Проект Неравенства

Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области

Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение Воронежской области
«Лискинский промышленно-транспортный техникум имени А.К. Лысенко»

(ГБПОУ ВО «ЛПТТ имени А.К. Лысенко»)

Индивидуальный проект.

Тема: Неравенства.

Выполнил студент группы 919 ИС

Козинцев Дмитрий

Руководитель: преподаватель

математики Михеева С.В.

Содержание.

1.Решение линейных неравенств.

2.Решение систем линейных неравенств.

3.Решение квадратных неравенств.

4.Неравенства высших степеней.

5.Рациональные неравенства.

6.Иррациональные неравенства

7.Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

2 Цель работы.

1.Систематизировать обширные, но разобщенные знания о неравенствах и систем неравенств с параметром.

2. Рассмотреть различные виды неравенств с параметром..

3. Научиться решать неравенства и системы неравенств с параметром.

4. Приобрести навыки в работе с научно-математической литературой.

3 

4 

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

Неравенства a⋅x  или  a⋅xc , с  x  являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной

. Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x  считаются неравенства вида a⋅x+b0, a⋅x+b≤0  и a⋅x+b≥0 , где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Пример 1. Решить неравенство  .
    Решение:
           .
    Ответ: х

Пример 2. Решить систему неравенств   
    Решение:
          .
    Ответ: (– 2; 0].

Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств 

    Решение:
        
    Ответ: 

2. Квадратные неравенства

Квадратное неравенство – Квадратное неравенство – это неравенство, состоящее из одной квадратичной функции. Таким образом, все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю. То есть:

• если перед нами неравенство вида ax2+bx+c0, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит выше оси x.

• если перед нами неравенство вида ax2+bx+c0, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси x.

Если неравенства нестрогие (ax​2​​+bx+c ≥0 и ax​2​​+bx+c≤0), то корни (координаты x пересечений параболы с осью x) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах – исключаются.

Пример . Решить неравенство х²  4.
    Решение:
        х²  4   (х – 2)∙(х + 2) 0.
        Решаем методом интервалов.

Ответ:

y=2x​2​​−3x+4. Чему здесь равны a, b и c? Ну, конечно, a=2, b=−3 и c=4!

Графиком такой функции выступает парабола. В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:

• a0, то ветви параболы направлены вверх;

• a0, то ветви параболы направлены вниз.

Для того, чтобы легко это запомнить, обратимся к хорошо известным тебе смайликам:

• если a0, т.е. a – положительное число, , ветви графика направлены вверх :-) 

• a0, т.е. a – отрицательное число, , значит, ветви графика будут направлены вниз :-( 

При этом точки пересечения параболы с осью x, называются нулями функции и являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

y=ax​2​​+bx+c=0

3. Неравенства высших степеней

Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х² – 2х + 1) 0. 
    Решение:
           
    Ответ:  . 

Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х² – 24х + 24 ², где    .
    Решение:
        Область определения неравенства:  .
        С учётом области определения 4х² – 24х + 24 ² будет равносильно неравенству

        Решаем методом интервалов.

        
        Решение неравенства:  .
        Середина отрезка:  .
    Ответ:  .

4. Рациональные неравенства

Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).

Дробно- рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.

Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству  .
    Решение:
              
        

        Методом интервалов:

        Решение неравенства:  .
        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1. 
    Ответ:  – 6; – 5; – 4; 1.

решите целое рациональное неравенство x⋅(x+3) +2⋅x≤(x+1)2+1.

Решение

Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.

x⋅(x+3) +2⋅x−(x+1)2−1≤0

Теперь, когда мы выполнили все действия с многочленами слева, можно переходить к линейному неравенству 3⋅x−2≤0, равносильному тому, что было дано в условии. Решить его несложно:

3⋅x≤2 

 x≤2/3

Ответ: x≤2/3.

5. Иррациональные неравенства

Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Пример 8. Решить неравенство  .
    Решение:    
        Область определения:  .
        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то  .
    Ответ:  .

Пример 9. Найти все целые решения неравенства  .

    Решение:

        Область определения  .

         – быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства  , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе  . 

        Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.

    Ответ: 2; 3; 4.

Пример 10. Решить неравенство  .

    Решение:

        Область определения:   

        Преобразуем неравенство:  . С учётом области определения видим, что обе части неравенства -  положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное  исходному.

          т.е.  , и этот числовой отрезок включён в область определения.

    Ответ:  .

Пример 11. Решить неравенство  .

    Решение:

        Раскрываем знак модуля.

        
        Объединим решения систем 1) и 2):  .

    Ответ:  . 

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств. Функцию вида называют логарифмической функцией.

Основные свойства логарифмической функции y = log_a x:

График логарифмической функции

Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая:

Свойства логарифмов

• Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r 

•  Равенство log _a t = log _a s, где a  0, a ≠ 1, t  0, s  0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

Теорема 1. Если f(x) 0 и g(x) 0, то логарифмическое уравнение log _a f(x) = log _a g(x) (где a  0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам

Теорема 2. Если f(x) 0 и g(x) 0, то:
при a  1 логарифмическое неравенство log _a f(x) log _a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x)  g(x);
при 0 a _a f(x) log _a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) g(x).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 12. Решите неравенство  .

    Решение:

                       .

    Ответ:  .

Пример 13. Решите неравенство  .

    Решение:

         .

    Ответ:  .

Пример 14. Решите неравенство  .

    Решение:

    Ответ:  .

Пример 15. Решите неравенство  .

    Решение:

        
    Ответ:  .    

.

Неравенства содержащие модуль.

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

Для решения можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме.

Теорема 7.

Если выражения

f(x) и g(x) при любых x принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x)  g(x) и (f(x))²  (g(x))² равносильны.

Пусть надо решить неравенство 

.

Так как 

,  при любых x из области определения выражений f(x) и g(x), то данное неравенство равносильно неравенству (f(x))²  (g(x))².

Решение рациональных неравенств методом интервалов.

Решение рациональных неравенств вида  (вместо знака может быть и любой другой знак неравенства), где

p(x), q(x) - многочлены. Представим это неравенство в виде

, где числа a₁,…,a_n+k попарно различны.

Пусть a_j - максимальный из коэффициентов. Если x  a_j, то каждый из сомножителей (х - a_i) 0 Ю f(x) 0 на (a_j, + Ґ ). На интервале a_m  x a_j, то х - a_j f(x) a_i.

Показательные неравенства.

При решении показательных неравенств следует помнить, что показательная функция

y = a^x возрастает при а  1 и убывает при 0 a 

Логарифмические неравенства.

При решении логарифмических неравенств следует помнить, что логарифмическая функция

y = log_ax возрастает при а  1 и убывает при 0 a 

Решение задач на логарифмы должно начинаться с нахождения ОДЗ. В процессе преобразований нужно следить за ОДЗ и равносильностью преобразований. Рассмотрим некоторые логарифмические неравенства.

Пусть 0

a № 1, то

Иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Теорема 8.

Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве Х). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Приведем ряд эквивалентных преобразований для избавления от радикалов.

 Вывод.

Прежде всего я научился работать с научно- математическими материалами, и узнал много нового о способах решения неравенств с параметром, о свойствах самого параметра. И главное - я научился решать разнообразные примеры, включающие в себя параметр. Работая над этим проектом, я систематизировал обширные, но разобщенные знания о неравенствах с параметром и их решением. По каждому разделом я подобрала целый набор упражнений. Эта работа имеет практическое значение: она поможет подготовиться к экзаменам не только в девятом, но и одиннадцатом классе. Кроме того, я могу поделиться приобретенным опытом решения неравенств со своими одноклассниками.. 

15 Список литературы.

1.Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев В.Г. О параметрах- с самого начала//Репетитор – Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев В.Г. О параметрах- с самого начала//Репетитор – Егерман Е.

2.Задачи с параметром//Математика – ,2,3. Егерман Е.

3.Задачи с параметром//Математика – ,2,3. Кочагин В.

4.Уравнения и неравенства с параметром//Математика – ,28. Кочагин В. 5.Уравнения и неравенства с параметром//Математика – ,28. Локоть В.В. 6.Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы – Москва МН – Локоть В.В.

7.Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы – Москва МН – 2005.