Проект "Параллелограмм Вариньона решает задачи"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Куйбышевская средняя общеобразовательная школа»

Семеновский филиал

Рыльский район

Курская область.

Научно-исследовательская работа

« Параллелограмм Вариньона решает задачи».

Подготовила:

Артюшкова Дарья Владимировна,

обучающаяся 9 класса.

Руководитель работы:

Апалькова Галина Ивановна,

учитель математики Семеновского филиала

Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения

«Куйбышевская средняя общеобразовательная школа» Рыльский район

Курская область.

Курск 2022

Оглавление.

1. Введение ……………………………………….стр 2

2. Основная часть…………………………………стр3

   1. Биография Пьера Вариньон…..……………..стр 3

   2. Теорема Вариньона………………………стр 4

   3. Следствия из теоремы……………………стр 6

3. Практическая часть.

Применение теоремы Вариньона при

решении задач…………………………………….стр 10

1. Заключение……………………………………..стр 14

2. Литература………………………………………стр 15

3. Приложение……………………………………..стр 16

I.Введение.

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

(В. Произволов)

Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий.

На одном из уроков геометрии в 8 классе, решая задачу из учебника А.Г. Мерзляка ( Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма) , учитель сказала нам, что сейчас мы доказали теорему Вариньона. Нас очень заинтересовало название теоремы: кто такой Вариньон, какие свойства параллелограмма Вариньона еще существуют?

Актуальность темы:

Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

^ Цель работы:

Исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее.

Предмет: Планиметрические задачи

Объект: Параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.

Гипотеза: Параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении планиметрических задач.

Проблемы: Выяснить, действительно ли параллелограмм Вариньона позволяет рациональней получить решение задачи.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона,
   бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.

2. Рассмотреть решение планиметрических задач, используя теорему Вариньона.

3.Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах.

1. Основная часть.

Теоретическая часть.

1. Биография Пьера Вариньона

Вариньон Пьер  (1654–1722)

французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини.

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и  Декарта, увлекся математикой и механикой. Работал профессором математики в коллеже Мазарини с 1688 г., с 1704 г. – в Коллеже де Франс, член Парижской Академии наук с 1688 г. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике. Наибольшее значение имеют работы Вариньона по геометрической статике. В 1687 г. в работе «Проект новой механики...» Вариньон дал чёткую формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел, так называемую, теорему Вариньона. [www.math.ru]. В 1690 году он создал механическое объяснение гравитации. В 1702 году он применил исчисление к часам с пружинным приводом. В 1704 году он изобрел U-образную трубку. манометр, устройство, способное измерять разрежение в газах.^[1]

Вариньон был другом Ньютона, Лейбница и Бернулли.

2.2.Теорема Вариньона.

Формулировка:

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Доказательство:

1. Теорема Вариньона вытекает из теоремы о средней линии треугольника (средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны).

Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL является средней линией треугольника ABC , то KL ║AC . По тем причинам MN ║AC . Следовательно, KL ║NM и KL= MN= AC/2 . таким образом, KLMN  - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника ABCD.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD

Теорема доказана.

Справедливость теоремы Вариньона не зависит от выпуклости четырёхугольника. Теорема Вариньона и следствие из неё остаются верными и для невыпуклого четырехугольника, и для самопересекающейся четырехугольной замкнутой ломаной (рис. 3, 4); в последнем случае может оказаться, что параллелограмм KLMN

«вырожденный» - точки K, L, M, N лежат на одной прямой) (доказательство аналогично рассмотренному выше).

2.3. Следствия из теоремы.

Следствие 1.

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны

б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны

б) бимедианы равны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

 Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Следствие 3

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике а) диагонали равны и перпендикулярны;  б) бимедианы равны и перпендикулярны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то бимедианы исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

III. Практическая часть. Применение теоремы Вариньона при решении задач.

Рассмотрим эффективность и удобство применения теоремы Вариньона при решении планиметрических задач и доказательстве некоторых теорем.

Задача. Докажите, что периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.

Доказательство: KL=MN =1\2AC и LM=KN=1\2BD

Тогда P_KLMN=AC+BD

Решение задач из учебника геометрии 8 класс А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

№ 202. Сумма диагоналей четырехугольника равна 28 см. Найдите периметр четырехугольника , вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника.

Решение: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, является параллелограммом Вариньона. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника, следовательно периметр равен 28 см.

№ 203. Вершинами четырехугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 и 14 см. Определите вид четырехугольника и найдите его стороны.

Решение: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, является параллелограммом Вариньона. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,то параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Исходный четырехугольник-ромб, его диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно искомый четырехугольник- прямоугольник со сторонами 4 и 7 см.

Задача. Докажите, что средние линии четырехугольника АВСД точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство: Поскольку КМ и LN – диагонали параллелограмма Вариньона , то, очевидно, что точкой пересечения они делятся пополам.

Задача. Можно ли составить треугольник из половин диагоналей и какой-либо из средних линий четырехугольника АВСД?

Решение: Можно, поскольку параллелограмм Вариньона KLMN существует для любого четырехугольника АВСД. Тогда треугольники KLM и KMN – искомые.

Задача . Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины

сторон, равновелики.

Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников , тем самым их равновеликость доказана.

Задача. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Доказательство:

 в случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом .Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

, тогда  .

Задача. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.

Решение: отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р- ^{середина AD, тогда по теореме Вариньона A}1^B1^C1^{P – параллелограмм, А}1^С1 ^{– его диагональ и К – середина А}1^С1^, значит, К – середина и второй диагонали параллелограмма ^В1^{Р.Значит, KL – средняя линия треугольника PB}1^D1^{, поэтому KL||PD}1 ^{и KL=1/2 PD}1^{, но PD}1 ^{– средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD}1^{=1/2AE, поэтому}

KL||AE и KL=1/4 AE.

Задача с ЕГЭ.

Дан четыреугольник АВСД:

А) Докажите, что отрезки LN и KM,соединяющие середины противоположных сторон, делят друг друга пополам;

В) Найдите площадь четырехугольника АВСД, если KL=6,КМ= 4√3, MKL=30 .

Решение:А) Полученный четырехугольник KLMN- параллелограмм Вариньона, а отрезки KМ и LN- диагонали данного параллелограмма. По свойству параллелограмма (диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам) имеем, что отрезки LN и KM делят друг друга пополам.

В) Проведем высоту MF к основанию KL, тогда SKLMN = KL*MF

▲KMF – прямоугольный и имеет ∠MKL=30° =) катет , лежащий против ∠=30° равен половине гипотенузы =) ML=0,5KM=2√3

SKLMN=6*2√3=12√3 По теореме Вариньона: площадь параллелограмма Вариньона равна равна половине площади данного четырехугольника. Следовательно:

SABCD=12√3*2=24√3

Ответ:SABCD=24√3

Продемонстрируем применение теоремы Вариньона к доказательству теоремы об основном свойстве медиан треугольника.

Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство: проведём две медианы AK и BL треугольника ABC. Пусть О – точка их пересечения. Середины сторон невыпуклого четырехугольника АCBО – точки K, L, M и N (рис. ) – вершины параллелограмма, причем точкой пересечения его диагоналей KM и LN для этой конфигурации будет точка пересечения медиан О. Итак, AM = MO = OK и BN

= NO = OL, т.е. точка О делит каждую из медиан AK и BL в отношении 2:1.

Аналогично доказывается для медианы, проведённой из вершины С.

IⅤ. Заключение.

Крупное научное открытие дает решение

крупной проблемы, но в решении любой задачи присутствует крупица открытия».

Д.Пойя

В процессе исследования я узнала о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрела доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников. Я убедились в том, что теорема Вариньона помогает быстро и оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников, что параллелограмм Вариньона может быть использован при решении геометрических задач различной сложности.

Таким образом, выдвинутая гипотеза: Параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении планиметрических задач.
мною подтверждена. Цель работы: «Исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее» была достигнута.

Познакомила своих одноклассников с определением параллелограмма Вариньона, теоремой Вариньона и следствиями из данной теоремы. Оформлена памятка для обучающихся. Проведенное исследование помогло мне систематизировать и углубить теоретические и практические знания по геометрии. Считаю выбранную тему актуальной и перспективной, т.к. геометрия важна в различных областях науки, а полученные знания могут быть применимы на олимпиадах, ОГЭ и ЕГЭ по математике.

1. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Геометрия, 8класс: учебник. –М. : Просвещение, 2021 г. – 206 с.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе, 9-10 кл. – М.: Просвещение, 1983. –351 с.

3. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 кл. – СПб: АКАЦИЯ, 1995. – 624 с.: ил.

4. Ильин В. Применение теоремы о средней линии треугольника к решению задач// Газета «Математика». Объединение педагогических изданий «1 сентября». – 1998. – № 48.

– с. 11-12.

1. Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 кл. – М.: Айрис- пресс, 2006. – 128 с.: ил.

2. Филипповский Г.Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи// Журнал «Математика в школе». – 2006. – № 4. – с. 45-49.

7.Энциклопедический словарь юного математика// Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1985. – 352 с. Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер

Приложение.

ПАМЯТКА

использования теоремы Вариньона.

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Свойства параллелограмма Вариньона :

1. Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали в исходном четырехугольнике.

2. Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали в исходном четырехугольнике, к которой она параллельна.

3. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

4. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.

5. Диагонали параллелограмма Вариньона - это бимедианы (средние линии ) исходного четырехугольника.

Заметим, что: АВСД- четыреугольник и

1. Если ABCD – прямоугольник, то KLMN – ромб;

2. Если ABCD - ромб, то KLMN – прямоугольник;

3. Если ABCD - квадрат, то KLMN - квадрат;

15