Противоположные числа. Модуль числа. Целые и рациональные числа

Определение противоположных чисел

В 6 классе каждый школьник должен узнать, какие числа являются противоположными. Сейчас расскажем! Для начала построим координатную прямую.

Координатная ось — это прямая линия, на которой отмечено начало координат, задан масштаб и стрелкой указано положительное направление.

Точки M(-4) и N(4) одинаково удалены от точки O и находятся в противоположных направлениях по разные стороны от нее. Поэтому числа -4 и 4 называют противоположными.

Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль при этом находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

Пары противоположных чисел:

• 1 и -1;
• 0,25 и -0,25;
• 88,158 и -88,158;
• 2/7 и -2/7.

Целые числа включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть с отрицательным знаком) и ноль.

Обозначение противоположных чисел

У противоположных чисел есть основные обозначения. Если нам дано число и нужно записать противоположное ему, то для этого нужно использовать знак минус: «-».

Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга знаками.

Другими словами, число, которое противоположно t, обозначается -t. Например:

• Если t = -13, то ему противоположное -t = 13.
• Если t = 0,123, то ему противоположное -t = -0,123.
• Если t = 0, то ему противоположное -t = 0.

Запись -(-t) означает число, противоположное -t. Например, -(-0,09) = 0,09. Число, противоположное -0,09, есть число 0,09.

Примеры противоположных чисел:

• 
• -1809 и 1809;
• √202 и -√202;
• -20 и -(-20).

Примеры противоположных рациональных чисел:

• 1,121 и -1,121;
• 0,(5678) и -0,(5678).

Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений (√4 + 2) и -(√4 + 2).

Свойства противоположных чисел

Перечислим основные свойства противоположных чисел:

• Для каждого действительного числа существует только одно число, которое ему противоположно.

Это объясняется тем, что для каждой точки координатной оси существует только одна точка, симметричная ей относительно нуля.

• Противоположные числа имеют разные знаки: одно из них является положительным, а второе отрицательным.

Это свойство следует из того, что противоположные числа находятся на координатной оси по разные стороны от нуля и имеют разные знаки. Исключение: число нуль (0).

Значит, если исходное число со знаком плюс, то противоположное ему будет со знаком минус. А если исходное число является отрицательным, то противоположное ему будет положительным.

• Свойство симметричности: если число a противоположно числу b , то b противоположно a .
• Модули противоположных чисел равны.

Точки координатной прямой, которые соответствуют противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.

• Сумма противоположных чисел всегда равна нулю: n + (-n) = n - n = 0.

То есть, такие числа одинаковы по модулю, но имеют разные знаки.

Рассмотрим несколько примеров. Сумма противоположных чисел 101 и -101 равна 0, результат сложения противоположных чисел √5 и -√5 также равен нулю.