Промежуточная аттестация по математике (мини-ЕГЭ). 10 класс.

1. За­да­ние 1 № 26624. Боль­но­му про­пи­са­но ле­кар­ство, ко­то­рое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в те­че­ние 21 дня. В одной упа­ков­ке 10 таб­ле­ток ле­кар­ства по 0,5 г. Ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства упа­ко­вок хва­тит на весь курс ле­че­ния?

Ре­ше­ние.

Боль­но­му нужно вы­пить 0,5 · 3 · 21 = 31,5 г ле­кар­ства. В одной упа­ков­ке со­дер­жит­ся 0,5 · 10 = 5 г ле­кар­ства. Раз­де­лим 31,5 на 5:

.

Зна­чит, на курс ле­че­ния не­об­хо­ди­мо 7 упа­ко­вок.

Ответ: 7.

2. За­да­ние 2 № 505160. На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 4-го клас­са, по есте­ство­зна­нию в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). По дан­ным диа­грам­мы най­ди­те число стран, в ко­то­рых сред­ний балл участ­ни­ков выше, чем в Вен­грии.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что число стран, в ко­то­рых сред­ний балл по есте­ство­зна­нию выше чем в Вен­грии равно четырём.

Ответ: 4.

3. За­да­ние 3 № 282833.

От дома до дачи можно до­е­хать на ав­то­бу­се, на элек­трич­ке или на марш­рут­ном такси. В таб­ли­це по­ка­за­но время, ко­то­рое нужно за­тра­тить на каж­дый уча­сток пути. Какое наи­мень­шее время по­тре­бу­ет­ся на до­ро­гу? Ответ дайте в часах.

Ре­ше­ние.

При по­езд­ке на ав­то­бу­се по­тре­бу­ет­ся вре­ме­ни 5 мин. + 2 ч. 5 мин. + 10 мин. = 2 ч. 20 мин.

При по­езд­ке элек­трич­кой по­тре­бу­ет­ся вре­ме­ни 30 мин. + 1 ч. 40 мин. + 5 мин. = 2 ч. 15 мин.

При по­езд­ке марш­рут­ным такси по­тре­бу­ет­ся вре­ме­ни 20 мин. + 1 ч. 30 мин. + 35 мин. = 2 ч. 25 мин.

Тем самым, наи­мень­шее время со­став­ля­ет 2 часа 15 минут, то есть два с чет­вер­тью часа — 2,25 часа.

Ответ: 2,25.

4. За­да­ние 4 № 27602. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 18, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 1:2.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин всех сто­рон. Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, тогда вто­рая равна 2a. Пе­ри­метр будет со­от­вет­ствен­но равен P = 2  a + 2  2a = 18, тогда одна из сто­рон равна 3, а дру­гая 6. По­это­му S = 3  6 = 18.

Ответ: 18.

5. За­да­ние 5 № 285927. В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 25 би­ле­тов, в 10 из них встре­ча­ет­ся во­прос по не­ра­вен­ствам. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по не­ра­вен­ствам.

Ре­ше­ние.

Из 25 би­ле­тов 15 не со­дер­жат во­про­са по не­ра­вен­ствам, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по не­ра­вен­ствам, равна

Ответ: 0,6.

6. За­да­ние 6 № 26646. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −124.

7. За­да­ние 7 № 27217. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 90°, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ: 0,96.

8. За­да­ние 8 № 505442. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 6). В какой точке от­рез­ка [−2; 4] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Ре­ше­ние.

Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак с ми­ну­са на плюс, то это точка ми­ни­му­ма. На от­рез­ке [–2; 4] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс в точке 3 и в этой точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с ми­ну­са на плюс. Сле­до­ва­тель­но, точка 3 яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма на дан­ном от­рез­ке.

Ответ: 3.

9. За­да­ние 9 № 27055. Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Пусть ребро куба равно , тогда пло­щадь по­верх­но­сти куба , а диа­го­наль куба . Тогда

.

Ответ: 3.

10. За­да­ние 10 № 64549. Най­ди­те , если .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 0,84.

11. За­да­ние 11 № 27962. За­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Кель­ви­на) от вре­ме­ни для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра была по­лу­че­на экс­пе­ри­мен­таль­но и на ис­сле­ду­е­мом ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем , где  – время в ми­ну­тах,  К,  К/мин,  К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1760 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чать. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чать при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Ре­ше­ние.

Най­дем, в какой мо­мент вре­ме­ни после на­ча­ла ра­бо­ты тем­пе­ра­ту­ра ста­нет рав­ной  К. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния  при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров a и b:

Через 2 ми­ну­ты после вклю­че­ния при­бор на­гре­ет­ся до 1760 К, и при даль­ней­шем на­гре­ва­нии может ис­пор­тить­ся. Таким об­ра­зом, при­бор нужно вы­клю­чить через 2 ми­ну­ты.

Ответ: 2.

12. За­да­ние 12 № 27100. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

.

Длина тре­тье­го ребра тогда . По­лу­чим, что объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да

.

Ответ: 32.

13. За­да­ние 13 № 505384. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 9 минут, вто­рой и тре­тий — за 12 минут, а пер­вый и тре­тий — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

Ре­ше­ние.

Наи­мень­шее общее крат­ное чисел 9, 12 и 18 равно 36. За 36 минут пер­вый и вто­рой, вто­рой и тре­тий, пер­вый и тре­тий на­со­сы (каж­дый учтен два­жды) за­пол­нят 4 + 3 + 2 = 9 бас­сей­нов. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но, пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы за­пол­ня­ют 4,5 бас­сей­на за 36 минут, а зна­чит, 1 бас­сейн за 8 минут.

Ответ: 8.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За одну ми­ну­ту пер­вый и вто­рой на­со­сы за­пол­нят 1/9 бас­сей­на, вто­рой и тре­тий — 1/12 бас­сей­на, а пер­вый и тре­тий — 1/18 бас­сей­на. Ра­бо­тая вме­сте, за одну ми­ну­ту два пер­вых, два вто­рых и два тре­тьих на­со­са за­пол­нят

  бас­сей­на.

Тем самым, они могли бы за­пол­нить бас­сейн за 4 ми­ну­ты. По­сколь­ку каж­дый из на­со­сов был учтен два раза, в ре­аль­но­сти пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы, ра­бо­тая вме­сте, могут за­пол­нить бас­сейн за 8 минут.

14. За­да­ние 14 № 282861. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке  за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

.

Ответ: −1.

15. За­да­ние 15 № 484550. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние. Из не­ра­вен­ства  по­лу­ча­ем .

Ра­вен­ство нулю может до­сти­гать­ся в одном из двух слу­ча­ев.

Пер­вый слу­чай.  тогда  или  Если , то ; если , то  Из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ем , от­ку­да  или . При  в пер­вом урав­не­нии  Зна­чит, пер­вое ре­ше­ние си­сте­мы 

Вто­рой слу­чай. Если те­перь . Тогда , и по­это­му из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем: .

Учтем, что . Тогда . Из всех ре­ше­ний урав­не­ния  этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко . При этом  и, из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ем: . Из всех ре­ше­ний этого урав­не­ния ин­тер­ва­лу  при­над­ле­жит толь­ко . Зна­чит, вто­рое ре­ше­ние си­сте­мы 

Ответ: 

16. За­да­ние 16 № 501945. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де  с вер­ши­ной  сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны  а бо­ко­вые рёбра равны  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку  и се­ре­ди­ну ребра  па­рал­лель­но пря­мой 

Ре­ше­ние.

Пусть точка  — се­ре­ди­на ребра  От­ре­зок  пе­ре­се­ка­ет плос­кость  в точке  В тре­уголь­ни­ке  точка  яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, сле­до­ва­тель­но,  где  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. От­ре­зок  па­рал­ле­лен  и про­хо­дит через точку  (точка  при­над­ле­жит ребру  — ребру ), от­ку­да

Четырёхуголь­ник  — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка  зна­чит,

По­сколь­ку пря­мая  пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти  диа­го­на­ли  и  четырёхуголь­ни­ка  пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 

1. За­да­ние 1 № 83735.

Ма­га­зин де­ла­ет пен­си­о­не­рам скид­ку на опре­де­лен­ное ко­ли­че­ство про­цен­тов от цены по­куп­ки. Упа­ков­ка пель­ме­ней стоит в ма­га­зи­не 75 руб­лей. Пен­си­о­нер за­пла­тил за упа­ков­ку пель­ме­ней 72 рубля. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет скид­ка для пен­си­о­не­ров?

Ре­ше­ние.

Ма­га­зин сни­зил цену на упа­ков­ку пель­ме­ней на 75 − 72 = 3 рубля. Раз­де­лим 3 на 75:

.

Зна­чит, скид­ка для пен­си­о­не­ров со­став­ля­ет 4%.

Ответ: 4.

2. За­да­ние 2 № 26869. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха 27 ап­ре­ля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха 27 ап­ре­ля со­став­ля­ла −7 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: −7.

3. За­да­ние 3 № 245761.

В таб­ли­це ука­за­ны сред­ние цены (в руб­лях) на не­ко­то­рые ос­нов­ные про­дук­ты пи­та­ния в трех го­ро­дах Рос­сии (по дан­ным на на­ча­ло 2010 года).

Опре­де­ли­те, в каком из этих го­ро­дов ока­жет­ся самым де­ше­вым сле­ду­ю­щий набор про­дук­тов: 2 ба­то­на пше­нич­но­го хлеба, 2 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла. В ответ за­пи­ши­те сто­и­мость дан­но­го на­бо­ра про­дук­тов в этом го­ро­де (в руб­лях).

Ре­ше­ние.

В Пет­ро­за­вод­ске сто­и­мость 2 ба­то­нов пше­нич­но­го хлеба, 2 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла будет со­став­лять 26 + 560 + 38 = 624 руб.

В Пав­лов­ске сто­и­мость 2 ба­то­нов пше­нич­но­го хлеба, 2 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла будет со­став­лять 36 + 550 + 38 = 624 руб.

В Твери сто­и­мость 2 ба­то­нов пше­нич­но­го хлеба, 2 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла будет со­став­лять 22 + 560 + 38 = 620 руб.

Самый дешёвый набор про­дук­тов можно ку­пить в Твери по цене 620 руб.

4. За­да­ние 4 № 58903. Точки O(0,0), , ,  яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки  пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

Ре­ше­ние.

Найдём длины сто­рон четырёхуголь­ни­ка:

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но равны, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, зна­чит, точка  яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка . По­это­му ко­ор­ди­на­ты точки  вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

, 

Ответ: 8.

5. За­да­ние 5 № 321199. Чтобы прой­ти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний, фут­боль­ной ко­ман­де нужно на­брать хотя бы 7 очков в двух играх. Если ко­ман­да вы­иг­ры­ва­ет, она по­лу­ча­ет 6 очков, в слу­чае ни­чьей — 1 очко, если про­иг­ры­ва­ет — 0 очков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­де удаст­ся выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний. Счи­тай­те, что в каж­дой игре ве­ро­ят­но­сти вы­иг­ры­ша и про­иг­ры­ша оди­на­ко­вы и равны 0,3.

Ре­ше­ние.

Ко­ман­да может по­лу­чить не мень­ше 7 очков в двух играх тремя спо­со­ба­ми: 6 + 1, 1 + 6, 6 + 6. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ны, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме их ве­ро­ят­но­стей. Каж­дое из этих со­бы­тий пред­став­ля­ет собой про­из­ве­де­ние двух не­за­ви­си­мых со­бы­тий — ре­зуль­та­та в пер­вой и во вто­рой игре. От­сю­да имеем:

Ответ: 0,33.

6. За­да­ние 6 № 26668. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: −9.

7. За­да­ние 7 № 27920. Угол  тре­уголь­ни­ка , впи­сан­но­го в окруж­ность ра­ди­у­са 3, равен . Най­ди­те сто­ро­ну  этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 3.

8. За­да­ние 8 № 9629. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции  и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции  в точке 

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (2; −2), B (2; −5), C(−1; −5). Тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен тан­ген­су угла ACB:

Ответ: 1.

9. За­да­ние 9 № 245359. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми C и A₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA₁=3.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  в ко­то­ром  яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

В пря­мо­уголь­ни­ке    – диа­го­наль, =. Зна­чит,

Ответ: 50.

10. За­да­ние 10 № 77410. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 42.

11. . За­да­ние 11 № 28011. Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью  м/с под ост­рым углом  к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью  (м/с), где  кг – масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а  кг – масса плат­фор­мы. Под каким мак­си­маль­ным углом  (в гра­ду­сах) нужно пры­гать, чтобы разо­гнать плат­фор­му не менее чем до 0,25 м/с?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства  на ин­тер­ва­ле  при за­дан­ных зна­че­ни­ях массы скейт­бор­ди­ста  кг и массы плат­фор­мы  кг:

.

Ответ: 60.

12. За­да­ние 12 № 245357.

Най­ди­те объем пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, все ребра ко­то­рой равны .

Ре­ше­ние.

Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Вы­со­той пра­виль­ной приз­мы яв­ля­ет­ся ее бо­ко­вое ребро. Ос­но­ва­ние приз­мы — пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной  вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 13,5.

13. За­да­ние 13 № 99572. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15–про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19–про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна . Пусть масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

Ответ: 17.

14. За­да­ние 14 № 77425. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках 0 и 2, за­дан­но­му от­рез­ку при­над­ле­жит число 2. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке  за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: −2.

15. За­да­ние 15 № 500897. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б)Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку 

Ре­ше­ние.

а) За­пи­шем урав­не­ние в виде  Решив по­след­нее урав­не­ние как квад­рат­ное от­но­си­тель­но  по­лу­чим  или  Зна­чит,  от­ку­да  или  что не­воз­мож­но.

б) От­бе­рем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку  это 

Ответ: а)  б) 

16. За­да­ние 16 № 505103. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной P равен 6, а длина его об­ра­зу­ю­щей равна 9. На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки A и B, де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 1:3. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью ABP.

Ре­ше­ние.

Пусть O — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, M — се­ре­ди­на хорды AB. Дуга AB со­став­ля­ет чет­верть окруж­но­сти ос­но­ва­ния, по­это­му AOB = 90°. Тре­уголь­ник AOB рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник APB — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок PM — его вы­со­та, 

Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния равна

Ответ: 

1. За­да­ние 1 № 26627. Опто­вая цена учеб­ни­ка 170 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 20% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 7000 руб­лей?

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки учеб­ник будет сто­ить 170 + 0,2  170 = 204 рубля. Раз­де­лим 7000 на 204:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 34 учеб­ни­ка.

Ответ: 34.

2. За­да­ние 2 № 27518. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1973 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра во вто­рой по­ло­ви­не года (то есть с 7 по 12 месяц) со­став­ля­ла 16 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 16.

3. За­да­ние 3 № 5453.

Семья из трех че­ло­век едет из Моск­вы в Че­бок­са­ры. Можно ехать по­ез­дом, а можно — на своей ма­ши­не. Билет на поезд на од­но­го че­ло­ве­ка стоит 930 руб­лей. Ав­то­мо­биль рас­хо­ду­ет 11 лит­ров бен­зи­на на 100 ки­ло­мет­ров пути, рас­сто­я­ние по шоссе равно 700 км, а цена бен­зи­на равна 18,5 руб­лей за литр. Сколь­ко руб­лей при­дет­ся за­пла­тить за наи­бо­лее де­ше­вую по­езд­ку на троих?

Ре­ше­ние.

Сто­и­мость по­езд­ки на по­ез­де для троих че­ло­век будет со­став­лять 930  3 = 2790 руб. Рас­ход бен­зи­на на 700 км пути со­ста­вит 7 раз по 11 лит­ров т. е. 77 лит­ров. Его сто­и­мость 77  18,5 = 1424,5 руб.

Сто­и­мость самой де­ше­вой по­езд­ки со­став­ля­ет 1424,5 рубля.

Ответ: 1424,5.

4. За­да­ние 4 № 5287.

На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см  1 см изоб­ра­же­на тра­пе­ция (см. ри­су­нок). Най­ди­те ее пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

 см².

Ответ: 14.

5. За­да­ние 5 № 325917.

За круг­лый стол на 17 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 15 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вой за стол сядет де­воч­ка, тогда рядом с ней есть два места, на каж­дое из ко­то­рых пре­тен­ду­ет 16 че­ло­ве­ка, из ко­то­рых толь­ко одна де­воч­ка. Таким об­ра­зом ве­ро­ят­ность, что де­воч­ки будут си­деть рядом равна 

Дру­гое ре­ше­ние:

Число спо­со­бов рас­са­дить 17 че­ло­век по сем­на­дца­ти сту­льям рав­ня­ет­ся .

Бла­го­при­ят­ным для нас ис­хо­дом будет ва­ри­ант рас­сад­ки, когда на "пер­вом" стуле сидит де­воч­ка, и на со­сед­нем спра­ва сидит де­воч­ка, а на осталь­ных пят­на­дца­ти сту­льях про­из­воль­но рас­са­же­ны маль­чи­ки. Ко­ли­че­ство таких ис­хо­дов равно  Так как "пер­вым" сту­лом может быть любой из сем­на­дца­ти сту­льев (сту­лья стоят по кругу), то ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов нужно умно­жить на 17. Таким об­ра­зом ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом равна 

6. За­да­ние 6 № 103023.

Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Мень­ший ко­рень равен 1.

Ответ: 1.

7. За­да­ние 7 № 27919. Одна сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол тре­уголь­ни­ка, про­ти­во­ле­жа­щий этой сто­ро­не. Ответ дайте в гра­ду­сах

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме си­ну­сов

тогда

Ответ: 30.

8. За­да­ние 8 № 9049.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−5; 4].

Ре­ше­ние.

Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак, то это точка экс­тре­му­ма. На от­рез­ке [–5; 4] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс, про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с ми­ну­са на плюс. Сле­до­ва­тель­но, точка −2 яв­ля­ет­ся точ­кой экс­тре­му­ма.

Ответ: −2.

9. За­да­ние 9 № 506098. В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если её пе­ре­лить во вто­рой ци­лин­дри­че­ский сосуд, диа­метр ос­но­ва­ния ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше диа­мет­ра ос­но­ва­ния пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.

Ре­ше­ние.

Объем ци­лин­дри­че­ско­го со­су­да вы­ра­жа­ет­ся через его диа­метр и вы­со­ту как . При уве­ли­че­нии диа­мет­ра со­су­да в 2 раза вы­со­та рав­но­го объ­е­ма жид­ко­сти  умень­шит­ся в 4 раза и ста­нет равна 4.

Ответ: 4.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 27046.

10. За­да­ние 10 № 92551.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 15.

11. За­да­ние 11 № 28007. Трак­тор тащит сани с силой  кН, на­прав­лен­ной под ост­рым углом  к го­ри­зон­ту. Мощ­ность (в ки­ло­ват­тах) трак­то­ра при ско­ро­сти  м/с равна . При каком мак­си­маль­ном угле  (в гра­ду­сах) эта мощ­ность будет не менее 75 кВт?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства  на ин­тер­ва­ле  при за­дан­ных зна­че­ни­ях силы  кН и ско­ро­сти  м/с:

.

Ответ: 60.

12. За­да­ние 12 № 27100. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

.

Длина тре­тье­го ребра тогда . По­лу­чим, что объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да

.

Ответ: 32.

13. За­да­ние 13 № 502311. Кли­ент А. сде­лал вклад в банке в раз­ме­ре 6200 руб­лей. Про­цен­ты по вкла­ду на­чис­ля­ют­ся раз в год и при­бав­ля­ют­ся к те­ку­щей сумме вкла­да. Ровно через год на тех же усло­ви­ях такой же вклад в том же банке сде­лал Б. Ещё ровно через год кли­ен­ты А. и Б. за­кры­ли вкла­ды и за­бра­ли все на­ко­пив­ши­е­ся день­ги. При этом кли­ент А. по­лу­чил на 682 рубля боль­ше кли­ен­та Б.Какой про­цент го­до­вых на­чис­лял банк по этим вкла­дам?

Ре­ше­ние.

Если в банк под  про­цен­тов го­до­вых по­ло­же­на сумма , то через  лет она ста­нет рав­ной  По­это­му кли­ент А. за два года по­лу­чил  руб., а кли­ент B.за год по­лу­чил  По усло­вию,  от­ку­да имеем:

Тем самым, банк на­чис­лял 10 про­цен­тов го­до­вых.

Ответ: 10.

14. За­да­ние 14 № 77426. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке  за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 0.

15. За­да­ние 15 № 485991. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, по­лу­ча­ем  Зна­чит,  или  где В пер­вом слу­чае  во вто­ром слу­чае  где  Пер­вая серия ре­ше­ний вхо­дит во вто­рую.

б) От­ме­тим ре­ше­ния на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. От­рез­ку  при­над­ле­жат корни  и 

Ответ: а) 

б) 

16. За­да­ние 16 № 485988. Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да  Бо­ко­вое ребро  сто­ро­на ос­но­ва­ния равна . Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки  до плос­ко­сти  где  — се­ре­ди­на ребра 

Ре­ше­ние.

По­стро­им се­че­ние  где  — се­ре­ди­на ребра  Пря­мая  па­рал­лель­на  зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от точки  до плос­ко­сти  где  — се­ре­ди­на 

Пусть  — се­ре­ди­на  Рас­смот­рим се­че­ние 

.

Зна­чит, тре­уголь­ник  рав­но­сто­рон­ний. Ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от  до  где  — се­ре­ди­на   — ме­ди­а­на и вы­со­та тре­уголь­ни­ка  По­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно .

Ответ: .

Вариант 4

1. За­да­ние 1 № 505137. В лет­нем ла­ге­ре на каж­до­го участ­ни­ка по­ла­га­ет­ся 30 г са­ха­ра в день. В ла­ге­ре 103 че­ло­ве­ка. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра по­на­до­бит­ся на весь ла­герь на 6 дней?

Ре­ше­ние.

На 103 че­ло­ве­ка на 1 день по­ла­га­ет­ся 103 · 30 = 3090 г са­ха­ра, на 6 дней — 3090 · 6 = 18 540 г. Раз­де­лим 18 540 г на 1000 г в одной упа­ков­ке:

18 540 : 1000 = 18,54.

Тем самым, на весь ла­герь на 6 дней 18 упа­ко­вок не хва­тит, сле­до­ва­тель­но, по­на­до­бит­ся 19 ки­ло­грам­мо­вых упа­ков­ки са­ха­ра.

Ответ: 19.

2. За­да­ние 2 № 501182. На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 8-го клас­са по ма­те­ма­ти­ке в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). Най­ди­те сред­ний балл участ­ни­ков из Бол­га­рии.

Ре­ше­ние.

Сред­ний балл участ­ни­ков из Бол­га­рии ука­зы­ва­ет пятый стол­бец диа­грам­мы. Он равен 465.

Ответ: 465.

3. За­да­ние 3 № 26674. Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 48 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 . В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

Ре­ше­ние.

Общая пло­щадь стек­ла равна 48  0,25 = 12 м². Рас­смот­рим раз­лич­ные ва­ри­ан­ты.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме А скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 420  12 = 5040 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 75 48 = 3600 руб. и равна 8640 руб.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме Б скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 440  12 = 5280 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 65  48 = 3120 руб. и равна 8400 руб.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме В скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 470  12 = 5640 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 55  48 = 2640 руб. и равна 8280 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го за­ка­за со­ста­вит 8280 руб­лей.

Ответ: 8280.

4. За­да­ние 4 № 27748. В тре­уголь­ни­ке  . Внеш­ний угол при вер­ши­не  равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

так как тре­уголь­ник  рав­но­бед­рен­ный, то углы при его ос­но­ва­нии равны.

.

Ответ: 69.

5. За­да­ние 5 № 286115. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­яв­ле­но 65 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны. В пер­вый день 13 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

Ре­ше­ние.

На тре­тий день за­пла­ни­ро­ва­но  вы­ступ­ле­ний. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля из Рос­сии ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на тре­тий день кон­кур­са, равна

Ответ: 0,2.

6. За­да­ние 6 № 77380. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 5.

7. За­да­ние 7 № 27231. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 90°, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ: 0,5.

8. За­да­ние 8 № 7081.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−1; 12). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция убы­ва­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них со­дер­жат­ся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек.

Ответ: 5.

9. За­да­ние 9 № 5079. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 9. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

Ре­ше­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен  , где  – пло­щадь ос­но­ва­ния,  – вы­со­та. Объем пи­ра­ми­ды равен

где  – пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по по­стро­е­нию рав­ная по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Тогда объем пи­ра­ми­ды в 6 раз мень­ше объ­е­ма па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 1,5.

10. За­да­ние 10 № 65363.

Най­ди­те , если .

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на :

.

Тогда

.

Ответ: 16.

11. За­да­ние 11 № 27993. Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объeм и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем , где  (атм.) – дав­ле­ние в газе,  – объeм газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объeм газа равен 1,6 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. В со­от­вет­ствии с тех­ни­че­ски­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми пор­шень на­со­са вы­дер­жи­ва­ет дав­ле­ние не более 128 ат­мо­сфер. Опре­де­ли­те, до ка­ко­го ми­ни­маль­но­го объeма можно сжать газ. Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

Ре­ше­ние.

пусть  и  - на­чаль­ные, а  и  - ко­неч­ные зна­че­ния объ­е­ма и дав­ле­ния газа, со­от­вет­ствен­но. Тогда за­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства

, где  атм.,  л.,  атм.

Тогда

.

Ответ: 0,05.

12. За­да­ние 12 № 245367. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла 

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  катет ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся боль­шей диа­го­на­лью ос­но­ва­ния. Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной сто­ро­не: . По­сколь­ку  имеем:

Ответ: 2.

13. За­да­ние 13 № 509019. Из одной точки коль­це­вой до­ро­ги, длина ко­то­рой равна 12 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 101 км/ч, и через 20 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля равна  км/ч. За 2/3 часа пер­вый ав­то­мо­биль про­шел на 14 км боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем

Ответ: 65.

14. За­да­ние 14 № 70187.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:  Урав­не­ние  не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей.

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 25.

15. За­да­ние 15 № 501709. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

Ре­ше­ние.

а) За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, либо  от­ку­да  либо  от­ку­да 

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  По­лу­чим числа: 

Ответ: а)  б) 

16. За­да­ние 16 № 501045. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка S — вер­ши­на. Точка M — се­ре­ди­на ребра SA, точка K — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMKи ABC, если AB=8, SC=10.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем из точки  пер­пен­ди­ку­ляр  к   — се­ре­ди­на MK. Точка Q яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной вы­со­ты  Пря­мая  па­рал­лель­на пря­мой пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей  и    Сле­до­ва­тель­но,  — ис­ко­мый ли­ней­ный угол. Най­дем :

Зна­чит, 

Ответ: 

Вариант 1

1. Боль­но­му про­пи­са­но ле­кар­ство, ко­то­рое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в те­че­ние 21 дня. В одной упа­ков­ке 10 таб­ле­ток ле­кар­ства по 0,5 г. Ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства упа­ко­вок хва­тит на весь курс ле­че­ния?

2. На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 4-го клас­са, по есте­ство­зна­нию в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). По дан­ным диа­грам­мы най­ди­те число стран, в ко­то­рых сред­ний балл участ­ни­ков выше, чем в Вен­грии.

3. От дома до дачи можно до­е­хать на ав­то­бу­се, на элек­трич­ке или на марш­рут­ном такси. В таб­ли­це по­ка­за­но время, ко­то­рое нужно за­тра­тить на каж­дый уча­сток пути. Какое наи­мень­шее время по­тре­бу­ет­ся на до­ро­гу? Ответ дайте в часах.

4. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 18, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 1:2.

5. В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 25 би­ле­тов, в 10 из них встре­ча­ет­ся во­прос по не­ра­вен­ствам. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по не­ра­вен­ствам.

6. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 90°, . Най­ди­те .

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 6). В какой точке от­рез­ка [−2; 4] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

8.  Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

9. Най­ди­те , если .

10. За­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Кель­ви­на) от вре­ме­ни для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра была по­лу­че­на экс­пе­ри­мен­таль­но и на ис­сле­ду­е­мом ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем , где  – время в ми­ну­тах,  К,  К/мин,  К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1760 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чать. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чать при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

11.Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

12. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 9 минут, вто­рой и тре­тий — за 12 минут, а пер­вый и тре­тий — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

13. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

14. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

15. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де  с вер­ши­ной  сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны  а бо­ко­вые рёбра равны  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку  и се­ре­ди­ну ребра  па­рал­лель­но пря­мой 

Вариант 2

1. Ма­га­зин де­ла­ет пен­си­о­не­рам скид­ку на опре­де­лен­ное ко­ли­че­ство про­цен­тов от цены по­куп­ки. Упа­ков­ка пель­ме­ней стоит в ма­га­зи­не 75 руб­лей. Пен­си­о­нер за­пла­тил за упа­ков­ку пель­ме­ней 72 рубля. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет скид­ка для пен­си­о­не­ров?

2. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха 27 ап­ре­ля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. В таб­ли­це ука­за­ны сред­ние цены (в руб­лях) на не­ко­то­рые ос­нов­ные про­дук­ты пи­та­ния в трех го­ро­дах Рос­сии (по дан­ным на на­ча­ло 2010 года).

Опре­де­ли­те, в каком из этих го­ро­дов ока­жет­ся самым де­ше­вым сле­ду­ю­щий набор про­дук­тов: 2 ба­то­на пше­нич­но­го хлеба, 2 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла. В ответ за­пи­ши­те сто­и­мость дан­но­го на­бо­ра про­дук­тов в этом го­ро­де (в руб­лях).

4. Точки O(0,0), , ,  яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки  пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

5. Чтобы прой­ти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний, фут­боль­ной ко­ман­де нужно на­брать хотя бы 7 очков в двух играх. Если ко­ман­да вы­иг­ры­ва­ет, она по­лу­ча­ет 6 очков, в слу­чае ни­чьей — 1 очко, если про­иг­ры­ва­ет — 0 очков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­де удаст­ся выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний. Счи­тай­те, что в каж­дой игре ве­ро­ят­но­сти вы­иг­ры­ша и про­иг­ры­ша оди­на­ко­вы и равны 0,3.

6. Угол  тре­уголь­ни­ка , впи­сан­но­го в окруж­ность ра­ди­у­са 3, равен . Най­ди­те сто­ро­ну  этого тре­уголь­ни­ка.

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции  и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции  в точке 

8. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми C и A₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA₁=3.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

10. Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью  м/с под ост­рым углом  к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью  (м/с), где  кг – масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а  кг – масса плат­фор­мы. Под каким мак­си­маль­ным углом  (в гра­ду­сах) нужно пры­гать, чтобы разо­гнать плат­фор­му не менее чем до 0,25 м/с?.

11. Най­ди­те объем пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, все ребра ко­то­рой равны .

12. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15–про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19–про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

13. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

14. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б)Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку 

15. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной P равен 6, а длина его об­ра­зу­ю­щей равна 9. На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки A и B, де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 1:3. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью ABP.

Вариант 3

1. Опто­вая цена учеб­ни­ка 170 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 20% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 7000 руб­лей?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1973 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. Семья из трех че­ло­век едет из Моск­вы в Че­бок­са­ры. Можно ехать по­ез­дом, а можно — на своей ма­ши­не. Билет на поезд на од­но­го че­ло­ве­ка стоит 930 руб­лей. Ав­то­мо­биль рас­хо­ду­ет 11 лит­ров бен­зи­на на 100 ки­ло­мет­ров пути, рас­сто­я­ние по шоссе равно 700 км, а цена бен­зи­на равна 18,5 руб­лей за литр. Сколь­ко руб­лей при­дет­ся за­пла­тить за наи­бо­лее де­ше­вую по­езд­ку на троих?

4.

На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см  1 см изоб­ра­же­на тра­пе­ция (см. ри­су­нок). Най­ди­те ее пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

5. За круг­лый стол на 17 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 15 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

6. Одна сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол тре­уголь­ни­ка, про­ти­во­ле­жа­щий этой сто­ро­не. Ответ дайте в гра­ду­сах

7.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−5; 4].

8. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

10.  Трак­тор тащит сани с силой  кН, на­прав­лен­ной под ост­рым углом  к го­ри­зон­ту. Мощ­ность (в ки­ло­ват­тах) трак­то­ра при ско­ро­сти  м/с равна . При каком мак­си­маль­ном угле  (в гра­ду­сах) эта мощ­ность будет не менее 75 кВт?

11.  В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла 

12 Кли­ент А. сде­лал вклад в банке в раз­ме­ре 6200 руб­лей. Про­цен­ты по вкла­ду на­чис­ля­ют­ся раз в год и при­бав­ля­ют­ся к те­ку­щей сумме вкла­да. Ровно через год на тех же усло­ви­ях такой же вклад в том же банке сде­лал Б. Ещё ровно через год кли­ен­ты А. и Б. за­кры­ли вкла­ды и за­бра­ли все на­ко­пив­ши­е­ся день­ги. При этом кли­ент А. по­лу­чил на 682 рубля боль­ше кли­ен­та Б.Какой про­цент го­до­вых на­чис­лял банк по этим вкла­дам?

13. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

14. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

15. Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да  Бо­ко­вое ребро  сто­ро­на ос­но­ва­ния равна . Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки  до плос­ко­сти  где  — се­ре­ди­на ребра 

Вариант 4

1. В лет­нем ла­ге­ре на каж­до­го участ­ни­ка по­ла­га­ет­ся 30 г са­ха­ра в день. В ла­ге­ре 103 че­ло­ве­ка. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра по­на­до­бит­ся на весь ла­герь на 6 дней?

2. На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 8-го клас­са по ма­те­ма­ти­ке в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). Най­ди­те сред­ний балл участ­ни­ков из Бол­га­рии.

3. Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 48 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 . В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

4. В тре­уголь­ни­ке  . Внеш­ний угол при вер­ши­не  равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

5. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­яв­ле­но 65 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны. В пер­вый день 13 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

6. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 90°, . Най­ди­те .

7.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−1; 12). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.

8. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

9. Най­ди­те , если .

10. Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объeм и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем , где  (атм.) – дав­ле­ние в газе,  – объeм газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объeм газа равен 1,6 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. В со­от­вет­ствии с тех­ни­че­ски­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми пор­шень на­со­са вы­дер­жи­ва­ет дав­ле­ние не более 128 ат­мо­сфер. Опре­де­ли­те, до ка­ко­го ми­ни­маль­но­го объeма можно сжать газ. Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

11. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла 

12. Из одной точки коль­це­вой до­ро­ги, длина ко­то­рой равна 12 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 101 км/ч, и через 20 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

13. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

14. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

15.  В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка S — вер­ши­на. Точка M — се­ре­ди­на ребра SA, точка K — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMK и ABC, если AB=8, SC=10.

Частное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

«Царицынская №1»

ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АТТЕСТАЦИЯ

ПО МАТЕМАТИКЕ

мини-ЕГЭ

10 класс

2014 – 2015 учебный год

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009.

Геометрия. 10-11 классы: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни/ [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.], – 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008.

Интернет-ресурс: http://reshuege.ru/

Автор-составитель: учитель математики Шевченко Т.И.

Волгоград, 2015.

Вариант 1

1. Боль­но­му про­пи­са­но ле­кар­ство, ко­то­рое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в те­че­ние 21 дня. В одной упа­ков­ке 10 таб­ле­ток ле­кар­ства по 0,5 г. Ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства упа­ко­вок хва­тит на весь курс ле­че­ния?

2. На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 4-го клас­са, по есте­ство­зна­нию в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). По дан­ным диа­грам­мы най­ди­те число стран, в ко­то­рых сред­ний балл участ­ни­ков выше, чем в Вен­грии.

3. От дома до дачи можно до­е­хать на ав­то­бу­се, на элек­трич­ке или на марш­рут­ном такси. В таб­ли­це по­ка­за­но время, ко­то­рое нужно за­тра­тить на каж­дый уча­сток пути. Какое наи­мень­шее время по­тре­бу­ет­ся на до­ро­гу? Ответ дайте в часах.

4. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 18, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 1:2.

5. В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 25 би­ле­тов, в 10 из них встре­ча­ет­ся во­прос по не­ра­вен­ствам. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по не­ра­вен­ствам.

6. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 90°, . Най­ди­те .

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 6). В какой точке от­рез­ка [−2; 4] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

8.  Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

9. Най­ди­те , если .

10. За­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Кель­ви­на) от вре­ме­ни для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра была по­лу­че­на экс­пе­ри­мен­таль­но и на ис­сле­ду­е­мом ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем , где  – время в ми­ну­тах,  К,  К/мин,  К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1760 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чать. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чать при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

11.Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

12. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 9 минут, вто­рой и тре­тий — за 12 минут, а пер­вый и тре­тий — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

13. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

14. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

15. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де  с вер­ши­ной  сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны  а бо­ко­вые рёбра равны  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку  и се­ре­ди­ну ребра  па­рал­лель­но пря­мой 

Вариант 2

1. Ма­га­зин де­ла­ет пен­си­о­не­рам скид­ку на опре­де­лен­ное ко­ли­че­ство про­цен­тов от цены по­куп­ки. Упа­ков­ка пель­ме­ней стоит в ма­га­зи­не 75 руб­лей. Пен­си­о­нер за­пла­тил за упа­ков­ку пель­ме­ней 72 рубля. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет скид­ка для пен­си­о­не­ров?

2. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха 27 ап­ре­ля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. В таб­ли­це ука­за­ны сред­ние цены (в руб­лях) на не­ко­то­рые ос­нов­ные про­дук­ты пи­та­ния в трех го­ро­дах Рос­сии (по дан­ным на на­ча­ло 2010 года).

Опре­де­ли­те, в каком из этих го­ро­дов ока­жет­ся самым де­ше­вым сле­ду­ю­щий набор про­дук­тов: 2 ба­то­на пше­нич­но­го хлеба, 2 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла. В ответ за­пи­ши­те сто­и­мость дан­но­го на­бо­ра про­дук­тов в этом го­ро­де (в руб­лях).

4. Точки O(0,0), , ,  яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки  пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

5. Чтобы прой­ти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний, фут­боль­ной ко­ман­де нужно на­брать хотя бы 7 очков в двух играх. Если ко­ман­да вы­иг­ры­ва­ет, она по­лу­ча­ет 6 очков, в слу­чае ни­чьей — 1 очко, если про­иг­ры­ва­ет — 0 очков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­де удаст­ся выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний. Счи­тай­те, что в каж­дой игре ве­ро­ят­но­сти вы­иг­ры­ша и про­иг­ры­ша оди­на­ко­вы и равны 0,3.

6. Угол  тре­уголь­ни­ка , впи­сан­но­го в окруж­ность ра­ди­у­са 3, равен . Най­ди­те сто­ро­ну  этого тре­уголь­ни­ка.

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции  и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции  в точке 

8. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми C и A₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA₁=3.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

10. Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью  м/с под ост­рым углом  к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью  (м/с), где  кг – масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а  кг – масса плат­фор­мы. Под каким мак­си­маль­ным углом  (в гра­ду­сах) нужно пры­гать, чтобы разо­гнать плат­фор­му не менее чем до 0,25 м/с?.

11. Най­ди­те объем пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, все ребра ко­то­рой равны .

12. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15–про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19–про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

13. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

14. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б)Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку 

15. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной P равен 6, а длина его об­ра­зу­ю­щей равна 9. На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки A и B, де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 1:3. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью ABP.

Вариант 3

1. Опто­вая цена учеб­ни­ка 170 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 20% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 7000 руб­лей?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1973 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. Семья из трех че­ло­век едет из Моск­вы в Че­бок­са­ры. Можно ехать по­ез­дом, а можно — на своей ма­ши­не. Билет на поезд на од­но­го че­ло­ве­ка стоит 930 руб­лей. Ав­то­мо­биль рас­хо­ду­ет 11 лит­ров бен­зи­на на 100 ки­ло­мет­ров пути, рас­сто­я­ние по шоссе равно 700 км, а цена бен­зи­на равна 18,5 руб­лей за литр. Сколь­ко руб­лей при­дет­ся за­пла­тить за наи­бо­лее де­ше­вую по­езд­ку на троих?

4.

На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см  1 см изоб­ра­же­на тра­пе­ция (см. ри­су­нок). Най­ди­те ее пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

5. За круг­лый стол на 17 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 15 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

6. Одна сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол тре­уголь­ни­ка, про­ти­во­ле­жа­щий этой сто­ро­не. Ответ дайте в гра­ду­сах

7.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−5; 4].

8. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

10.  Трак­тор тащит сани с силой  кН, на­прав­лен­ной под ост­рым углом  к го­ри­зон­ту. Мощ­ность (в ки­ло­ват­тах) трак­то­ра при ско­ро­сти  м/с равна . При каком мак­си­маль­ном угле  (в гра­ду­сах) эта мощ­ность будет не менее 75 кВт?

11.  В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла 

12 Кли­ент А. сде­лал вклад в банке в раз­ме­ре 6200 руб­лей. Про­цен­ты по вкла­ду на­чис­ля­ют­ся раз в год и при­бав­ля­ют­ся к те­ку­щей сумме вкла­да. Ровно через год на тех же усло­ви­ях такой же вклад в том же банке сде­лал Б. Ещё ровно через год кли­ен­ты А. и Б. за­кры­ли вкла­ды и за­бра­ли все на­ко­пив­ши­е­ся день­ги. При этом кли­ент А. по­лу­чил на 682 рубля боль­ше кли­ен­та Б.Какой про­цент го­до­вых на­чис­лял банк по этим вкла­дам?

13. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

14. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

15. Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да  Бо­ко­вое ребро  сто­ро­на ос­но­ва­ния равна . Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки  до плос­ко­сти  где  — се­ре­ди­на ребра 

Вариант 4

1. В лет­нем ла­ге­ре на каж­до­го участ­ни­ка по­ла­га­ет­ся 30 г са­ха­ра в день. В ла­ге­ре 103 че­ло­ве­ка. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра по­на­до­бит­ся на весь ла­герь на 6 дней?

2. На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 8-го клас­са по ма­те­ма­ти­ке в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). Най­ди­те сред­ний балл участ­ни­ков из Бол­га­рии.

3. Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 48 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 . В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

4. В тре­уголь­ни­ке  . Внеш­ний угол при вер­ши­не  равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

5. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­яв­ле­но 65 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны. В пер­вый день 13 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

6. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 90°, . Най­ди­те .

7.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−1; 12). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.

8. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

9. Най­ди­те , если .

10. Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объeм и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем , где  (атм.) – дав­ле­ние в газе,  – объeм газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объeм газа равен 1,6 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. В со­от­вет­ствии с тех­ни­че­ски­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми пор­шень на­со­са вы­дер­жи­ва­ет дав­ле­ние не более 128 ат­мо­сфер. Опре­де­ли­те, до ка­ко­го ми­ни­маль­но­го объeма можно сжать газ. Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

11. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла 

12. Из одной точки коль­це­вой до­ро­ги, длина ко­то­рой равна 12 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 101 км/ч, и через 20 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

13. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

14. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

15.  В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка S — вер­ши­на. Точка M — се­ре­ди­на ребра SA, точка K — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMK и ABC, если AB=8, SC=10.