Рабочая программа по математике 10-11 классы (профильный уровень)

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Варгашинская средняя общеобразовательная школа №3»

Рабочая программа

по математике

для 10-11классов общеобразовательных учреждений (профильный уровень)

р.п. Варгаши

2015год

Составитель программы:

Желнина Валентина Аркадьевна

учитель математики МКОУ «Варгашинская средняя общеобразовательная школа №3»

Утверждено на заседании методического совета объединения учителей естественно- научного цикла МКОУ «Варгашинская средняя общеобразовательная школа №3»

«____»_____________20___год Протокол №____

Руководитель МО:_________________ Кондратьева М.Н.

Утверждено на заседании методического совета

«____»_____________20___год Протокол №____

Заместитель директора по методической работ

_____________________ Шмарихина Е.А.

Директор школы:

Бардыш Т.И.____________

Протокол педсовета №________ от «____»_____________20___год

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

  Рабочая программа  составлена на основе федерального компонента государственного стандарта общего образования по математике, примерной программе по математике (составитель Г.М.Кузнецова).

Программа учебного курса «Математика» включает в себя два модуля: модуль «Алгебра и начала математического анализа» (профильный уровень) и модуль «Геометрия» (профильный уровень).

Место предмета в федеральном базисном учебном плане: 

согласно федеральному базисному учебному плану для образовательных  учреждений  Российской  Федерации рабочая программа рассчитана на 408 часов, 6 часов в неделю:

10 класс: модуль «Алгебра и начала математического анализа» - 136 часов в год (4часа в неделю), модуль «Геометрия» -68 час в год (2часа в неделю).

11 класс: модуль «Алгебра и начала математического анализа» - 136 часов в год(4часа в неделю), модуль «Геометрия» - 68 час в год (2часа в неделю)

Данная программа полностью отражает профильный уровень подготовки школьников по разделам программы. Она конкретизирует содержание тем образовательного стандарта и дает распределение учебных часов по разделам курса.

Общая характеристика модуля «Алгебра и начала математического анализа» (профильный уровень)

Модуль «Алгебра и начала математического анализа» включает следующие содержательные компоненты:

10 класс

• Действительные числа

• Числовые функции

• Тригонометрические функции

• Тригонометрические уравнения

• Преобразование тригонометрических выражений

• Комплексные числа

• Производная

• Комбинаторика и вероятность

11 класс

• Многочлены

• Степени и корни. Степенные функции

• Показательная и логарифмическая функции

• Первообразная и интеграл

• Элементы теории вероятностей и математической статистики

• Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.

Общая характеристика модуля «Геометрия»

(профильный уровень)

Модуль «Геометрия» включает следующие содержательные компоненты:

10 класс

• Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

• Параллельность прямых и плоскостей

• Перпендикулярность прямых и плоскостей

• Декартовы координаты и векторы в пространстве

• Геометрия на плоскости

11 класс

• Многогранники

• Тела вращения

• Объемы многогранников

• Объемы и поверхности тел вращения

  В профильном курсе содержание образования, представленное в основной школе, развивается в следующих направлениях:

• систематизация сведений о числах;

• формирование представлений о расширении числовых множеств от натуральных до комплексных как способе построения нового математического аппарата для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики; • совершенствование техники вычислений;

• развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем;

• систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;

• расширение системы сведений о свойствах плоских фигур, систематическое изучение свойств пространственных тел, развитие представлений о геометрических измерениях;

• развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире;

• совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;

• формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

Цели

Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на достижение следующих целей:

• формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

• овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественно - научных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

• развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

• воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса.

Задачи

• приобретение математических знаний и умений;

• овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельности;

• освоение компетенций: учебно-познавательной, коммуникативной, рефлексивной, личностного саморазвития, ценностно-ориентационной и профессионально-трудового выбора.

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

• проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

• решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

• планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;

• построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

• расширения системы сведений о свойствах плоских фигур, систематическое изучение свойств пространственных тел, развитие представлений о геометрических измерениях;

• совершенствования математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;

• формирования способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

• проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

• самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

Требования к уровню подготовки учащихся

В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен

знать / понимать:

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;

• идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач  и внутренних задач математики;

• значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

• возможности геометрического языка как средства описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;

• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;

• различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;

• роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики;

• вероятностных характер различных процессов и закономерностей окружающего мира.

Числовые и буквенные выражения

уметь:

– выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

– применять понятия, связанные с делимостью целых чисел при решении математических задач;

– находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители;

– выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами;

– проводить преобразование числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

– практических расчетов по формулам, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Функции и графики

уметь:

– определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

– строить графики изученных функций, выполнять преобразование графиков;

– описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;

– решать уравнения, системы уравнений, неравенства; используя свойства функций и их графические представления;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

– описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов.

Начала математического анализа

уметь:

– находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

– вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы;

– исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

– решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

– решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

– вычислять площадь криволинейной трапеции;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

– решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа.

Уравнения и неравенства

уметь:

– решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

– доказывать несложные неравенства;

–решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

– изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

– решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

– построения и исследования простейших математических моделей.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь:

– решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;

– вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов (простейшие случаи);

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

– анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера.

Геометрия

уметь:

– соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур;

– изображать геометрические  фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;

– решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

– проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;

– вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;

– применять координатно – векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов;

– строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

– исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

– вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Учебно-тематический план

курса «МАТЕМАТИКА»

модуль "Алгебра и начала математического анализа"

10 класс (профильный уровень)

№п/п	Тема	Количество часов	В том числе
			уроков	Контрольные работы
1.	Действительные числа	12	11	1
2.	Числовые функции	9	8	1
3.	Тригонометрические функции	24	23	1
4.	Тригонометрические уравнения	14	12	1(2ч)
5.	Преобразование тригонометрических выражений	21	19	1(2ч)
6.	Комплексные числа	9	8	1
7.	Производная	29	25	2(4ч)
8.	Комбинаторика и вероятность	7	6	1
	Повторение	11	11
	Итого:	136	123	9(13ч)

Содержание тем курса «МАТЕМАТИКА»

модуль "Алгебра и начала математического анализа"

10 класс (профильный уровень)

Тема 1. Действительные числа (12 /11/1)

Натуральные и целые числа. Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения.   Решение задач с целочисленными неизвестными. Рациональные числа. Иррациональные числа. Множество действительных чисел. Модуль действительного числа. Метод математической индукции

С.р.№1 по теме « Свойства и признаки делимости натуральных чисел »

С.р.№2 по теме «Модуль действительного числа »

Контрольная работа №1 по теме «Действительные числа »

Демонстрационные пособия:

Таблицы: «Признаки делимости », « НОД, НОК», «Числовые промежутки »,

« Модуль действительного числа»

Знать: определение натуральных и целых чисел, их обозначения; множества, подмножества; свойства и признаки делимости натуральных чисел; простые и составные числа; деление с остатком; НОД и НОК нескольких натуральных чисел; основную теорему арифметики действительных чисел; рациональные числа и  иррациональные числа; определение бесконечной десятичной периодической дроби, чисто – периодической, смешанно – периодической дроби, периода дроби; действительные числа и числовую прямую; определение и свойства числовых неравенств; среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел; числовые промежутки; определение модуля неотрицательного действительного числа и его свойства; метод математической индукции.

Уметь: доказывать истинность утверждений, используя свойства и признаки делимости целых чисел; выполнять деление с остатком; находить НОД и НОК нескольких натуральных чисел; представлять рациональные дроби в виде десятичных и наоборот; избавляться от иррациональности в знаменателях дробей; выполнять арифметические действия с действительными числами; находить среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел; решать уравнения и неравенства и выполнять преобразование выражений, содержащие модуль; применять метод математической индукции при решении задач.

Тема 2. Числовые функции (9 /8/1)

Определение числовой функции и способы ее задания. Свойства функций. Периодические функции. Обратная функция.

С.р.№3 по теме «Определение числовой функции и способы ее задания»

С.р.№4 по теме «Свойства функций»

С.р.№5 по теме «Периодические функции»

Контрольная работа №2 по теме «Числовые функции»

Демонстрационные пособия:

Таблицы: «Линейная функция», «Квадратичная функция», «Обратная пропорциональность», « Функция у = », «Функция у =|х|».

Знать: определение числовой функции и графика функции, понятия аргумента, области определения и области значений функции, названия и алгоритм построения графиков основных элементарных функций; понятия кусочной функции, различные способы задания функций; определение возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу), ограниченной функции; определения наибольшего (наименьшего) значения функции; точки экстремума: локального максимума и минимума функции, свойство выпуклости функции, свойство непрерывности функции на промежутке; определение четной и нечетной функции, алгоритм исследования функции на четность, свойство симметричности графиков четной и нечетной функций; определение периодической функции, основного периода функции; графическая интерпретация; примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях; сложная функция; взаимно обратные функции; область определения и область значений обратной функции; нахождение функции, обратной данной; определение обратимой, необратимой и обратной функций, теоремы об обратимой и обратной функциях, свойство графиков обратных функций.

Уметь: из формулы выражать одну переменную через другую; вычислять значения функции при заданном значении аргумента; находить область определения и область значений функции при ее аналитическом и графическом задании; строить графики элементарных функций и график кусочной функции; решать графически уравнения первой, второй и третьей степени; исследовать функцию на монотонность, ограниченность, четность; находить наибольшее и наименьшее значения функции; строить график периодической функции, определять период функции; находить обратную функцию для заданной, находить область определения и область значений обратной функции; строить графики обратных функций.

Тема 3. Тригонометрические функции (24/23/1)

Числовая окружность. Числовая окружность на координатной плоскости. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Тригонометрические функции числового аргумента. Тригонометрические функции углового аргумента. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Периодичность тригонометрических функций. Преобразование графиков тригонометрических функций. График гармонического колебания. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

С.р.№6 по теме « Числовая окружность на координатной плоскости»

С.р.№7 по теме «Тригонометрические функции числового аргумента.

Тригонометрические функции углового аргумента»

С.р.№8 по теме «Определение тригонометрических функций»

С.р.№9 по теме «Построение графиков функций у = mf(x) и графиков функций у = f(kx) »

С.р.№10 по теме «Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики »

Контрольная работа №3 по теме «Тригонометрические функции»

Демонстрационные пособия:

Таблицы: «Тригонометрический круг», «Тригонометрические функции углов от 0⁰ до 180», «Графики тригонометрических функций», «Тригонометрические функции», «Тригонометрические формулы», «Обратные тригонометрические функции»

Знать: определение числовой окружности, направления движения по единичной окружности; о делении числовой окружности на четверти, о выражении длины дуги с помощью числа π; о записи всех точек, соответствующих точке на единичной окружности, об аналитической записи дуги числовой окружности; знаки координат точек по четвертям числовой окружности, значение абсцисс и ординат точек двух макетов числовой окружности; о соответствии каждой точке числовой окружности аналитической записи дуги; определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа t, знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа t по четвертям, четыре свойства для любого значения t; определение тригонометрических функций числового аргумента, основные тригонометрический тождества; понятия градусной и радианной меры угла, определение угла в 1 радиан, теорему, выражающую тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника; определение функции у = sin x, свойства функции у = sin x, ход построения графика функции у = sin x; определение функции у = соs x, свойства функции у = соs x , ход построения графика функции у = соs x; определение периодической функции, понятие периода функции, периоды функций у = sin x и у = соs x; правила преобразования графиков функций; построение графиков функций у = mf(x), у = f(kx); cвойства и график функций у = tg x, у = сtg x; определение обратных тригонометрических функций, их свойства и графики.

Уметь: находить длины дуг числовой окружности, определять на числовой окружности точку, соответствующую заданному числу; записывать все числа, которым соответствует точка единичной окружности, определять четверть, которой принадлежит точка числовой окружности; записывать координаты точки числовой окружности, по координатам точки определять ее положение на числовой окружности; определять аналитическую запись дуги числовой окружности; вычислять sin t, соs t, tg t, сtg t при заданном значении t; решать простейшие уравнения и неравенства с использованием sin t, соs t, tg t, сtg t; использовать свойства при решении задач; находить значения неизвестных трех тригонометрических функций по известному значению одной функции; упрощать выражения с тригонометрическими функциями, доказывать тригонометрические тождества; переводить значения углов из градусной меры в радианную и наоборот, использовать известные соотношения сторон в прямоугольном треугольнике при решении задач; использовать формулы приведения при упрощении выражений, доказательстве тождеств, решении тригонометрических уравнений; строить графики функций у =sin x, у = соs x, у = tg x, у = сtg x; строить графики функций, получаемые из графиков функций у =sin x, у = соs x, у = tg x, у = сtg x, использовать свойства функций у =sin x, у = соs x, у = tg x, у = сtg x при решении задач, строить графики периодических функций, выделять период функций

у =sin x, у = соs x при решении задач, выполнять преобразования графиков тригонометрических функций; строить графики обратных тригонометрических функций и выполнять преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Тема 4. Тригонометрические уравнения (14/12/1(2ч))

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Методы решения тригонометрических уравнений.

С.р.№11 по теме «Простейшие тригонометрические уравнения»

С.р.12 по теме «Однородные тригонометрические уравнения»

Контрольная работа №4 по теме «Тригонометрические уравнения»

Демонстрационные пособия:

Таблицы: «Тригонометрический круг», «Тригонометрические формулы», «Обратные тригонометрические функции»

Знать: определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа а; определение тригонометрических уравнений, формулы для решения простейших тригонометрических уравнений; формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательного числа; два основных метода решения тригонометрических уравнений; определение однородного тригонометрического уравнения и алгоритм их решения.

Уметь: решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства; уметь решать уравнения методом введения новой переменной и методом разложения на множители; решать однородные тригонометрические уравнения; находить решения уравнений, принадлежащих данному промежутку.

Тема 5. Преобразование тригонометрических выражений (21/ 19/1(2ч)).

Синус и косинус суммы и разности аргументов. Тангенс суммы и разности аргументов. Формулы приведения. Формулы двойного аргумента. Формулы половинного угла. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Преобразование выражения А sinx + Bcosx к виду C sinx(х + t). Методы решения тригонометрических уравнений.

С.р.№13 по теме « Формулы суммы и разности аргументов»

С.р.№14 по теме «Формулы двойного и половинного углов»

С.р.№15 по теме «Преобразования сумм тригонометрических функций в произведение и наоборот»

Контрольная работа №5 по теме «Преобразование тригонометрических выражений»

Демонстрационные пособия:

Таблицы: «Тригонометрический круг», «Тригонометрические формулы»

Знать: формулы синуса, косинуса и тангенса суммы и разности аргументов, двойного угла, понижения степени, формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, формулу А sinx + Bcosx = C sinx(х + t).

Уметь: упрощать тригонометрические выражения, доказывать тригонометрические тождества, использовать формулы синуса, косинуса и тангенса суммы и разности аргументов, формулы двойного аргумента, формулы понижения степени, формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму при решении примеров, задач и уравнений.

Тема 6. Комплексные числа (9/ 8/1).

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

С.р.№16 по теме «Арифметические действия над комплексными числами »

Контрольная работа №6 по теме «Комплексные числа»

Знать: определение комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексных чисел; действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексных чисел; арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи; определение квадратного корня из комплексного числа; алгоритм извлечения квадратного корня из комплексного числа; комплексно сопряженные числа; возведение комплексного числа в степень (формула Муавра); основную теорему алгебры.

Уметь: выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи; решать квадратные уравнения с комплексными корнями;

возводить в степень комплексные числа; извлекать кубический корень из комплексного числа.

Тема 7. Производная (29/25 /2(4ч)).

Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей.

Бесконечно убывающая геометрической прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей, Переход к пределам в неравенствах. Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты.

Определение производной функции, физический и геометрический смысл производной. Вторая производная и ее физический смысл. Вычисление производных: производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Уравнение касательной к графику функции. Производные сложной и обратной функций.

Применение производной для исследований функций на монотонность и экстремумы. Построение графиков функций. Использование производных при решении уравнений и неравенств, текстовых, прикладных, физических и геометрических задач, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком, нахождении наибольших и наименьших значений.

С.р.№17 по теме «Сумма бесконечной геометрической прогрессии»

С.р.№18 по теме «Вычисление производных»

С.р.№19 по теме «Уравнение касательной к графику функции»

С.р.№20 по теме «Применение производной для исследований функций на монотонность и экстремумы»

С.р.№21 по теме «Построение графиков функций»

С.р.№22 по теме «Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке»

С.р.№23 по теме «Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин»

Контрольная работа №7 по теме «Производная»

Контрольная работа № 8 по теме «Производная»

Демонстрационные пособия:

Таблицы: «Правила дифференцирования», «Формулы дифференцирования»

Знать: определение числовой последовательности, способы задания последовательностей, определения ограниченной сверху, ограниченной снизу и ограниченной последовательностей, определения возрастающей, убывающей, монотонной последовательностей; определение предела последовательности; определение бесконечной геометрической прогрессии, формулу определения суммы геометрической прогрессии, формулу суммы геометрической прогрессии, если знаменатель | q|определение производной; алгоритм нахождения производной функции по определению, физический (механический) и геометрический смысл производной; условие непрерывности функции, основные формулы дифференцирования и правила дифференцирования; формулу вычисления углового коэффициента касательной, теорему о производной сложной функции; формулу уравнения касательной к графику функции в данной точке, алгоритм составления уравнения касательной к графику функции; теоремы о возрастающей и убывающей функциях, теорему о постоянной функции на промежутке; определение точек минимума, максимума, точек экстремума, понятие стационарных, критических точек; необходимое условие экстремума, достаточное условие экстремума функции, алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы, понятие полюсов функции; схему исследования свойств функции и построения графика; понятия горизонтальной и вертикальной асимптот графика функции; свойства непрерывной функции на отрезке, алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке, теорему о точках экстремума на промежутке; этапы решения задач на оптимизацию, принцип математического моделирования; схему решения задач на нахождение наибольшего или наименьшего значения.

Уметь: по заданной формуле n-ого члена вычислять несколько первых членов последовательности; составлять одну из возможных формул n-ого члена последовательности по нескольким ее первым членам, определять ограниченность сверху, ограниченность снизу, ограниченность последовательности; выяснять характер монотонности последовательности; находить сумму геометрической прогрессии, решать задачи о геометрической прогрессии; строить эскиз графика функции по указанным свойствам; вычислять предел функции на бесконечности, в точке; находить приращение функции при переходе от точки к точке, определять по графикам приращение аргумента и приращение функции; вычислять среднюю скорость движения точки, если закон движения задан формулой, находить скорость и ускорение точки, если задан формулой закон ее движения, вычислять мгновенную скорость движения точки, если закон движения задан формулой; использовать геометрический смысл производной при решении задач, находить скорость изменения линейной функции, находить скорость изменения функции в указанной точке; использовать формулы дифференцирования при нахождении производной, находить угловой коэффициент касательной к графику функции; находить производные различных функций и скорость изменения функций, используя формулы и правила дифференцирования, находить производную сложной функции; составлять уравнение касательной к графику функции; определять промежутки возрастания и убывания функции по графику этой функции, по графику производной этой функции; определять по графику функции точки, в которых производная обращается в ноль или не существует; находить точки экстремума и определять их характер; исследовать свойства функции и строить ее график; находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, на промежутке; составлять математические модели к задачам, работать с составленными моделями, анализировать полученные ответы задачи, решать практические задачи на отыскание наибольшего или наименьшего значений.

Тема 8. Комбинаторика и вероятность (7/6/1).

Правила умножения. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений.

Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Решение комбинаторных задач. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий.

С.р.№24 по теме « Решение комбинаторных задач »

Контрольная работа №9 по теме «Комбинаторика и вероятность »

Знать: что такое комбинаторика и теория вероятностей; правило умножения; эн факториал; формулы числа перестановок, сочетаний, размещений; бином Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов; треугольник Паскаля; случайные события и их вероятности; элементарные и сложные события; классическую вероятностную схему и классическое определение вероятности; невозможное, достоверное и противоположное события и их вероятность; вероятность суммы двух событий; понятие о независимости событий.

Уметь: применять правило умножения, формулы числа перестановок, сочетаний, размещений, бином Ньютона при решении задач. ; находить эн факториал, вероятность невозможного, достоверного, противоположного, случайного событий.

Повторение (11/11/-)

Преобразование тригонометрических выражений, решение тригонометрических уравнений и неравенств, вычисление производных, исследование функций и построение их графиков, решение задач с помощью производной.

Итоговый тест по типу ЕГЭ

Знать: основные тригонометрические формулы, свойства тригонометрических функций, методы решений тригонометрических уравнений и неравенств; формулы и правила дифференцирования, схему исследования функции с помощью производной, приемы построения графиков элементарных функций; схему решения задач на оптимизацию.

Уметь: выполнять преобразования тригонометрических выражений, доказывать тригонометрические тождества, решать тригонометрические уравнения и неравенства; находить производную функции в общем виде и при указанном значении аргумента, исследовать функцию с помощью производной и строить графики различных функций, решать практические задачи с помощью производной.

Учебно-тематический план

курса «МАТЕМАТИКА» модуль "Геометрия"

10 класс (профильный уровень)

№п/п	Тема	Количество часов	В том числе
			уроков	Контрольные работы
1.	Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия	6	5	1(на 20 мин)
2.	Параллельность прямых и плоскостей	16	14	2
3.	Перпендикулярность прямых и плоскостей	17	15	2
4.	Декартовы координаты векторы в пространстве	17	15	2
5.	Избранные вопросы планиметрии	12	11	1
	Итого:	68	60	8

Содержание тем курса «МАТЕМАТИКА»

модуль "Геометрия"

10 класс (профильный уровень)

Тема 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

(6/ 5/1)

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Понятие об аксиоматическом способе построения геометрии. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку. Пересечение прямой с плоскостью. Существование плоскости, проходящей через три данные точки.

С.р.№1 по теме «Аксиомы стереометрии»

Контрольная работа №1 по теме «Аксиомы стереометрии»

Демонстрационные пособия:

Модели: параллелепипеда, куба, плоскости

Знать: основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство), аксиомы стереометрии и следствия из них, условия существования и единственности плоскости; взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Уметь: доказывать теоремы, использовать аксиомы при решении задач.

Тема 2. Параллельность прямых и плоскостей (16 / 14/2)

Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые в пространстве. Признак параллельности прямых. Признак и свойства параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей. Существование плоскости, параллельной данной плоскости. Свойства параллельных плоскостей. Расстояние между параллельными прямыми. Параллельное проектирование. Ортогональное проектирование. Центральное проектирование. Изображение пространственных фигур на плоскости.

С.р.№2 по теме «Параллельные прямые в пространстве »

С.р.№3 по теме «Признак параллельности прямых »

С.р.№4 по теме «Признак параллельности прямой и плоскости »

С.р.№5 по теме «Признак параллельности плоскостей»

С.р.№6 по теме «Свойства параллельных плоскостей»

Контрольная работа №2 по теме «Параллельность прямых »

Контрольная работа №3 по теме «Параллельность плоскостей »

Демонстрационные пособия:

Модели: прямоугольного параллелепипеда, куба

Таблицы: «Параллельные прямые в пространстве», «Свойства параллельных плоскостей», «Параллельность прямых и плоскостей»

Знать: возможные случаи расположения двух прямых в пространстве, определения пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых, признак параллельности прямых; возможные случаи расположения прямой и плоскости в пространстве, определение параллельности прямой и плоскости, признак параллельности прямой и плоскости; возможные случаи расположения двух плоскостей в пространстве, понятие параллельности плоскостей, признак параллельности плоскостей, существование и единственность параллельной плоскости, свойства параллельных плоскостей; конструкцию параллельного проектирования точки и фигуры на плоскости, свойства параллельной проекции.

Уметь: доказывать основные теоремы; строить прямые и плоскости в пространстве; изображать пространственные фигуры на плоскости;

применять теоремы при решении задач.

Тема 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей (17/ 15/2)

Перпендикулярность прямых в пространстве. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Построение перпендикулярных прямой и плоскости. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от прямой до плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах. Признак перпендикулярности плоскостей. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

С.р.№7 по теме «Перпендикулярность прямых в пространстве »

С.р.№8 по теме «Признак перпендикулярности прямой и плоскости»

С.р.№9 по теме «Свойства перпендикулярных прямой и плоскости »

С.р.№10 по теме «Перпендикуляр и наклонная »

С.р.№11 по теме «Теорема о трёх перпендикулярах »

Контрольная работа №4 по теме « Перпендикулярность прямых и плоскостей »

Контрольная работа №5 по теме « Перпендикулярность прямых и плоскостей »

Демонстрационные пособия:

Модели: прямоугольного параллелепипеда, куба

Таблицы: «Перпендикуляр и наклонная »

Знать: понятие и признак перпендикулярности двух прямых, перпендикулярности прямой и плоскости, свойства перпендикулярных прямой и плоскости; понятие расстояния от точки до плоскости, наклонной, проекции наклонной; расстояния от прямой до параллельной ей плоскости, расстояние между параллельными плоскостями; теорему о трех перпендикулярах; понятие и признак перпендикулярности плоскостей; понятия общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых и расстояния между ними.

Уметь: доказывать основные теоремы; строить перпендикулярные прямые и плоскости, применять теоремы при решении задач.

Тема 4. Декартовы координаты и векторы в пространстве

(17/ 15/2)

Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка. Преобразование симметрии в пространстве. Симметрия в природе и на практике. Движение в пространстве. Параллельный перенос в пространстве. Подобие пространственных фигур.

Угол между скрещивающимися прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Площадь ортогональной проекции многоугольника.

Векторы в пространстве (модуль вектора, равенство векторов, угол между векторами). Действия над векторами в пространстве (сложение векторов, умножение векторов на число, скалярное произведение векторов). Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Уравнение плоскости.

С.р.№12 по теме «Движение в пространстве »

С.р.№13 по теме «Угол между прямой и плоскостью»

С.р.№14 по теме «Угол между плоскостями»

С.р.№15 по теме «Вектор. Действия над векторами»

Контрольная работа №6 по теме «Декартовы координаты и векторы в пространстве»

Контрольная работа №7 по теме «Декартовы координаты и векторы в пространстве»

Демонстрационные пособия:

Модели: прямоугольного параллелепипеда, куба

Таблицы: «Симметрия в пространстве», «Параллельный перенос в пространстве», «Угол между прямой и плоскостью», «Угол между плоскостями», «Вектор. Действия над векторами»

Знать: понятия системы координат и координат точки в пространстве, формулы для расстояния середины отрезка в координатах; понятие движения в пространстве, преобразование симметрии в пространстве; параллельный перенос в пространстве и его свойства; преобразование гомотетии в пространстве и его свойства; понятие углов между пересекающимися, скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями; теорему о площади проекции многоугольника; понятие вектора в пространстве, его абсолютной величины, направления, равенства векторов; понятие компланарных векторов, правило сложения для трех некомпланарных векторов, разложение любого вектора по трем некомпланарным векторам.

Уметь: строить систему координат в пространстве, строить точки по координатам, находить координаты вектора, расстояние между точками, координаты середины отрезка; определять преобразование движения и подобия в пространстве; строить и находить угол между пересекающимися, скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями; применять теорему о площади проекции многоугольника при решении задач; выполнять действия над векторами в пространстве и разложение любого вектора по трем некомпланарным векторам.

Тема 5. Избранные вопросы планиметрии (12/ 11/1)

Свойство биссектрисы угла треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружности. Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма.

Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников. Геометрические места точек. Решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических мест. Теорема Чевы и теорема Менелая. Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек. Неразрешимость классических задач на построение.

С.р.№16 по теме «Решение задач »

Контрольная работа №8 по теме «Избранные вопросы планиметрии»

Знать: замечательные точки треугольника: это точки пересечения серединных перпендикуляров биссектрис, медиан, высот; формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружности; произведение отрезков хорд; теорему о касательной и секущей; свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников; геометрические места точек.

Уметь: пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира; вычислять значения геометрических величин; решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения; решать задачи с помощью геометрических преобразований и геометрических мест; проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования.

Учебно-тематический план

курса «МАТЕМАТИКА»

модуль " Алгебра и начала математического анализа "

11 класс (профильный уровень)

№п/п			Тема	Количество часов	В том числе
					уроков		контрольные работы
1.			Многочлены	9	8		1
2.			Степени и корни. Степенные функции.	20	18		2
3.			Показательная и логарифмическая функции	35	32		3
4.			Первообразная и интеграл	8	7		1
5.			Элементы теории вероятностей и математической статистики	11	10		1
6.			Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.	30	28		2
		Повторение		23	19		1(4ч)
	Итого:			136		122		11(14ч)

Содержание тем курса «МАТЕМАТИКА»

модуль "Алгебра и начала математического анализа"

11 класс (профильный уровень)

Тема 1. Многочлены (9/8/1)

Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.

С.р.№1 по теме «Разложение многочлена на множители»

С.р.№2 по теме «Решение уравнений»

Контрольная работа №1 по теме «Многочлены»

Знать: понятие многочлена, стандартный вид многочлена, тождественно равные многочлены; схему Горнера, теорема Безу и следствия из нее; что такое корни многочлена; способы разложения многочлена на множители; понятие однородного симметрического многочлена; теорему о корне уравнения.

Уметь: приводить многочлен к стандартному виду; выполнять арифметические операции над многочленами от одной переменной, деление многочлена на многочлен с остатком, разложение многочлена на линейные множители с помощью схемы Горнера и теоремы Безу и следствия из нее; решать уравнения высших степеней, однородные уравнения и системы уравнений, симметрические уравнения и симметрические системы уравнений.

Тема 2. Степени и корни. Степенные функции. (20/18/2)

Понятие корня n-ой степени из действительного числа. Функции у = , их свойства и графики. Свойства корня n-ой степени. Преобразование иррациональных выражений. Понятие степени с любым рациональным показателем и ее свойства. Степенные функции, их свойства и графики. Производная степенной функции. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры.

С.р.№3 по теме «Корень n-ой степени и его свойства»

С.р.№4 по теме «Преобразование иррациональных выражений »

С.р.№5 по теме «Степенные функции, их свойства и графики »

Контрольная работа №2 по теме «Степени и корни»

Контрольная работа №3 по теме «Степенные функции»

Демонстрационные пособия:

Таблицы: «Функции у = _», «Свойства корня n-ой степени», «Степенные функции»

Знать: о понятии корня n-ой степени из действительного числа, понятия подкоренного числа, показателя корня, извлечения корня, радикала; о графическом способе решения уравнения хⁿ = а, при n - четном, нечетном и равном нулю; определение корня n-ой степени из неотрицательного числа, определение корня нечетной степени n из отрицательного числа; свойства функции у = , об обратимости функции у = , вид графика функции у = , при n- четном и нечетном; теоремы, выражающие свойства корня n-ой степени и их доказательства; понятие иррациональных выражений; преобразования вынесения множителя за знак радикала и внесения множителя под знак радикала, преобразование выражений, содержащих радикалы; определение степени с дробным положительным и дробным отрицательным показателями, свойства степени с рациональным показателем; определение степенной функции, свойства функции положительным дробным и отрицательным дробным показателями, теорему о производной степенной функции; предел корня n-ой степени из комплексного числа, алгоритм извлечения корня n-ой степени из комплексного числа, основную теорему алгебры.

Уметь: извлекать корень n-ой степени из действительного числа; строить график функции у = хⁿ, решать уравнения вида хⁿ = а, при n - четном, нечетном и равном нулю; извлекать корни n-ой степени из действительного числа, решать задания с использованием корня n-ой степени из действительного числа; строить график функции у = , использовать свойства функции у = _{при решении задач; вычислять корни} n-ой степени, использовать свойства корня n-ой степени при решении задач; выносит множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня, выполнять действия с корнями, сокращать дроби с использованием радикалов, преобразовывать выражения, содержащие радикалы; заменять степень с дробным показателем корнем и наоборот, вычислять степени с дробным показателем , упрощать числовые и буквенные выражения с степенной функции с дробным показателем; строить графики степенной функции с положительным дробным и отрицательным дробным показателями; решать задания с применением производной степенной функции; применять алгоритм извлечения корня n-ой степени из комплексного числа; решать кубические уравнения.

Тема 3. Показательная и логарифмическая функции (35/32/3)

Показательная функция (экспонента), её свойства и график. Показательные уравнения и методы их решения. Показательные неравенства. Понятие логарифма. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

Логарифмическая функция, её свойства и график. Свойства логарифмов. Логарифм произведения, частного, степени, переход к новому основанию логарифма. Логарифмические уравнения и методы их решения. Логарифмические неравенства. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.

С.р.№6 по теме «Показательная функция, её свойства и график»

С.р.№7 по теме «Показательные уравнения»

С.р.№8по теме «Показательные неравенства»

С.р.№9 по теме «Понятие логарифма»

С.р.№10 по теме «Функция у = log_ах, её свойства и график»

С.р.№11 по теме «Свойства логарифмов»

С.р.№12 по теме «Логарифмические уравнения»

С.р.№13 по теме «Логарифмические неравенства»

С.р.№14 по теме «Дифференцирование показательной функции»

С.р.№15 по теме «Дифференцирование логарифмической функции»

Контрольная работа №4 по теме «Показательная функция»

Контрольная работа №5 по теме «Логарифмическая функция»

Контрольная работа №6 по теме «Показательная и логарифмическая функции»

Демонстрационные пособия:

Таблицы: «Показательная функция», «Функция у = log_ах», «Логарифм. Свойства логарифмов»

Знать: определение степени с иррациональным показателем, понятие и свойства степени с произвольным действительным показателем, определение и свойства показательной функции, свойства функций у = 2^х и у = ()^х, алгоритм решений уравнений и неравенств графическим способом; определение показательного уравнения и неравенства, теорему о показательном уравнении и неравенстве, основные приемы и методы решения показательных уравнений и неравенств; определение логарифма, основное логарифмическое тождество, основные свойства логарифмов, понятие логарифмирования и потенцирования, определение десятичного логарифма; понятие логарифмической функции, логарифмической кривой, свойство обратимости логарифмической функции, свойство функции у = log_ах; определение логарифмических уравнений, систем уравнений и неравенств, ОДЗ логарифмических уравнений, систем уравнений и неравенств; алгоритм решения логарифмических уравнений , систем уравнений и неравенств методом потенцирования и логарифмирования, функционально – графическим, введением новой переменной; теорему о переходе к новому основанию логарифма и следствия из нее; понятие и значение числа е, график и свойства функции у = е^х, формулу производной функции

у = е^х; определение натурального логарифма, график и свойства функции у = lnx, формулу производной натурального логарифма.

Уметь: находить значение степени при любом действительном значении показателя, находить значении выражений, используя свойства степени с действительным показателем, строить график показательной функции, применять различные приемы и методы при решении показательных уравнений и неравенств, систем уравнений; вычислять логарифмы, строить графики различных логарифмических функций и функции у = log_ах, использовать свойства логарифмов при решении примеров и задач, выполнять логарифмирование и потенцирование, решать логарифмические уравнения и системы уравнений, неравенства и системы неравенств методом потенцирования, логарифмирования, введения новой переменной, функционально – графическим методом, использовать формулу перехода к другому основанию при решении различных заданий; строить графики функций у = е^х, у = lnx, применять свойства функций у = е^х, у = lnx, использовать формулу производной функций

у = е^х, у = lnx при решении задач.

Тема 4. Первообразная и интеграл (8/7/1)

Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Понятие об определенном интеграле. Формула Ньютона- Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

С.р.№16 по теме «Первообразная»

С.р.№17 по теме «Определенный интеграл»

К.р.№7 по теме «Первообразная и интеграл»

Демонстрационные пособия:

Таблицы: «Таблица первообразных»

Знать: понятия дифференцирования, интегрирования; определение первообразной, таблицу формул для нахождения первообразной, правила интегрирования функций; определение определенного интеграла, основные свойства определенного интеграла, геометрический и физический смысл определенного интеграла, формулу Ньютона- Лейбница, формулу вычисления площади, ограниченную графиками нескольких функций.

Уметь: находить первообразные, решать задачи на применение интеграла в физике и геометрии, выполнять задания, используя правила нахождения первообразной, вычислять определенный интеграл по формуле Ньютона- Лейбница, вычислять площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

Тема 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики (11/10/1)

Вероятность и геометрия. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Схема Бернулли, теорема Бернулли. Вероятность и статистическая частота наступления события. Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

С.р.№18 по теме « Решение комбинаторных задач »

Контрольная работа №8 по теме «Комбинаторика и вероятность »

Знать: определение вероятности события; правило для нахождения геометрических вероятностей; схему Бернулли, теорему Бернулли; статистические методы обработки информации; определение частоты варианты

Уметь: решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; анализа информации статистического характера.

Тема 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. (30/28/2)

Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение систем неравенств с одной переменной. Метод интервалов. Изображения на координатной плоскости множества решения уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Уравнения и неравенства с модулями. Иррациональные уравнения и неравенства. Доказательство неравенств. Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств с двумя переменными. Системы уравнений. Основные методы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Задачи с параметрами.

С.р.№19 по теме «Общие методы решения уравнений »

С.р.№20 по теме «Решение неравенств »

С.р.№21 по теме «Уравнения и неравенства с модулями»

С.р.№22 по теме «Иррациональные уравнения и неравенства »

С.р.№23 по теме «Системы уравнений»

Контрольная работа №9 по теме «Уравнения и неравенств»

Контрольная работа №10 по теме « Системы уравнений и неравенств»

Знать: определение равносильных уравнений, теоремы о равносильности уравнений, определение области допустимых значений уравнения, этапы решения уравнения, понятие проверки корней, понятие постороннего корня, причины потери корней при решении уравнений, общие методы решения уравнений; понятия частное решение неравенства, общее решение неравенства, определение равносильных неравенств, теоремы о равносильности неравенств; определение системы неравенств, совокупности неравенств, понятия частное и общее решения системы неравенства, частное решение совокупности неравенств, решение совокупности неравенств, алгоритм решения системы неравенств и совокупности неравенств; алгоритм и различные способы решения неравенств с одной переменной, уравнений и неравенств с модулем; условия для решения иррациональных неравенств; понятия решения уравнения с двумя переменными, методику поиска целочисленных значений решения уравнения; понятие решения неравенства с двумя переменными и системы неравенств с двумя переменными; определения систем уравнений и равносильных систем уравнений, понятия решения системы уравнений, различные методы решения систем уравнений; этапы решения текстовых задач с помощью составления систем уравнений; определение уравнения с параметром, понятие неравенства с параметром, приемы и методы решения уравнений и неравенств с параметрами.

Уметь: решать различные уравнения и определять их равносильность, использовать теоремы о равносильности уравнений при их решении, решать показательные, логарифмические и иррациональные уравнения различными способами и методами; определять равносильность неравенств, решать неравенства, системы неравенств, совокупности неравенств с одной переменной различными методами, решать иррациональные неравенства и неравенства с модулем; строить график уравнения с двумя переменными, находить целочисленные решения уравнения с двумя переменными, определять множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству и системе неравенств; решать системы уравнений различными методами, решать системы трех уравнений с тремя переменными; решать текстовые задачи поэтапно; решать уравнения и неравенства с параметрами.

Повторение (23/19/1(4ч))

Действительные числа. Числовые функции. Тригонометрические функции.

Тригонометрические уравнения. Преобразование тригонометрических выражений. Производная. Комбинаторика и вероятность. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Многочлены. Степени и корни. Степенные функции. Показательная и логарифмическая функции. Первообразная и интеграл. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.

Контрольная работа по типу ЕГЭ

Учебно-тематический план

курса «МАТЕМАТИКА»

модуль "Геометрия"

11 класс (профильный уровень)

№п/п	Тема	Количество часов	В том числе
			уроков	Контрольные работы
1.	Многогранники	18	16	2
2.	Тела вращения.	15	14	1
3.	Объёмы многогранников	11	10	1
4.	Объёмы и поверхности тел вращения	10	9	1
	Повторение	14	12	1(2ч)
	Итого:	68	61	6(7ч)

Содержание тем курса «МАТЕМАТИКА»

модуль "Геометрия"

11 класс (профильный уровень)

Тема 1. Многогранники (18/ 16/2)

Двугранный угол. Трехгранный и многогранный углы. Многогранник. Призма. Изображение призмы и построение ее сечений. Прямая призма. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед.

Пирамида. Построение пирамиды и ее плоских сечений. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Правильные многогранники.

С.р.№1 по теме «Призма»

С.р.№2 по теме «Параллелепипед»

С.р.№3 по теме «Пирамида»

Контрольная работа №1 по теме «Призма»

Контрольная работа №2 по теме «Пирамида»

Демонстрационные пособия:

Модели: многогранники

Таблицы: «Призма», «Параллелепипед», «Пирамида»

Знать: понятие двугранного угла, понятие меры соответствующего ему линейного угла, понятие трехгранных и многогранных углов; понятие многогранника, его элементов; понятие призмы, ее элементов, определение прямой и правильной призмы, боковой и полной поверхности призмы, теорему о боковой поверхности прямой призмы; понятие прямоугольного параллелепипеда, теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда; понятие пирамиды, правильной пирамиды и подчиненные понятия, теорему о боковой поверхности правильной пирамиды, теорему о сечениях пирамиды, параллельных основанию, понятие усеченной пирамиды и ее элементов; понятие правильного многогранника и пять типов правильных многогранников.

Уметь: изображать многогранные углы, многогранники: призму и ее сечения, параллелепипед, пирамиду и ее плоские сечения, доказывать теоремы, применять определения, теоремы при решении задач.

Тема 2. Тела вращения (15 /14/1).

Цилиндр. Сечение цилиндра плоскостями. Вписанная и описанная призмы. Конус. Сечения конуса плоскостями Вписанная и описанная пирамиды.

Шар. Сечение шара плоскостью. Симметрия шара. Касательная плоскость к шару. Пересечение двух сфер. Вписанные и описанные многогранники. О понятии тела и его поверхности в геометрии.

С.р.№4 по теме «Цилиндр»

С.р.№5 по теме «Конус»

С.р.№6 по теме «Шар»

Контрольная работа №3 по теме «Тела вращения»

Демонстрационные пособия:

Модели: тела вращения

Таблицы: «Цилиндр», «Конус», «Шар»

Знать: определения цилиндра и связанных с ним понятий, основные виды сечений цилиндра, понятие вписанной и описанной призмы, понятие касательной к плоскости цилиндра; определения конуса и связанных с ним понятий, сечения конуса, понятия вписанных и описанных около конуса пирамид, понятие касательной к плоскости конуса; определения шара и сферы и связанных с ними понятий, сечение шара плоскостью, свойства симметрии шара, понятия касательных к шару плоскости и прямой, понятия многогранника, вписанного в шар, и многогранника, описанного около шара, понятие тела и его поверхности.

Уметь: выполнять построение тел вращения и их сечений, доказывать теоремы, применять свойства цилиндра, конуса и шара при решении задач.

Тема 3. Объёмы многогранников (11 /10 /1 )

Понятие объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда. Объём наклонного параллелепипеда. Объём призмы. Равновеликие тела. Объём пирамиды. Объем усеченной пирамиды. Объёмы подобных тел.

С.р.№7 по теме «Объём параллелепипеда»

С.р.№8 по теме « Объём пирамиды»

Контрольная работа №4 по теме «Объёмы многогранников»

Демонстрационные пособия:

Модели: многогранники

Таблицы: «Призма», «Параллелепипед», «Пирамида»

Знать: свойства объема, объем куба, прямоугольного параллелепипеда, наклонного параллелепипеда, призмы, пирамиды и усеченной пирамиды, объемы и площади поверхностей пространственных тел.

Уметь: выводить формулы для вычисления объема куба, прямоугольного параллелепипеда, наклонного параллелепипеда, призмы, произвольной пирамиды, применять формулы при решении задач.

Тема 4. Объёмы и поверхности тел вращения (10 /9/1).

Объём цилиндра. Объём конуса. Объем усеченного конуса. Объём шара. Объем шарового сегмента и сектора. Площадь боковой поверхности цилиндра . Площадь боковой поверхности конуса. Площадь сферы.

С.р.№9 по теме «Объём цилиндра»

С.р.№10 по теме «Объём конуса»

С.р.№11 по теме «Площадь боковой поверхности цилиндра»

С.р.№12 по теме «Площадь боковой поверхности конуса»

С.р.№13 по теме «Площадь сферы»

Контрольная работа №5 по теме «Объёмы и поверхности тел вращения»

Демонстрационные пособия:

Модели: тела вращения

Таблицы: «Цилиндр», «Конус», «Шар»

Знать: формулы объема цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента и сектора, общую формулу для объема тел вращения; формулы боковой поверхности цилиндра и конуса, площади сферы.

Уметь: выводить и применять формулы объема цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента и сектора, общую формулу для объема тел вращения, формулы боковой поверхности цилиндра и конуса, площади сферы при решении задач.

Повторение (14/12/1(2ч))

Логическое строение геометрии. Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность. Перпендикулярность в пространстве. Многогранники. Тела вращения. Объёмы многогранников и объёмы и поверхности тел вращения.

Итоговый тест

Знать: схему логического строения геометрии; определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостях в пространстве; многогранники, их элементы; тела вращения и их элементы; формулы для вычисления объёма многогранников, тел вращения и поверхности тел вращения.

Уметь: решать задачи

Контроль уровня обученности учащихся

Результаты обучения представлены в требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все выпускники, изучавшие курс математики по профильному уровню, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс средней (полной) школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни».

Основными методами проверки знаний и умений учащихся по математике являются устный опрос и письменные работы. К письменным формам контроля относятся: математические диктанты, практикумы и практические работы, тесты, самостоятельные и контрольные работы. Основные виды проверки знаний – текущая и итоговая. Текущая проверка проводится систематически из урока в урок, а итоговая – по завершении темы (раздела). По итогам 1 полугодия в 10 и 11 классах и итогам 10 класса – административная контрольная работа, во 2 полугодии 11 класса – административная контрольная работа по типу ЕГЭ и пробный экзамен по типу ЕГЭ.

Самостоятельные работы модуля «Алгебра и начала математического анализа» проводятся по текстам, составленным учителем и текстам из разработки Л.А.Александровой «Алгебра и начала анализа» 10 класс Самостоятельные работы М.: Мнемозина, 2013. – 127с.(4варианта); 11класс Самостоятельные работы М.: Мнемозина, 2009. – 100с.(4варианта). Контрольные работы проводятся по тексту из разработки В.И.Глизбург Алгебра и начала анализа. Контрольные работы 10 кл, Профильный уровень М.:, Мнемозина, 2005. – 62с. и Алгебра и начала анализа. Контрольные работы 11 кл, Профильный уровень М.:, Мнемозина, 2008. – 55с.

Самостоятельные работы модуля «Геометрия» проводятся по индивидуальным карточкам и текстам из пособия Макаровой О.В. Поурочное планирование по геометрии 10класс М:Издательство «Экзамен», 2009.-223с. и Ю.А.Киселевой Геометрия. 11 класс: Поурочные планы 1 часть Волгоград: Учитель, 2012.-211с. и Ю.А.Киселевой Геометрия. 11 класс: Поурочные планы 2 часть Волгоград: Учитель, 2012.-317с.

Контрольные работы проводятся по тексту из разработки Дудницына Ю.П. Контрольные работы по геометрии: 10 класс М:Издательство «Экзамен», 2007.-63с. и Контрольные работы по геометрии: 11 класс М:Издательство «Экзамен», 2007.-69с. Эти формы контроля предполагают разноуровневые задания с учетом индивидуальных способностей обучающихся, а также с учетом уровня обученности.

Литература и средства обучения.

Для учителя:

Планирование обязательных результатов обучения, Москва, Просвещение, 1989.

1. КИМ. Алгебра и начала анализа. 10 класс / Сост. А.Н.Рурукин. – М.: ВАКО, 2015.- 112с.

2. А.П.Ершова, В.В.Голобородько, Алгебра и начала анализа 10 – 11, Самостоятельные и контрольные работы. М.: Илекса 2005, - 208с.

3. Л.О.Денищева, Т.А. Корешкова Алгебра и начала анализа. 10–11 классы: тематические тесты и зачеты. – М.: Мнемозина, 2007 – 102с.

4. Л.А.Александрова Алгебра и начала анализа, самостоятельные работы 10 класс, М.: Мнемозина, 2013. – 127с.

5. Л.А.Александрова Алгебра и начала анализа, самостоятельные работы 11 класс, М.: Мнемозина, 2009. – 100с.

6. В.И.Глизбург. Алгебра и начала анализа. Контрольные работы 10 кл, Профильный уровень М.:, Мнемозина, 2005. – 62с.

7. В.И.Глизбург. Алгебра и начала анализа. Контрольные работы 11 кл, Профильный уровень М.:, Мнемозина, 2008. – 55с.

8. Ю.П. Дудницын, В.Л.Кронгауз Контрольные работы по геометрии: 10кл. М.: Издательство «Экзамен», 2007. – 63с.

9. Ю.П. Дудницын, В.Л.Кронгауз Контрольные работы по геометрии: 11кл. М.: Издательство «Экзамен», 2007. – 30с.

10. А.Н.Рурукин и др. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа 10-11кл. – М.: ВАКО, 2012.- 352с.

11. О.В.Макарова Поурочное планирование по геометрии: 10класс. М.: Издательство «Экзамен», 2009.-223с.

12. Т.Л.Афанасьева Геометрия 10 класс: Поурочные планы. - Волгоград: Учитель, 2000.-107с.

13. Т.Л.Афанасьева Геометрия 11 класс: Поурочные планы. - Волгоград: Учитель, 2003.-95с.

14. Ю.А.Киселева Геометрия 11 класс: Поурочные планы 1часть.- Волгоград: Учитель, 2012.-211с.

15. Ю.А.Киселева Геометрия 11 класс: Поурочные планы 2часть.- Волгоград: Учитель, 2012.-317с.

16. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В двух частях Часть 1 Учебник (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2010 . – 424с.

17. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В двух частях Часть 1 Учебник (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2009 . – 287с.

18. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2ч. Ч 2. Задачник (профильный уровень) / [А.Г.Мордкович и др. ] М.: Мнемозина, 2010, - 343с.

19. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч 2. Задачник (профильный уровень) / [А.Г.Мордкович и др. ] М.: Мнемозина, 2009, - 264с.

20. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 10 – 11кл.общеобразовательных учреждений . М.: Просвещение, 2012 – 175с.

21. Д.А.Мальцев, А.А.Мальцев, Л.И.Мальцева Математика, ЕГЭ 2014. Книга 1 М.: Народное образование, 2014.-320с.

22. Д.А.Мальцев, А.А.Мальцев, Л.И.Мальцева Математика, ЕГЭ 2014. Книга 2 М.: Народное образование, 2014.-272с.

23. Математика. ЕГЭ-2014. 10–11 классы: тематические тесты: в 2 ч. / под ред. Ф. Ф. Лысенко. – Ростов н/Д.: Легион, 2014.- 144с.

24. Математика. ЕГЭ-2014. 10–11 классы: базовый уровень / под ред. Ф. Ф. Лысенко. – Ростов н/Д.: Легион, 2014.- 176с.

Для учащихся:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В двух частях Часть 1 Учебник (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2010 . – 424с.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В двух частях Часть 1 Учебник (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2009 . – 287с.

3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2ч. Ч 2. Задачник (профильный уровень) / [А.Г.Мордкович и др. ] М.: Мнемозина, 2010, - 343с.

4. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч 2. Задачник (профильный уровень) / [А.Г.Мордкович и др. ] М.: Мнемозина, 2009, - 264с.

5. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 10 – 11кл. общеобразовательных учреждений . М.: Просвещение, 2012 – 175с.

6. Д.А.Мальцев, А.А.Мальцев, Л.И.Мальцева Математика, ЕГЭ 2014. Книга 1 М.: Народное образование, 2014.-320с.

7. Д.А.Мальцев, А.А.Мальцев, Л.И.Мальцева Математика, ЕГЭ 2014. Книга 2 М.: Народное образование, 2014.-272с.

8. Математика. ЕГЭ-2014. 10–11 классы: тематические тесты: в 2 ч. / под ред. Ф. Ф. Лысенко. – Ростов н/Д.: Легион, 2014.- 144с.

9. Математика. ЕГЭ-2014. 10–11 классы: базовый уровень / под ред. Ф. Ф. Лысенко. – Ростов н/Д.: Легион, 2014.- 176с.

10. Сайты «Алекс Ларин», Решу ЕГЭ», «ФИПИ, Открытый банк заданий»

Критерии и нормы оценки знаний, умений и навыков обучающихся по математике Оценка письменных контрольных работ.

Ответ оценивается отметкой «5», если:

• работа выполнена полностью;

• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии учащегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные учащемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

2. Оценка устных ответов.

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

• полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

• изложил материал грамотным языком, точно используя математическую терминологию и символику, в определенной логической последовательности;

• правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

• показал умение иллюстрировать теорию конкретными примерами, применять ее в новой ситуации при выполнении практического задания;

• продемонстрировал знание теории ранее изученных сопутствующих тем, сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;

• отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов учителя;

• возможны одна – две неточности при освещение второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил после замечания учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

• в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившее математическое содержание ответа;

• допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные после замечания учителя;

• допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные после замечания учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

• неполно раскрыто содержание материала (содержание изложено фрагментарно, не всегда последовательно), но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для усвоения программного материала;

• имелись затруднения или допущены ошибки в определении математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

• ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

• при достаточном знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

• не раскрыто основное содержание учебного материала;

• обнаружено незнание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

• допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

ПРИЛОЖЕНИЯ

к рабочей программе «Алгебра и начала анализа – 10 класс»

(профильный уровень) авторы учебника Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Самостоятельные работы

10 класс

модуль «Алгебра и начала математического анализа»

С.р.№1 по теме « Свойства и признаки делимости натуральных чисел »

1). Число 14а + 11в не делится на 5, докажите, что 9а+в не делится на 5.

2). Найти последнюю цифру числа 2¹⁰⁴⁷, 3¹⁶⁴¹

3). Найти НОД и НОК чисел 154 и 210.

4). Найти остаток от деления на 3 числа 1234 32147

5). Сколько целых чисел заключено между числами и ?

6). Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби

7). Запишите число в виде обыкновенной несократимой дроби 12,0 (006).

8). Какое из данных чисел является иррациональным:

2, (2345), , ?

С.р.№2 по теме «Модуль действительного числа »

1). Решить уравнение

а)│х+4│=5, б)│х-4│=│5х│, в)│х-14│=8+2х

2). Решить неравенство

│х+4│

3). Найти модуль числа

4). Построить график функции

С.р.№16 по теме «Арифметические действия над

комплексными числами »

1). Вычислить:

2). Решить уравнение

3). Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам z₁=-5-4ί, z₂=1+8ί.

4). Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел Ζ, удовлетворяющих заданному условию:

а) действительная часть равна -2

б) мнимая часть равна 3 или 4

в). Re z = Im z

г). Re z = (Im z)²

5). Найти модуль комплексного числа

6 - 8ί, ί(2+ί)

6). Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел Ζ, удовлетворяющих заданному условию

а). │z│=3 б). │z+2ί│=2

7). Число Ζ задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму

8). Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме

9). Решить уравнение

10). Вычислить

11). Изобразить на комплексной плоскости число Ζ и множество

если

12). Вычислить

,

С.р.№24 по теме « Решение комбинаторных задач »

1. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения цифр допустимы).

а) сколько всего можно составить чисел?

б) сколько всего можно составить чисел больших 50?

в) сколько всего можно составить нечетных чисел?

г) сколько всего можно составить нечетных чисел, меньших 55?

1. Вычислите

1. Сколькими нулями оканчивается число 10!, 15!

4. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой.

5. Вычислите

6. Решите уравнение

7. Выпишите треугольник Паскаля до седьмой строки включительно.

Найдите сумму всех чисел в третьей строке треугольника Паскаля.

1. Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что оно:

а) делится на 5,

б) не делится на 29.

1. В темном ящике 8 белых и 7 черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. Найдите вероятность того, что

а) все шары белые;

б) имеется, как минимум, три белых шара;

в) имеется, как минимум, два черных шара;

г) есть хотя бы один белый шар.