Проект "Тригонометрические уравнения"

0

Федеральное государственное казённое общеобразовательное учреждение

«Омский кадетский военный корпус

Министерства обороны Российской Федерации»

Проектная (исследовательская) работа

Тригонометрические уравнения:
виды и способы решения.

Автор: обучающийся 11-3 класса

Дускин Владислав

Руководитель:

преподаватель математики

Железная Н.О.

г. Омск

2022 год

Введение 3

1. Тригонометрические уравнения: виды, способы решения. 5

1. 1. Решение простейших тригонометрических уранений 5

1. 2. Основные способы решения тригонометрических уранений 6

1. 3. История понятия «тригонометрия» 15

2. Практикум «Решение тригонометрических уравнений» 18

2.1. Самостоятельные работы № 1, № 2 18

2.2. Обучающий тренажер и итоговый тест по теме
«Решение тригонометрических уравнений» 22

Заключение 27

Список литературы и использованных сайтов 28

ПРИЛОЖЕНИЕ 31

Кто с детских лет занимается математикой,

тот развивает внимание, тренирует свой мозг,

свою волю, воспитывает настойчивость

и упорство в достижении цели.

А. Маркушевич

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение данной темы в 4 четверти 10 класса. Сейчас я учусь в 11 классе и 1 июня 2023 года мне предстоит сдавать ЕГЭ по математике профильного уровня. Как часто тригонометрические уравнения встречаются на ЕГЭ? Тригонометрические уравнения могут встретиться до четырех раз в заданиях ЕГЭ. Это может быть:

Задача № 5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени);

Задача № 8 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка);

Задача № 11 (она на производную, но в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ)

Задача № 12 – даёт 2 первичных балла – (решение тригонометрического уравнения средней или высокой сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!)

Так что навык решения данного вида уравнений может добавить в мою копилку целых 5 первичных баллов из 31! Это наиболее актуально для меня сейчас, потому что каждый первичный балл важен, чем он больше - тем лучше для поступления.

В вариантах ЕГЭ задача 12, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке. Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии. Решение тригонометрических уравнений в большинстве случаев проводится либо с помощью замены переменной, либо разложения на множители, но и тот, и другой способ применяется в разных вариантах в зависимости от вида конкретного уравнения. Поэтому в данном проекте предлагается рассмотреть и изучить более подробно классификацию типов тригонометрических уравнений и методов их решения.

Были определены:

Объектная область исследования - учебный предмет «математика».

Объект исследования – решение тригонометрических уравнений.

Предмет исследования – математические задачи определённого типа.

Цель проекта:

- Повторение, обобщение и систематизация имеющихся знаний по теме «Тригонометрические уравнения»;

- Расширение и углубление знаний по теме «Решение тригонометрические уравнения», выработка навыка решения различных типов тригонометрических уравнений;

- Формирование устойчивого интереса к математике, умения и навыков исследовательской, проектной деятельности; развитие навыков самостоятельного поиска информации, формирование умения отбирать и структурировать материал.

Задачи:

• Изучить литературу по теме проекта;

• Систематизировать все собранные материалы;

• Подготовить подборку задач по теме проекта и представить полученные результаты в виде обучающего тренажера;

Тип проекта:

по виду деятельности – практико-ориентированный;

по организационной форме – индивидуальный;

по времени выполнения - долговременный.

Этапы работы над проектом

Разработанный нами проект включает два этапа:

1-й этап аналитический

2-й этап обобщения

Основные виды работы над проектом:

• Изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии, задачники по математике, Интернет-ресурсы)

- Анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме, решение задач).

Глава 1. Тригонометрические уравнения: виды, способы решения

Определение. Тригонометрическое уравнение — алгебраическое уравнение относительно тригонометрической функции неизвестного аргумента.

1.1. Простейшие тригонометрические уравнения

1. Частные случаи:

   1. ,

   2. ,

   3. ,

   4. ,

   5. ,

   6. ,

   7. ,

   8. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Пример 1. Решите уравнения

1) ;

2) ;

3)

4)

1.2. Основные способы решений тригонометрических уравнений

Основные способы:

1. разложение на множители;

2. введение новых переменных.

Пример 2. Ответ:

Пример 3.

Решение: Ответ:

Пример 4. .

Решение: ОДЗ: . Так как , получим: или , откуда

 

Ответ: .

Общая схема решения тригонометрических уравнений:

1. Указать ОДЗ уравнения.

2. С помощью тригонометрических формул и различных преобразований свести исходное уравнение к одному или нескольким простейшим.

3. Решить каждое из полученных простейших уравнений и записать ответ, объединяя полученные решения.

4. Проверить, входят ли найденные решения в ОДЗ.

Проверка найденных решений необходима, если в процессе решения:

1. произошло расширение области определения уравнения в результате некоторых преобразований (освобождение от знаменателей, сокращение дроби, приведение подобных членов);

2. использовалось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;

3. применялись тригонометрические тождества, левая и правая части которых имеют неодинаковые области определения (например: через , , и др.).

Чтобы не потерять корни в результате тождества преобразования, надо проверить все запрещаемые этим преобразованием значения переменной.

Пример 5.

Решение: ОДЗ: Пусть , тогда . Получим или , но – тоже корни, которые мы потеряли, перейдя только к .

Пример 6.

– выражение, получающееся из и действительных констант с помощью четырех действий арифметики.

Пример 7.

Решение:

Ответ: .

1. – аналогично.

2. – однородное 1-й ст. делим на , получаем: , .

3. – однородное 2-й ст. делим на , получаем: ,

Пример 8.

Ответ:

Замечание: Любое уравнение с помощью замены через сводится к уравнению, рациональному относительно (не забыть проверить ). Поэтому такая подстановка называется универсальной.

Способ 1: Метод дополнительного угла.

Разделив обе части уравнения на величину , получим уравнение . Введем дополнительный острый угол , исходя из условий: и . К полученному после этих преобразований уравнению применим формулу косинуса разности или суммы аргументов. Имеем: . Последнее уравнение решается по стандартным формулам.

Способ 2: Так как , , , то уравнение можно переписать в виде: .

Это однородное уравнение 2-й степени, которое после приведения подобных членов решается соответствующим способом. Заметим, что этого же результата можно достичь сразу, используя универсальную подстановку.

Пример 9. .

Решение: 1 способ: разделив обе части уравнения на , получим . Теперь уравнение можно переписать в виде: или , где . Далее: , или, выражая х, .

Ответ: .

2 способ: ,

Ответ:

Решаются заменой .

Чтобы выразить произведение функций, возведем равенство в квадрат, получим или , откуда .

Пример 10.

Решение: Сделаем замену , откуда . Получаем уравнение с корнями . Делаем обратную замену: .

Ответ: .

Пример 11. .

Решение: ОДЗ: . Так как , имеем: .Пусть , тогда  , .

 

Второе уравнение полученной совокупности решений не имеет, так как , а, следовательно, . Решая первое уравнение совокупности, получаем: или .

Ответ: .

Основные типы тригонометрических уравнений.

1. Уравнения и сводятся к квадратным относительно замены и .

2. Однородное уравнение , где , равносильно уравнению .

3. Уравнение удобно записать в виде ; здесь - вспомогательный угол, такой что , .

4. Уравнения и сводятся к уравнениям вида
   с помощью формул понижения степени: ; .

5. Уравнения и можно свести

либо к однородным, используя тождество ,

либо к уравнениям вида , используя формулы понижения степени.

1. Уравнения сводятся к квадратным относительно замены , т.к. .

Пример 1. Найти число корней уравнения на интервале .

Решение. Это уравнение решается методом введения вспомогательного аргумента. Разделив обе части уравнения на , получим . Подсчитаем число корней, принадлежащих интервалу : при ;

при ;

при ;

при .

При и корни не принадлежат интервалу . Следовательно, число корней равно 4.

Ответ: 4.

Пример 2. Найти число корней уравнения , принадлежащих интервалу .

Решение. Преобразуем уравнение к виду . Введем новую переменную , где . Тогда получим квадратное уравнение и , где не подходит по смыслу замены. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений , решением которой является множество . Отбираем корни на интервале :

при ; при ; при . Других корней на этом интервале нет. Следовательно, число корней равно 4.

Ответ: 4.

Пример 3. Найти число корней уравнения на интервале .

Решение. Введем новую переменную . Тогда получим иррациональное уравнение , – посторонний корень. Следовательно, и , . Отбираем корни на интервале : при ; при ; при . Других корней на этом интервале нет. Следовательно, число корней равно 3.

Ответ: 3.

Пример 4. Найти число корней уравнения на интервале .

Решение. Группируя слагаемые, получим . Преобразуя суммы в произведения, приводим уравнение к виду . Отсюда , и , . Отбираем корни на интервале : при ; при ; при ; при ; при ; при ; при . Других корней на этом интервале нет. Следовательно, число корней равно 7.

Ответ: 7.

Пример 5. Найдите в градусах среднее арифметическое всех различных корней уравнения , принадлежащих промежутку .

Решение. Данное уравнение равносильно системе , .

Среди корней этого уравнения промежутку принадлежат и . Среднее арифметическое этих корней равно .

Ответ: .

1.3 История понятия “тригонометрия”

Слово “тригонометрия” (от греческих слов “тригон” - треугольник и “метрео” - измеряю) означает “измерение треугольников”. Возникновение тригонометрии связано с развитием астрономии и географии.

Начала тригонометрии обнаружены в сохранившихся документах Древнего Вавилона, сведения тригонометрического характера встречаются и в старинных памятниках других народов древности.

Древнегреческие учёные впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного треугольника, т.е. определения его элементов по трём данным элементам, среди которых хотя бы один – сторона треугольника. Для решения этой задачи Гиппарх и Птолемей (II в. до н. э.) составили таблицы длин хорд, соответствующих различным центральным углам кругам постоянного радиуса (через каждые полградуса до 180°).

Понятия синуса, косинуса и тангенса угла возникли в астрономии и геометрии. По существу, ими оперировали ещё древние математики, рассматривая отношения отрезков в треугольниках и окружностях. Древнегреческий учёный Клавдий Птолемей для своих астрономических исследований составил подробную, весьма точную таблицу синусов углов, в течение многих веков служившую средством для решения треугольников.

В XI-XIII вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки. У индийских учёных линия синусов именовалась “архаджива”, что буквально означало “половина тетивы лука”. Для угла a линия синусов – это хорда единичной окружности, соответствующая центральному углу 2а. Её длина равна 2 sina. В Индии были составлены таблицы значений синусов для всех углов от 0 до 90° через каждые 3°45'. Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея. Об их высокой точности говорит тот факт, что для синуса и косинуса 3°45' были вычислены значения 100/1529 и 466/467, отличающиеся от истинный менее чем на 0,00000001.

Косинус индийцы называли “котиджива”, т.е. синус остатка (до четвери окружности). В XV в. немецкий учёный Иоганн Мюллер (1436 - 1476), известный в науке под именем Региомонтам, как и другие математики, применял для понятия “косинус дуги x” латинский термин sinus complementi, т.е. синус дополнения, имея в виду sin(90° - x). От перестановки этих слов и сокращения одного из них (co-sinus) образовался термин “косинус”, встречающийся в 1620 г. у английского астронома Э. Гунтера, изобретателя счётной линейкой.

В IX-X вв. учёные стран Средней Азии (ал-Хабаш, ал-Баттани, Абу-л-Вефа и др.) ввели новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс, секанс и косеканс. Понятия “тангенс” и “котангенс”, как и первые таблицы этих новых тригонометрических величин, родились не из рассмотрения тригонометрической окружности, а из учения о солнечный часах. Происхождение названия функции тангенс (термин введён в 1583 г. Немецким математиком Т. Финком), связана с геометрическим его представлением в виде отрезка прямой. Латинское слово tangens означает косающийся (отрезок касательной). Термин “котангенс” был образован в средние века по аналогии с термином “косинус”. Все три термина вырабатывались на протяжении веков и вышли во всеобщее употребление в первой половине XVII в.

В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло её развитие в средневековое время, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Насир ад-Дин ат-Тусси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арибии (Ахмад Ибн-Абдаллах, ал-Баттани), а затем и в Европе (Пейрбах, Иоганн Мюллер, Коперник, Рети). Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому учёному Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему “Трактат о полном четырёхстороннике”.

Творения учёных этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах ещё не была введена необходимая символика, и поэтому развитие тригонометрии происходило очень медленно.

Современный вид тригонометрии получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). Он, в частности, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных для него формул, ввёл единообразные знаки. Впервые в его трудах встречается запись sinx и др., доступно изложен вопрос о знаках тригонометрических функций в каждом квадрате, установлены формулы приведения.

Уже во “Введении в анализ бесконечных” (1748) Л. Эйлер впервые трактует синус, косинус и т.д. не как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометрические функции, которые он рассматривал как числовые величины.

До Эйлера совсем редко рассматривались тригонометрические функции дуг, превышающие π. Лишь в его трудах разрабатывается учение о тригонометрических функциях любого аргумента. На основании трудов Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие её в строгой научной последовательности.

Глава 2. Практикум по теме
«Решение тригонометрических уравнений».

Материал проекта представлен в виде практических заданий, которые позволят систематизировать и качественно улучшить уровень решения тригонометрических уравнений. В работе содержится достаточно большое количество взятых из различных источников заданий и упражнений, которые структурированы по методам решения уравнений - от самых элементарных до достаточно сложных.

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы, и особые методы решений уравнений:

- Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ). 

- Метод разложения на множители.

- Метод вспомогательных аргументов. 

2.1 Самостоятельные работы № 1, № 2

Самостоятельная работа № 1 по теме
«Тригонометрические уравнения»

Вариант № 1 Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.
6.
7.

8. и найдите все его корни, принадлежащие промежутку .

Вариант № 2 Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8. и найдите все его корни, принадлежащие промежутку .

Вариант № 3 Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. и найдите все его корни, принадлежащие промежутку .

Вариант № 4 Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. и найдите все его корни, принадлежащие промежутку .

Самостоятельная работа № 2
по теме «Тригонометрические уравнения»

Вариант № 1 Решите уравнения:

Вариант № 2 Решите уравнения:

Вариант № 3 Решите уравнения:

Вариант № 4 Решите уравнения:

Ответы к самостоятельной работе

1. Обучающий тренажер и итоговый тест по теме
   «Решение тригонометрических уравнений»

Обучающий тренажер по теме «Тригонометрические уравнения»

1. Найдите решение уравнения на указанном промежутке:

, ( )

, ( )

, ( )

II. Решите уравнение:

₍ , ₎

_{( )}

₍ , ₎

₍ // ₎

₍ , ₎

_{( )}

_{( )}

₍ , ₎

₍ , ₎

_{( )}

₍ , ₎

_{( )}

₍ , ₎

Найти число корней уравнения , принадлежащих интервалу . (5)

Итоговый тест по теме
«Решение тригонометрических уравнений»

1. Найдите (в градусах) сумму корней уравнения , принадлежащих интервалу

А) 280° B) 360° C) 540° D) 680° E) 900°

1. Сумма корней уравнения , принадлежащих интервалу

А) 90° B) 150° C) 105° D) 180° E) 135°

1. Среднее арифметическое всех корней уравнения , принадлежащих промежутку , равно

А) B) 0 C) D) E)

1. Найдите количество решений уравнения на интервале

А) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) 9

1. Найдите количество решений уравнения , принадлежащих интервалу

А) 0 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

1. Сумма корней уравнения , принадлежащих промежутку , равна числу

А) B) C) D) E) 

1. Число корней уравнения , лежащих в интервале , равно

А) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

1. Найдите в градусах среднее арифметическое всех различных корней уравнения , принадлежащих промежутку .

2. Найдите сумму (в градусах) двух самых больших корней уравнения , принадлежащих промежутку

3. Укажите количество корней уравнения , принадлежащих отрезку .

4. Найдите число решений уравнения , принадлежащих отрезку

5. Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих интервалу

6. Укажите количество корней уравнения , принадлежащих отрезку .

7. Укажите сумму корней (в градусах) уравнения , принадлежащих отрезку .

8. Найдите в градусах наименьший положительный корень уравнения .

9. Укажите в градусах значение среднего арифметического всех корней уравнения , принадлежащих промежутку .

10. Найдите в градусах корень, если он единственный, или сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку .

11. Решите уравнение .

12. Решите уравнение .

13. Решите уравнение .

Ответы к обобщающему тесту

Заключение

В данном проекте я изучил основные типы тригонометрических уравнений и методы их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ. В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным. В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Также потеря корней является распространенной грубой ошибкой. Другими такими ошибками являются неточное знание формул решений простейших тригонометрических уравнений, а также неумение правильно найти нужное значение аркфункции. Включение в ответ постороннего корня считается грубой ошибкой на ЕГЭ по математике. 

В процессе работы над проектом мною составлены самостоятельные работы для подготовки к экзамену с ответами для самопроверки, собран материал о видах и способах тригонометрических задач. Разработан практикум по решению тригонометрических уравнений, содержащий задания различного уровня сложности, что позволит качественнее подготовиться к решению тригонометрических уравнений, встречающихся в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по математике профильного уровня.

Таким образом, в результате выполнения проекта поставленные цели достигнуты, задачи выполнены. Работая над проектом, я больше узнал об истории тригонометрии, типах и способах решения тригонометрических уравнений и, надеюсь, смогу успешно справиться с такими заданиями, которые могут встретиться мне на ЕГЭ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства: Книга для учителей/ Бородуля И.Т. – М.: Книга по требованию, 2013. [электронный вариант].

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. – М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998. [электронный вариант].

3. Шахмейстер А. Х. Тригонометрия. – 4-е издание. – М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2017. [электронный вариант].

4. Райхмистр Р. Б. Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в вузы (с решениями и ответами). – М.: Московский Лицей, 2000. [электронный вариант].

5. Система тренировочных задач и упражнений по математике/ А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. – М: Просвещение, 1991. [электронный вариант].

6. Лурье М. В. Тригонометрия. Техника решения задач: Учеб. пособие. – М.: Издательство УНЦ ДО, 2004. [электронный вариант].

7. Шабунин М. И. Математика: пособие для поступающих в вузы/ М.И. Шабунин. – 7-е изд., исправ. и доп. – М.: Лаборатория знаний, 2016.

8. Колесникова С. И. Методы решений тригонометрических уравнений. ЕГЭ. Математика/ С.И. Колесникова. – М.: ООО «Азбука-2000», 2017.

9. Гущин Д. Д. Сборник заданий по алгебре. Для подготовки к ЕГЭ и конкурсным экзаменам. – 10-е изд., перераб. и доп. – Париж, СПб: Стетоскоп, ВВМ, 2007.

10. Куланин Е. Д., Федин С. Н. 5000 конкурсных задач по математике. – М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

11. 3000 конкурсных задач по математике. – 5-е изд., исПример. – М.: Айрис-пресс, 2003.

12. В.С. Крамор, К.Н. Лунгу. Повторяем и систематизируем школьный курс тригонометрии: Пособие для старшеклассников и абитуриентов. – М.: АРКТИ, 2001.

13. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2019. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2019. [электронный вариант].

14. Азаров А. И. и др. Тригонометрия. Тождества, уравнения, неравенства, системы: Учеб. пособие/ А.И. Азаров, В.И. Булатов, В.С. Федосеенко, А.С. Шибут/ – Мн.: «Полымя», 1998.

15. Потапов М. К. Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарным функциям / М.К. Потапов. – М.: Издательство «Экзамен», 2008.

16. Данилов А. М. Математика. Тригонометрия и геометрия: Учебное пособие / А.М. Данилов, Т.В. Куликова, Т.А. Мишанина; Под общ. ред. д-ра техн. наук, проф. А.М. Данилова. – Пенза: ПГАСА, 2003.

17. Прокофьев А. А., Корянов А. Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней (типовые задания С1). – Изд. 2-е, доп. – Ростов-на-Дону: Легион, 2014.

18. Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. – 5-е изд., стереотип. - М.: МЦНМО, 2014. [электронный вариант].

19. Балаян Э. Н. Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1 / Э.Н. Балаян. – Ростов н/Д: Феникс, 2013. [электронный вариант].

20. Крамор В.С., Михайлов П. А. Тригонометрические функции: (Система упражнений для самостоят. изучения). Пособие для учащихся. – 2-е изд., доп. – М: Просвещение, 1983.

21. А.И. Худобин, И.И. Худобин. Сборник задач по тригонометрии. Пособие для учителей. Изд. 2-е. – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1955.

22. Просветов Г. И. Тригонометрия: задачи и решения: Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2010.

23. Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие / П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. [электронный вариант].

Использованные интернет-источники:

1. https://youclever.org/book/trigonometricheskie-uravneniya-1/

2. https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskie-uravneniya/

3. http://cos-cos.ru/math/93/

4.https://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniia-9145/metody-ispolzuemye-dlia-resheniia-trigonometricheskikh-uravnenii-9134/re-995e0a3e-90bc-4e3a-b784-3f48ab285dde

5. https://www.resolventa.ru/index.php/trigonometricheskie-uravnenija

6. https://resh.edu.ru/subject/lesson/6320/conspect/200019/

7. https://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10177&chapterid=1270

8. https://shkolkovo.net/catalog/reshenie_uravnenij_2/trigonometricheskie

9. https://mat.1sept.ru/view_article.php?ID=200301001

10. http://egesdam.ru/page310.php

11. http://egesdam.ru/page311.php

Приложение

Практикум по теме «Решение тригонометрических уравнений»