Производная и первообразная

Производная и первообразная

Решение заданий типа №7 профильный уровень

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

9

12

Итак, пользуясь определением тангеса острого угла в прямоугольном треугольнике (9 делим на 12), получаем 0,75.

Ответ: 0,75.

Геометрический смысл производной

3

6

k – угловой коэффициент прямой у = kx + b, которая является касательной к данной функции, причем k

Ответ: - 0,5.

Геометрический смысл производной

Ответ: 8.

Геометрический смысл производной

Так как,

, а k = - 1, то

искомое количество точек 3

Ответ: 3.

Геометрический смысл производной

Для ответа на этот вопрос, проведите через каждую такую точку графика касательную. И та касательная, которая будет иметь больший коэффициент и есть искомая.

Ответ: 2.

Применение производной к исследованию функции на монотонность

Возрастание и убывание функции

Решением будет количество точек, принадлежащих промежуткам убывания функции.

Ответ: 3.

Возрастание и убывание функции

Так как по условию дан график производной функции, то рассмотрению подлежат промежутки, график лежит ниже оси абсцисс.

Ответ: 7.

Возрастание и убывание функции

5 + 6 = 11

Ответ: 11.

Экстремумы функции

Нахождение экстремумов

+

+

+

-

-

-

Ответ: 2.

Нахождение экстремумов

+

+

-

-

Ответ: 1.

Нахождение экстремумов

+

-

На отрезке [-5; -1] производная функции принимает положительные значения, значит, сама функция – возрастает. Таким образом, наименьшее значение функция принимает при наименьшем аргументе, т.е. при х = -5.

Ответ: -5.

Нахождение экстремумов

Ответ: 7.

Нахождение экстремумов

Ответ: 3.

Нахождение экстремумов

Ответ: 7.

Уравнение касательной

Ответ: -2.

Уравнение касательной

Ответ: 17.

Уравнение касательной

Ответ: 2.

Уравнение касательной

Ответ: 2.

Физический смысл производной

Найдем производную функции x(t) и ее значение в точке с абсциссой 10.

v(t) = t + 3, v(10) = 10 + 3 = 13.

Ответ: 13.

Найдем производную функции x(t) и приравняем к числу 40.

v(t) = 0,5t 2 + 2t – 8 = 40. В результате решения уравнения получаем t = 12 или t = -8. Поскольку время не может быть отрицательным, то искомая величина 12.

Ответ: 12.

Домашняя работа

• Выполните тест:

https://onlinetestpad.com/ru/testview/117586-proizvodnaya-funkcii-v-shkolnom-kurse-matematike

• На следующем слайде будут даны три графика функций. Изобразите четвертый график.

Проверка домашней работы

График данной функции задается формулой y = x 3

Графиком следующей функции является парабола, которая задается формулой y = 3x 2

Данная функция линейная, график проходит через начало координат, т.е. уравнение y = 6x

Итак, посмотрите на полученные уравнения: y = x 3 , y = 3x 2 , y = 6x. Нетрудно заметить, что каждое следующее уравнение является производной предыдущего. Графиком последней функции будет прямая y = 6.

На верхних рисунках парабола вида y = ax 2 + bx + c.

Но удобнее будет ее записать как y = a(x – m) 2 + n, тогда вид ее производной будет y = 2a(x – m) .

f(x – m) означает смещение графика функции

Т.об., А – 2 Б – 3 В – 4 Г – 1

А – 4

Прямая с положительным коэффициентом 8 будет возрастать на всей области определения.

Б – 3

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Поэтому данная функция имеет только одну точку экстремума и это точка минимума.

В – 1

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Функция имеет максимум в вершине.

Г – 2

Прямая с отрицательным коэффициентом, т.об., функция убывающая.

А – 2 Б – 1 В – 4 Г – 3

Первообразная

Домашняя работа

• Для профильного уровня

https://onlinetestpad.com/ru/testview/176160-ege-2020-matematika-demonstracionnyj-variant-profilnyj-uroven

• Для базового уровня

https://onlinetestpad.com/ru/testview/176162-ege-2020-matematika-demonstracionnyj-1-variant-bazovyj-uroven