327.htm

http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2012/Kovyev_Nikita.pdf

http://www.findpatent.ru/patent/206/2061245

Приложение №1

Эмиль Артин (1898-1962 г. г.).

На рисунке - вверху у начала каждой нити указан ее порядковый номер. Внизу снова указан номер каждой нити.

Приложение №2

В данной таблице (рис. 3) представлено геометрическое доказательство

тривиальности косы.

В таблице (рис.4) представлена проекция умножения кос на плоскость из трёх нитей.

Приложение №3

В таблице (рис. 5) показано как на плоскости выполняется построение обратной косы.

Приложение №4

Результаты анкетирования

Приложение №5

Рыбий хвост

Обратная коса

Калачик

Простая