Проект: «Теорема Эйлера и её приложение»

мбоу «Амвросиевская школа №6» Амвросиевского района» Проект: «Теорема Эйлера и её приложение»

Подготовила: обучающаяся 10 класса Гнилицкая Анастасия Проверила: Жовтоног А.А.

• Эйлер родился 15 апреля 1707 г. в г. Базель, в Швейцарии. Отец мальчика был другом Иоганна Бернулли – известного европейского математика, оказавшего большое влияние на Леонарда. В тринадцать лет Эйлер поступает в Базельский университет, и в 1723 г. получает сте- пень магистра философии. В своей диссертации Эйлер сравни- вает философии Ньютона и Декарта. Иоганн Бернулли, давав- ший мальчику по субботам частные уроки, быстро распознаёт выдающиеся способности мальчика к математике и убеждает его оставить раннюю теологию и сосредоточиться на матема- тике. 17 мая 1727 г. Эйлер поступает на службу в медицинское отделение Императорской российской академии наук в Санкт- Петербурге, но почти сразу же переходит на математический факультет. Однако из-за волнений в России, 19 июня 1741 г. Эйлер переводится в Берлинскую академию. Там учёный прослужит около 25 лет, написав за это время более 380 на- учных статей.

Леонард эйлер

Вклад эйлера в мате-матику

• Среди всех разнообразных работ Эйлера самой заметной является представление теории функций. Он первым ввёл обозначение f(x) – функции “f” по аргументу “x”. Эйлер также определил математические обозначения для тригонометрических функций в том виде, в каком мы знаем их сейчас, ввёл литеру “e” для основания натурального логарифма (известную как «число Эйлера»), греческую букву “Σ” для итоговой суммы и букву “i” для определения мнимой единицы. Эйлер доказал малую теорему Ферма, тождества Ньютона, теорему Ферма о суммах двух квадратов, а также значительно продвинул доказательство теоремы Лагранжа о сумме четырёх квадратов. Он внёс ценные дополнения в теорию совершенных чисел, над которой с увлечением трудился не один математик.

• Теорема Эйлера была открыта еще в 1620 году французским ученым Рене Декартом, а позже забыта более чем на 100 лет и лишь в 1750 переоткрыта математиком Эйлером, имя которого она и носит. Теорема Эйлера гласит: сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2.

Теорема эйлера

• Возьмем снаружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О. Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. Подсчитаем двумя способами сумму  α  углов всех полученных многоугольников и самой грани F. Сумма углов n-угольника равна  π(n - 2).  Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида  πn  равна общему числу сторон всех граней, т.е.  2Р - ведь каждое из  Р  рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых. Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна  2π.  Таких вершин где  k  - число вершин самой грани F, а значит, их вклад равен
• 2π(В - k).  Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 
• Таким образом , приравнивая два результата и сокращения на  2π , получаем требуемое равенство Р - Г = В – 2.

Доказа-тельство