"Производная в различных отраслях науки"

«Применение производной в различных областях науки»

Связь производной с биохимией

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, тогда У - функция степени реакции выражается формулой y = x²(a - x), где а – биомасса. При каком значении X реакция максимальна?

Решение: 0

Тогда

Это тот уровень дозы,

который даёт

максимальную реакцию.

Применение производной в физике

Если тело движется прямолинейно и его координата изменяется по закону S(t), то скорость его движения v(t) в момент времени t равна производной т.е. производная от координаты по времени есть скорость

Производная от скорости по времени есть ускорение:

Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени t равно производной Таким образом, ускорение движения в момент времени t равно

т.е. равно производной от производной

Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Итак,

В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

=q’(t)

Задача

Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону

q=sin*(2t-10)

Найти силу тока в момент времени t=5 cек.

Решение:

Найдём производную q

(q)`= cos(2t-10)2= 2cos(2t-10)

Согласно условиям задачи, t равно 5 секундам , откуда следует:

(q)`= 2cos(2*5 – 10) = 2 cos 0 = 2 (А)

Ответ: I = 2 (А).

30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной: f '(х)=0,0034х-0,18. Тогда f'(х)=0 при х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f''(х)=0,00340, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л. " width="640"

Задача

Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передаче приблизительно описывается функцией

f(x)=0,0017х 2 -0,18х+10,2; х30. При какой скорости расход горючего будет наименьший?

Решение:

Исследуем расход горючего с помощью производной:

f '(х)=0,0034х-0,18.

Тогда f'(х)=0 при х≈53.

Определим знак второй производной в критической точке: f''(х)=0,00340, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.

Задача

Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль.

С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²?

Решение:

v(t) = s’(t) = 20 – 2t

Вычислим скорость авто,

которое оно приобретёт

через 7 секунд:

v(7) = 20- 14 = 6 (м/с)

6 м/с = 21,6 км/ч.

Ответ: Да , с разрешаемой.

ПРОИЗВОДНАЯ

В БИОЛОГИИ

Понятие на языке биологии

Обозначение

Численность в момент времени t

Понятие на языке математики

N = N (t)

Интервал времени

Функция

∆ t = t 2 – t 1

Изменение численности популяции

Скорость изменения численности популяции

∆ N = N(t 2 ) – N(t 1 )

Приращение аргумента

Приращение функции

∆ N/∆t

Относительная скорость роста в данный момент t

Отношение приращения функции к приращению аргумента

Lim ∆N/∆t

Производная

t 0

v(t) = N′ (t)

Задача

Рассчитайте на основании имеющихся данных, как будет меняться плотность популяции синиц через год и 2 года, если плотность синиц составляет 260 особей/га. За период размножения из одной кладки яиц в среднем выживает 3 птенца.

В популяции равное число самцов и самок. Смертность синиц постоянна, в среднем за год погибает 27особей. Найти скорость роста численности популяции в год.

Вспомогательные формулы и определения для решения задачи

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Эффективная численность популяции – это совокупность особей, которые участвуют в воспроизведении потомства.( Ne)

Плотность популяции – это численность популяции на единицу площади.

Формула Ферсхюльца: N 1 = (Ne - К смерт )( К рожд + N 0 )

Скорость численности популяции : v(t)=N’(t)

Решение: По условию плотность популяции N 0 = 260 особей/га. В популяции равное число самцов и самок, а значит эффективная численность популяции равна 100.

Nе= 100% , тогда Nе= 1

Коэффициент смертности К смерт = 27% = 0,27

За год 130 пар дает 390 птенцов, т.е. (260/2)*3 =390

Формула N 1 = (Nе- К смерт )( К рожд + N 0 ) =

= (1-0.27)(390+260)= 474 особей всего за 1-ый год N 1

Относительный прирост численности популяции ∆N= 474/260= 1,82 раза

Тогда численность популяции будет определяться функцией : N= 260* 1,82 t где t=1,2,….

Найдем тогда скорость роста численности популяции:

  v(t)= N’(t) = (260*1.82 t )’ = 260* (1.82 t )’ =

=260*1.82 t * ln 1.82 (особей/ год)

  N(1) = 260*1.82 1 = 260*1.82= 474 особи

N(2)= 260*1.82 2 = 260*3.3124= 861 особь.

Ответ: 260*1.82 t * ln 1.82 особей/ год

Производная в химии.

Как используют производную в химии?

Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях

научно-производственной деятельности .

Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. Поэтому в реальной жизни для решения производственных задач в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности просто необходимо знать скорости реакций химических веществ.

Определение

Скоростью химической реакции в химии называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или

производная от концентрации реагирующих веществ по времени (на языке математике концентрация была бы функцией, а время – аргументом)

Формула производной в химии

Если P(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:

V (t) = p ‘(t)

Математическая модель производной в химии

Понятие на языке химии

Обозначение

Количество в-ва в момент времени t

Понятие на языке математики

p = p(t)

Интервал времени

Функция

∆ t = t 2 – t 1

Изменение количества в-ва

∆ p= p(t 2 ) – p(t 1 )

Средняя скорость химической реакции

Приращение аргумента

Приращение функции

∆ p/∆t

Отношение приращения функции к приращению аргумента

V (t) = p ‘(t)

Пример задачи по химии:

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:

р(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль)

Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение:

р(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль)

1. Найдем производную функции:

Р’(t) = t +3

2. Подставим значение t = 3 сек:

P’(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек )

Ответ: 6 моль/сек

0, v ’ (100) 0. Следовательно скорость наибольшая , когда х ≈ 66,67%, и у =100-x= 33,33%. Ответ: m(NO)≈ 66,67% и m(O 2 ) ≈ 33,33%. " width="640"

Задача о газовой смеси

Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (O 2 ). Требуется найти концентрацию O 2 кислорода, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью.

Решение. В условиях практической необратимости скорость реакции

2NO + O 2 = 2NO 2

выражается формулой v = kx 2 y , где x – концентрация NO в любой момент времени, y – концентрация O 2 , k – константа скорости реакции, не зависит от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры.

Концентрацию газов будем выражать в процентах. В этом случае

х + у =100.

у = 100 - х , т.к. v = kx 2 y, то v = kx 2 (100- х ) = k(100x 2 - x 3 )= v ( x ) при x  [0; 100]

x=0 или 200-3x=0

-3x=-200

x= -200: (-3)

x= 66.67 %  [0; 100]

v ’ (10) 0, v ’ (100) 0. Следовательно скорость наибольшая , когда

х ≈ 66,67%, и у =100-x= 33,33%.

Ответ: m(NO)≈ 66,67% и m(O 2 ) ≈ 33,33%.

Заключение

Понятие производной очень важно в химии при определении скорости течения реакции.

Экономический смысл производной.

Математическая модель производной в экономике

Понятие на языке экономики

Обозначение

Количество произведенной продукции в момент времени t

Понятие на языке математики

v = v(t)

Интервал времени

Функция

∆ t = t 2 – t 1

Изменение количества произведенной продукции

∆ v= v(t 2 ) – v(t 1 )

Средняя производительность труда

Приращение аргумента

Приращение функции

∆ v/∆t

Отношение приращения функции к приращению аргумента

Производительность труда P(t) = v‘(t)

Объем продукции цеха в течение рабочего дня представляет функцию – рабочее время в часах. Вычислить максимальную производительность труда в течение рабочего дня.

Вопрос: почему после третьего часа работы мы наблюдаем спад производительности труда?

Ответ: упадок сил, плохо проветрено помещение, возможно бригада рабочих использует ручной труд.

Вывод: Экономическое приложение производной помогает как экономистам и бизнесменам, так и обычным гражданам в распоряжении бюджетом.