РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ПУД.01 МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 13.02.11. «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)

Рассмотрено

на заседании ПЦК

Протокол № 1 от 28.08.2020г.

Утверждаю

директор ГАПОУ «СХТ»

Н.Ю. Гайструк

Приказ от 31.08.2020г.

№ 01-12/140

стр.

1. ПАСПОРТ рабочей ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ

5

1. СТРУКТУРА и содержание ДИСЦИПЛИНЫ

19

1. условия реализации программы дисциплины

29

1. Контроль и оценка результатов Освоения дисциплины

30

Углубленный уровень

«Системно-теоретические результаты»

Раздел

I. Выпускник научится

II. Выпускник получит возможность научиться

Цели освоения предмета

Для успешного продолжения образования

по специальностям, связанным с прикладным использованием математики

Для обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук

Требования к результатам

Элементы теории множеств и математической логики

• Свободно оперировать¹ понятиями: конечное множество, элемент множества, подмножество, пересечение, объединение и разность множеств, числовые множества на координатной прямой, отрезок, интервал, полуинтервал, промежуток с выколотой точкой, графическое представление множеств на координатной плоскости;

• задавать множества перечислением и характеристическим свойством;

• оперировать понятиями: утверждение, отрицание утверждения, истинные и ложные утверждения, причина, следствие, частный случай общего утверждения, контрпример;

• проверять принадлежность элемента множеству;

• находить пересечение и объединение множеств, в том числе представленных графически на числовой прямой и на координатной плоскости;

• проводить доказательные рассуждения для обоснования истинности утверждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать числовые множества на координатной прямой и на координатной плоскости для описания реальных процессов и явлений;

• проводить доказательные рассуждения в ситуациях повседневной жизни, при решении задач из других предметов

• Достижение результатов раздела I;

• оперировать понятием определения, основными видами определений, основными видами теорем;

• понимать суть косвенного доказательства;

• оперировать понятиями счетного и несчетного множества;

• применять метод математической индукции для проведения рассуждений и доказательств и при решении задач.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать теоретико-множественный язык и язык логики для описания реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов

Числа и выражения

• Свободно оперировать понятиями: натуральное число, множество натуральных чисел, целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число, множество рациональных чисел, иррациональное число, корень степени n, действительное число, множество действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;

• понимать и объяснять разницу между позиционной и непозиционной системами записи чисел;

• переводить числа из одной системы записи (системы счисления) в другую;

• доказывать и использовать признаки делимости суммы и произведения при выполнении вычислений и решении задач;

• выполнять округление рациональных и иррациональных чисел с заданной точностью;

• сравнивать действительные числа разными способами;

• упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби, числа, записанные с использованием арифметического квадратного корня, корней степени больше 2;

• находить НОД и НОК разными способами и использовать их при решении задач;

• выполнять вычисления и преобразования выражений, содержащих действительные числа, в том числе корни натуральных степеней;

• выполнять стандартные тождественные преобразования тригонометрических, логарифмических, степенных, иррациональных выражений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выполнять и объяснять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений, используя разные способы сравнений;

• записывать, сравнивать, округлять числовые данные реальных величин с использованием разных систем измерения;

• составлять и оценивать разными способами числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов

• Достижение результатов раздела I;

• свободно оперировать числовыми множествами при решении задач;

• понимать причины и основные идеи расширения числовых множеств;

• владеть основными понятиями теории делимости при решении стандартных задач

• иметь базовые представления о множестве комплексных чисел;

• свободно выполнять тождественные преобразования тригонометрических, логарифмических, степенных выражений;

• владеть формулой бинома Ньютона;

• применять при решении задач теорему о линейном представлении НОД;

• применять при решении задач Китайскую теорему об остатках;

• применять при решении задач Малую теорему Ферма;

• уметь выполнять запись числа в позиционной системе счисления;

• применять при решении задач теоретико-числовые функции: число и сумма делителей, функцию Эйлера;

• применять при решении задач цепные дроби;

• применять при решении задач многочлены с действительными и целыми коэффициентами;

• владеть понятиями приводимый и неприводимый многочлен и применять их при решении задач;

• применять при решении задач Основную теорему алгебры;

• применять при решении задач простейшие функции комплексной переменной как геометрические преобразования

Уравнения и неравенства

• Свободно оперировать понятиями: уравнение, неравенство, равносильные уравнения и неравенства, уравнение, являющееся следствием другого уравнения, уравнения, равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений;

• решать разные виды уравнений и неравенств и их систем, в том числе некоторые уравнения 3-й и 4-й степеней, дробно-рациональные и иррациональные;

• овладеть основными типами показательных, логарифмических, иррациональных, степенных уравнений и неравенств и стандартными методами их решений и применять их при решении задач;

• применять теорему Безу к решению уравнений;

• применять теорему Виета для решения некоторых уравнений степени выше второй;

• понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений и уметь их доказывать;

• владеть методами решения уравнений, неравенств и их систем, уметь выбирать метод решения и обосновывать свой выбор;

• использовать метод интервалов для решения неравенств, в том числе дробно-рациональных и включающих в себя иррациональные выражения;

• решать алгебраические уравнения и неравенства и их системы с параметрами алгебраическим и графическим методами;

• владеть разными методами доказательства неравенств;

• решать уравнения в целых числах;

• изображать множества на плоскости, задаваемые уравнениями, неравенствами и их системами;

• свободно использовать тождественные преобразования при решении уравнений и систем уравнений

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• составлять и решать уравнения, неравенства, их системы при решении задач других учебных предметов;

• выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении различных уравнений, неравенств и их систем при решении задач других учебных предметов;

• составлять и решать уравнения и неравенства с параметрами при решении задач других учебных предметов;

• составлять уравнение, неравенство или их систему, описывающие реальную ситуацию или прикладную задачу, интерпретировать полученные результаты;

• использовать программные средства при решении отдельных классов уравнений и неравенств

• Достижение результатов раздела I;

• свободно определять тип и выбирать метод решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, иррациональных уравнений и неравенств, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем;

• свободно решать системы линейных уравнений;

• решать основные типы уравнений и неравенств с параметрами;

• применять при решении задач неравенства Коши — Буняковского, Бернулли;

• иметь представление о неравенствах между средними степенными

Функции

• Владеть понятиями: зависимость величин, функция, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, график зависимости, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание на числовом промежутке, убывание на числовом промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции на числовом промежутке, периодическая функция, период, четная и нечетная функции; уметь применять эти понятия при решении задач;

• владеть понятием степенная функция; строить ее график и уметь применять свойства степенной функции при решении задач;

• владеть понятиями показательная функция, экспонента; строить их графики и уметь применять свойства показательной функции при решении задач;

• владеть понятием логарифмическая функция; строить ее график и уметь применять свойства логарифмической функции при решении задач;

• владеть понятиями тригонометрические функции; строить их графики и уметь применять свойства тригонометрических функций при решении задач;

• владеть понятием обратная функция; применять это понятие при решении задач;

• применять при решении задач свойства функций: четность, периодичность, ограниченность;

• применять при решении задач преобразования графиков функций;

• владеть понятиями числовая последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессия;

• применять при решении задач свойства и признаки арифметической и геометрической прогрессий.

В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:

• определять по графикам и использовать для решения прикладных задач свойства реальных процессов и зависимостей (наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, асимптоты, точки перегиба, период и т.п.);

• интерпретировать свойства в контексте конкретной практической ситуации;.

• определять по графикам простейшие характеристики периодических процессов в биологии, экономике, музыке, радиосвязи и др. (амплитуда, период и т.п.)

• Достижение результатов раздела I;

• владеть понятием асимптоты и уметь его применять при решении задач;

• применять методы решения простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядков

Элементы математического анализа

• Владеть понятием бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и уметь применять его при решении задач;

• применять для решения задач теорию пределов;

• владеть понятиями бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности и уметь сравнивать бесконечно большие и бесконечно малые последовательности;

• владеть понятиями: производная функции в точке, производная функции;

• вычислять производные элементарных функций и их комбинаций;

• исследовать функции на монотонность и экстремумы;

• строить графики и применять к решению задач, в том числе с параметром;

• владеть понятием касательная к графику функции и уметь применять его при решении задач;

• владеть понятиями первообразная функция, определенный интеграл;

• применять теорему Ньютона–Лейбница и ее следствия для решения задач.

В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:

• решать прикладные задачи из биологии, физики, химии, экономики и других предметов, связанные с исследованием характеристик процессов;

• интерпретировать полученные результаты

• Достижение результатов раздела I;

• свободно владеть стандартным аппаратом математического анализа для вычисления производных функции одной переменной;

• свободно применять аппарат математического анализа для исследования функций и построения графиков, в том числе исследования на выпуклость;

• оперировать понятием первообразной функции для решения задач;

• овладеть основными сведениями об интеграле Ньютона–Лейбница и его простейших применениях;

• оперировать в стандартных ситуациях производными высших порядков;

• уметь применять при решении задач свойства непрерывных функций;

• уметь применять при решении задач теоремы Вейерштрасса;

• уметь выполнять приближенные вычисления (методы решения уравнений, вычисления определенного интеграла);

• уметь применять приложение производной и определенного интеграла к решению задач естествознания;

• владеть понятиями вторая производная, выпуклость графика функции и уметь исследовать функцию на выпуклость

Статистика и теория вероятностей, логика и комбинаторика

• Оперировать основными описательными характеристиками числового набора, понятием генеральная совокупность и выборкой из нее;

• оперировать понятиями: частота и вероятность события, сумма и произведение вероятностей, вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

• владеть основными понятиями комбинаторики и уметь их применять при решении задач;

• иметь представление об основах теории вероятностей;

• иметь представление о дискретных и непрерывных случайных величинах и распределениях, о независимости случайных величин;

• иметь представление о математическом ожидании и дисперсии случайных величин;

• иметь представление о совместных распределениях случайных величин;

• понимать суть закона больших чисел и выборочного метода измерения вероятностей;

• иметь представление о нормальном распределении и примерах нормально распределенных случайных величин;

• иметь представление о корреляции случайных величин.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• вычислять или оценивать вероятности событий в реальной жизни;

• выбирать методы подходящего представления и обработки данных

• Достижение результатов раздела I;

• иметь представление о центральной предельной теореме;

• иметь представление о выборочном коэффициенте корреляции и линейной регрессии;

• иметь представление о статистических гипотезах и проверке статистической гипотезы, о статистике критерия и ее уровне значимости;

• иметь представление о связи эмпирических и теоретических распределений;

• иметь представление о кодировании, двоичной записи, двоичном дереве;

• владеть основными понятиями теории графов (граф, вершина, ребро, степень вершины, путь в графе) и уметь применять их при решении задач;

• иметь представление о деревьях и уметь применять при решении задач;

• владеть понятием связность и уметь применять компоненты связности при решении задач;

• уметь осуществлять пути по ребрам, обходы ребер и вершин графа;

• иметь представление об эйлеровом и гамильтоновом пути, иметь представление о трудности задачи нахождения гамильтонова пути;

• владеть понятиями конечные и счетные множества и уметь их применять при решении задач;

• уметь применять метод математической индукции;

• уметь применять принцип Дирихле при решении задач

Текстовые задачи

• Решать разные задачи повышенной трудности;

• анализировать условие задачи, выбирать оптимальный метод решения задачи, рассматривая различные методы;

• строить модель решения задачи, проводить доказательные рассуждения при решении задачи;

• решать задачи, требующие перебора вариантов, проверки условий, выбора оптимального результата;

• анализировать и интерпретировать полученные решения в контексте условия задачи, выбирать решения, не противоречащие контексту;

• переводить при решении задачи информацию из одной формы записи в другую, используя при необходимости схемы, таблицы, графики, диаграммы.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• решать практические задачи и задачи из других предметов

• Достижение результатов раздела I

Геометрия

• Владеть геометрическими понятиями при решении задач и проведении математических рассуждений;

• самостоятельно формулировать определения геометрических фигур, выдвигать гипотезы о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывать или опровергать их, обобщать или конкретизировать результаты на новых классах фигур, проводить в несложных случаях классификацию фигур по различным основаниям;

• исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную на чертежах;

• решать задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из условия, выполнять необходимые для решения задачи дополнительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для решения задач;

• уметь формулировать и доказывать геометрические утверждения;

• владеть понятиями стереометрии: призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр;

• иметь представления об аксиомах стереометрии и следствиях из них и уметь применять их при решении задач;

• уметь строить сечения многогранников с использованием различных методов, в том числе и метода следов;

• иметь представление о скрещивающихся прямых в пространстве и уметь находить угол и расстояние между ними;

• применять теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;

• уметь применять параллельное проектирование для изображения фигур;

• уметь применять перпендикулярности прямой и плоскости при решении задач;

• владеть понятиями ортогональное проектирование, наклонные и их проекции, уметь применять теорему о трех перпендикулярах при решении задач;

• владеть понятиями расстояние между фигурами в пространстве, общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и уметь применять их при решении задач;

• владеть понятием угол между прямой и плоскостью и уметь применять его при решении задач;

• владеть понятиями двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярные плоскости и уметь применять их при решении задач;

• владеть понятиями призма, параллелепипед и применять свойства параллелепипеда при решении задач;

• владеть понятием прямоугольный параллелепипед и применять его при решении задач;

• владеть понятиями пирамида, виды пирамид, элементы правильной пирамиды и уметь применять их при решении задач;

• иметь представление о теореме Эйлера, правильных многогранниках;

• владеть понятием площади поверхностей многогранников и уметь применять его при решении задач;

• владеть понятиями тела вращения (цилиндр, конус, шар и сфера), их сечения и уметь применять их при решении задач;

• владеть понятиями касательные прямые и плоскости и уметь применять из при решении задач;

• иметь представления о вписанных и описанных сферах и уметь применять их при решении задач;

• владеть понятиями объем, объемы многогранников, тел вращения и применять их при решении задач;

• иметь представление о развертке цилиндра и конуса, площади поверхности цилиндра и конуса, уметь применять их при решении задач;

• иметь представление о площади сферы и уметь применять его при решении задач;

• уметь решать задачи на комбинации многогранников и тел вращения;

• иметь представление о подобии в пространстве и уметь решать задачи на отношение объемов и площадей поверхностей подобных фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• составлять с использованием свойств геометрических фигур математические модели для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин, исследовать полученные модели и интерпретировать результат

• Иметь представление об аксиоматическом методе;

• владеть понятием геометрические места точек в пространстве и уметь применять их для решения задач;

• уметь применять для решения задач свойства плоских и двугранных углов, трехгранного угла, теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла;

• владеть понятием перпендикулярное сечение призмы и уметь применять его при решении задач;

• иметь представление о двойственности правильных многогранников;

• владеть понятиями центральное и параллельное проектирование и применять их при построении сечений многогранников методом проекций;

• иметь представление о развертке многогранника и кратчайшем пути на поверхности многогранника;

• иметь представление о конических сечениях;

• иметь представление о касающихся сферах и комбинации тел вращения и уметь применять их при решении задач;

• применять при решении задач формулу расстояния от точки до плоскости;

• владеть разными способами задания прямой уравнениями и уметь применять при решении задач;

• применять при решении задач и доказательстве теорем векторный метод и метод координат;

• иметь представление об аксиомах объема, применять формулы объемов прямоугольного параллелепипеда, призмы и пирамиды, тетраэдра при решении задач;

• применять теоремы об отношениях объемов при решении задач;

• применять интеграл для вычисления объемов и поверхностей тел вращения, вычисления площади сферического пояса и объема шарового слоя;

• иметь представление о движениях в пространстве: параллельном переносе, симметрии относительно плоскости, центральной симметрии, повороте относительно прямой, винтовой симметрии, уметь применять их при решении задач;

• иметь представление о площади ортогональной проекции;

• иметь представление о трехгранном и многогранном угле и применять свойства плоских углов многогранного угла при решении задач;

• иметь представления о преобразовании подобия, гомотетии и уметь применять их при решении задач;

• уметь решать задачи на плоскости методами стереометрии;

• уметь применять формулы объемов при решении задач

Векторы и координаты в пространстве

• Владеть понятиями векторы и их координаты;

• уметь выполнять операции над векторами;

• использовать скалярное произведение векторов при решении задач;

• применять уравнение плоскости, формулу расстояния между точками, уравнение сферы при решении задач;

• применять векторы и метод координат в пространстве при решении задач

• Достижение результатов раздела I;

• находить объем параллелепипеда и тетраэдра, заданных координатами своих вершин;

• задавать прямую в пространстве;

• находить расстояние от точки до плоскости в системе координат;

• находить расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными в системе координат

История математики

• Иметь представление о вкладе выдающихся математиков в развитие науки;

• понимать роль математики в развитии России

Достижение результатов раздела I

Методы математики

• Использовать основные методы доказательства, проводить доказательство и выполнять опровержение;

• применять основные методы решения математических задач;

• на основе математических закономерностей в природе характеризовать красоту и совершенство окружающего мира и произведений искусства;

• применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач;

• пользоваться прикладными программами и программами символьных вычислений для исследования математических объектов

• Достижение результатов раздела I;

• применять математические знания к исследованию окружающего мира (моделирование физических процессов, задачи экономики)

Вид учебной работы

Объем часов

Объем образовательной программы

396

Объем работы обучающегося во взаимодействии с преподавателем, в том числе:

260

уроки

154

лекции

10

семинары

-

лабораторные занятия

-

практические занятия

70

контрольные работы

20

консультации

6

курсовая работа (проект)

-

Самостоятельная работа обучающегося (всего)

-

Промежуточная аттестация в форме экзамена

36

Наименование

разделов и тем

Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы, самостоятельная работа обучающихся

Объем часов

1

2

3

Раздел 1.

Развитие понятия о числе

10

Тема 1.1. Целые, рациональные числа

Содержание учебного материала

Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Действительные числа Решение задач с целочисленными неизвестными.

2

Тема 1.2. Понятие комплексных чисел

Содержание учебного материала

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа.

2

ПЗ №1. Действия над комплексными числами

Практические занятия

Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

2

ПЗ № 2. Решение прикладных задач

Содержание учебного материала

Решение задач на движение и совместную работу, смеси и сплавы с помощью линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений и их систем.

2

ПЗ № 3. Контрольная работа по теме «Действительные и комплексные числа»

Контрольная работа по теме «Действительные и комплексные числа»

2

Раздел 2.

Степени, корни, логарифмы

18

Тема 2.1. Степень с рациональным показателем и её свойства

Содержание учебного материала

Степень с рациональным показателем и её свойства

2

ПЗ № 4. Степень с действительным показателем и её свойства

Практические занятия

Понятие о степени с действительным показателем Свойства степени с действительным показателем.

2

Тема 2.2. Корень натуральной степени из числа и его свойства

Содержание учебного материала

Корень степени n1 и его свойства

2

ПЗ № 5. Корень натуральной степени из числа и его свойства

Практические занятия

Корень степени n1 и его свойства

2

Тема 2.3. Логарифмы, их виды и свойства.

Содержание учебного материала

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.

2

ПЗ № 6. Логарифмы, их виды и свойства.

Практические занятия

Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию.

2

ПЗ № 7. Преобразование алгебраических выражений

Практические занятия

Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена.

2

ПЗ № 8. Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных выражений

Практические занятия

Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

2

ПЗ № 9. Контрольная работа по теме «Степени, корни, логарифмы»

Контрольная работа по теме «Степени, корни, логарифмы»

2

Раздел 3.

Прямые и плоскости в пространстве

14

Тема 3.1. Параллельность прямых и плоскостей.

Содержание учебного материала

Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Понятие об аксиоматическом способе построения геометрии. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства. Параллельность плоскостей, признаки и свойства.

2

Тема 3.2. Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Содержание учебного материала

2

Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Перпендикуляр и наклонная. Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства.

Тема 3.3. Теорема о трех перпендикулярах.

Содержание учебного материала

Теорема о трех перпендикулярах. Расстояния от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

2

Тема 3.4. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол.

Содержание учебного материала

2

Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

Тема 3.5. Геометрическое преобразование пространства (параллельный перенос, симметрия относительно плоскости)

Содержание учебного материала

2

Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Примеры симметрий в окружающем мире.

ПЗ № 10. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур.

Практические занятия

Параллельное проектирование. Ортогональное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Центральное проектирование. Изображение пространственных фигур

2

ПЗ № 11. Самостоятельная работа по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

Практические занятия

Самостоятельная работа по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

2

Раздел 4.

Теория множеств

4

Тема 4.1. Множества

Множества (числовые, геометрических фигур). Характеристическое свойство, элемент множества, пустое, конечное, бесконечное множество. Способы задания множеств Подмножество. Отношения принадлежности, включения, равенства. Операции над множествами. Круги Эйлера. Конечные и бесконечные, счетные и несчетные множества.

Истинные и ложные высказывания, операции над высказываниями. Алгебра высказываний. Связь высказываний с множествами. Кванторы существования и всеобщности.

Законы логики. Основные логические правила. Решение логических задач с использованием кругов Эйлера, основных логических правил.

Умозаключения. Обоснования и доказательство в математике. Теоремы. Виды математических утверждений. Виды доказательств. Математическая индукция. Утверждения: обратное данному, противоположное, обратное противоположному данному. Признак и свойство, необходимые и достаточные условия.

2

Тема 4.2. Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики. Остатки и сравнения. Алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках. Малая теорема Ферма. q-ичные системы счисления. Функция Эйлера, число и сумма делителей натурального числа.

2

Раздел 5.

Элементы комбинаторики

10

Тема 5.1. Основные понятия комбинаторики.

Содержание учебного материала

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества.

2

ПЗ № 12. Решение задач на подсчёт размещений, перестановок, сочетаний.

Практические занятия

Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач.

2

Тема 5.2. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Содержание учебного материала

Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целым коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Треугольник Паскаля. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.

2

Тема 5.3. Диофантовы уравнения

Содержание учебного материала

Диофантовы уравнения. Цепные дроби. Теорема Ферма о сумме квадратов.

2

ПЗ № 13. Самостоятельная работа по теме «Элементы комбинаторики»

Практические занятия

Самостоятельная работа по теме «Элементы комбинаторики»

2

Раздел 6.

Координаты и векторы

16

Тема 6.1. Прямоугольная система координат в пространстве.

Содержание учебного материала

Декартовы координаты в пространстве.

2

Тема 6.2. Формула расстояния между двумя точками.

Содержание учебного материала

Формула расстояния между двумя точками.

2

Тема 6.3. Уравнение сферы.

Практические занятия

Уравнение сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости.

2

Тема 6.4. Векторы и действия над ними.

Содержание учебного материала

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора.

2

ПЗ № 14. Векторы и действия над ними.

Практические занятия

Векторы и действия над ними.

2

Тема 6.5. Разложение вектора. Проекция вектора на ось.

Содержание учебного материала

Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам. Проекция вектора на ось.

2

ПЗ №15. Скалярное произведение векторов.

Содержание учебного материала

Скалярное произведение векторов.

2

ПЗ № 16. Контрольная работа по теме «Векторы».

Контрольная работа по теме «Векторы».

2

Раздел 7.

Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные и логарифмические функции.

20

Тема 7.1. Функция, область определения и множество значений. Функции, заданные различными способами.

Содержание учебного материала

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами.

2

ПЗ № 17. Свойства функций.

Практические занятия

Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация.

2

Тема 7.2 Обратные функции и их графики.

Содержание учебного материала

Обратные функции и их графики.

2

Тема 7.3. Преобразования графиков функции.

Содержание учебного материала

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат.

2

ПЗ № 18. Преобразования графиков функции.

Практические занятия

Преобразования графиков: симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

2

Тема 7.4. Степенная функция, её свойства и графики.

Содержание учебного материала

Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций.

2

Тема 7.5. Показательная функция, её графики и свойства.

Содержание учебного материала

Показательная функция (экспонента), ее свойства и график.

2

Тема 7.6. Логарифмическая функция, её графики и свойства.

Содержание учебного материала

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

2

Тема 7.7. Применение свойств показательной и логарифмической функций при решении задач.

Содержание учебного материала

Показательная функция (экспонента), ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства и график.

2

ПЗ № 19. Контрольная работа по теме «Функции, их свойства и графики».

Контрольная работа по теме «Функции, их свойства и графики».

2

Раздел 8.

Основы тригонометрии

42

Тема 8.1. Радианная мера угла.

Содержание учебного материала

Радианная мера угла.

2

Тема 8.2. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Содержание учебного материала

Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла.

2

ПЗ № 20. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Практические занятия

Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

2

Тема 8.3. Основные тригонометрические тождества.

Содержание учебного материала

Основные тригонометрические тождества.

2

ПЗ № 21. Основные тригонометрические тождества.

Практические занятия

Основные тригонометрические тождества.

2

Тема 8.4. Формулы приведения.

Содержание учебного материала

Формулы приведения.

2

ПЗ № 22. Формулы приведения.

Практические занятия

Формулы приведения.

2

Тема 8.5. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.

Содержание учебного материала

Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.

2

Тема 6.6. Синус и косинус двойного угла.

Содержание учебного материала

Синус и косинус двойного угла.

2

Тема 8.7. Формулы двойного угла при решении задач.

Содержание учебного материала

Синус и косинус двойного угла.

2

ПЗ № 23. Преобразование простейших тригонометрических выражений.

Практические занятия

Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразование простейших тригонометрических выражений.

2

Тема 8.8. Функции у = Sin x и

y = Cos x, их свойства и графики.

Содержание учебного материала

Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период.

2

Тема 8.9. Функции у = tg x и

y = ctg x, их свойства и графики.

Содержание учебного материала

Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период.

2

Тема 8.10. Обратные тригонометрические функции и их графики.

Содержание учебного материала

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа. Обратные тригонометрические функции и их графики.

2

Тема 8.11. Простейшие тригонометрические уравнения.

Содержание учебного материала

Простейшие тригонометрические уравнения.

2

ПЗ № 24.Простейшие тригонометрические уравнения.

Практические занятия

Простейшие тригонометрические уравнения.

2

Тема 8.12. Решение тригонометрических уравнений

Содержание учебного материала

Решение тригонометрических уравнений.

2

ПЗ № 25. Решение тригонометрических уравнений

Практические занятия

Решение тригонометрических уравнений.

2

Тема 8.13. Решение однородных тригонометрических уравнений

Содержание учебного материала

Решение однородных тригонометрических уравнений.

2

Тема 8.14. Решение тригонометрических неравенств.

Содержание учебного материала

Простейшие тригонометрические неравенства

2

ПЗ № 26. Контрольная работа по теме «Основы тригонометрии»

Контрольная работа по теме «Основы тригонометрии»

2

Раздел 9.

Геометрия на плоскости

6

Тема 9.1. Треугольник, виды, свойства, формулы.

Содержание учебного материала

Свойство биссектрисы угла треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей.

2

Тема 9.2. Окружность. Вписанные и описанные многоугольники.

Содержание учебного материала

Окружность, хорды, секущие. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма. Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников.

2

Тема 9.3. Геометрические места точек.

Содержание учебного материала

Геометрические места точек. Решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических мест. Теорема Чевы и теорема Менелая. Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек. Неразрешимость классических задач на построение.

2

Раздел 10.

Многогранники

18

Тема 10.1. Многогранники, их основные элементы и виды. Призма.

Содержание учебного материала

Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма.

2

ПЗ № 27. Призма, её основные элементы и виды.

Практические занятия

Призма, её основные элементы и виды.

2

Тема 10.2. Параллелепипед, его основные элементы и виды.

Содержание учебного материала

Параллелепипед, куб, их основные элементы и виды.

2

ПЗ № 28. Параллелепипед, его основные элементы и виды.

Практические занятия

Параллелепипед, куб, их основные элементы и виды.

2

Тема 10.3. Пирамида, её основные элементы и виды.

Содержание учебного материала

Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

2

ПЗ № 29. Пирамида, её основные элементы и виды.

Практические занятия

Пирамида, её основные элементы и виды.

2

Тема 10.4. Сечения куба, призмы, пирамиды.

Содержание учебного материала

Сечения многогранников. Построение сечений. Симметрии в призме и пирамиде.

2

Тема 10.5. Правильные многогранники.

Содержание учебного материала

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Теорема Эйлера.

2

ПЗ № 30. Самостоятельная работа по теме «Многогранники».

Практические занятия

Самостоятельная работа по теме «Многогранники».

2

Раздел 11.

Тела и поверхности вращения

12

Тема 11.1. Цилиндр, его основные элементы, сечения и развёртка.

Содержание учебного материала

Тела и поверхности вращения. Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию. Цилиндрические поверхности.

2

ПЗ № 31. Цилиндр, его основные элементы, сечения и развёртка.

Практические занятия

Цилиндр, его основные элементы, сечения и развёртка.

2

Тема 11.2. Конус, его основные элементы, сечения и развёртка.

Содержание учебного материала

Тела и поверхности вращения. Конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию. Эллипс, гипербола, парабола как сечения конуса. Цилиндрические и конические поверхности. Конические поверхности.

2

ПЗ № 32. Конус, его основные элементы, сечения и развёртка.

Практические занятия

Конус, его основные элементы, сечения и развёртка.

2

Тема 11.3. Шар и сфера, их основные элементы и сечения.

Содержание учебного материала

Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере. Сфера, вписанная в многогранник, сфера, описанная около многогранника.

2

ПЗ № 33. Контрольная работа по теме «Тела и поверхности вращения».

Контрольная работа по теме «Тела и поверхности вращения».

2

Раздел 12.

Дифференциальное исчисление

24

Тема 12.1. Суммы и ряды.

Содержание учебного материала

2

Суммы и ряды, методы суммирования и признаки сходимости.

Тема 12.2. Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Суммирование последовательностей.

Содержание учебного материала

2

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах.

Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты.

Тема 12.3. Производная функции. Производные основных элементарных функций, формулы дифференцирования.

Содержание учебного материала

2

Понятие о производной функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций.

ПЗ.№34.Вычисление производных

Практические занятия

Вычисление производных

2

Тема 12.4. Физический смысл производной функции.

Содержание учебного материала

Физический смысл производной функции.

2

Тема 12.5. Геометрический смысл производной функции.

Содержание учебного материала

2

Геометрический смысл производной функции. Уравнение касательной к графику функции.

Тема 12.6. Исследование функции на монотонность и экстремум с помощью первой производной.

Содержание учебного материала

2

Исследование функции на монотонность и экстремум с помощью первой производной.

Тема 12.7. Исследование функции на выпуклость и вогнутость с помощью второй производной.

Содержание учебного материала

2

Вторая производная и ее физический смысл. Исследование функции на выпуклость и вогнутость с помощью второй производной.

Тема 12.8. Исследование функций и построение графиков.

Содержание учебного материала

Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

2

ПЗ №35 Применение производных для решения прикладных задач.

Практические занятия

Использование производных при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком

2

Тема 12.9. Дифференциал функции и его физический смысл.

Содержание учебного материала

2

Дифференциал функции и его физический смысл.

ПЗ № 36. Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление».

Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление».

2

Раздел 13.

Интегральное исчисление

12

Тема 13.1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла. Таблица интегралов.

Содержание учебного материала

2

Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Таблица интегралов.

Тема 13.2. Вычисление неопределённого интеграла непосредственным интегрированием.

Содержание учебного материала

Вычисление неопределённого интеграла непосредственным интегрированием.

2

Тема 13.3. Понятие определённого интеграла, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

Содержание учебного материала

2

Понятие определённого интеграла, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

Тема 13.4. Применение определённого интеграла для вычисления площади криволинейной трапеции.

Содержание учебного материала

Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции.

2

Тема 13.5. Применение определённого интеграла для решения прикладных задач.

Содержание учебного материала

Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

2

ПЗ № 37. Контрольная работа по теме «Интегральное исчисление».

Контрольная работа по теме «Интегральное исчисление».

2

Раздел 14.

Уравнения и неравенства

26

Тема 14.1. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Содержание учебного материала

2

Решение рациональных уравнений и неравенств. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносиль­ность уравнений, неравенств, систем. Решение систем нера­венств с одной переменной.

Тема 14.2. Рациональные уравнения и системы.

Содержание учебного материала

Рациональные уравнения и системы. Решение систем уравнений с двумя неизвестными (простейшие типы).

2

Тема 14.3. Иррациональные уравнения.

Содержание учебного материала

2

Иррациональные уравнения.

ПЗ № 38. Иррациональные уравнения.

Практические занятия

Решение иррациональных уравнений и неравенств.

2

Тема 14.4. Показательные уравнения.

Содержание учебного материала

2

Решение показательных уравнений.

Тема 14.5. Показательные неравенства.

Содержание учебного материала

Решение показательных неравенств.

2

ПЗ № 39. Показательные уравнения и неравенства.

Практические занятия

Решение показательных уравнений и неравенств.

2

Тема 14.6. Логарифмические уравнения.

Содержание учебного материала

2

Логарифмические уравнения.

Тема 14.7. Логарифмические неравенства.

Содержание учебного материала

Логарифмические неравенства.

2

ПЗ № 40. Логарифмические уравнения и неравенства.

Практические занятия

Решение логарифмических уравнений и неравенств.

2

Тема 14.8. Использование свойств и графиков при решении уравнений и неравенств.

Содержание учебного материала

2

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержа­тельных задач из различных областей науки и практики. Интерпре­тация результата, учет реальных ограничений.

ПЗ № 41. Метод интервалов

Практические занятия

Метод интервалов. Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифмети­ческом и среднем геометрическом двух чисел. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств.

2

ПЗ № 42. Контрольная работа по теме «Уравнения и неравенства».

Контрольная работа по теме «Уравнения и неравенства».

2

Раздел 15.

Измерения в геометрии

10

Тема 15.1. Объём и его измерение. Формулы объёма многогранников.

Содержание учебного материала

2

Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Формулы объема куба, параллелепипеда, призмы. Формулы объема пирамиды.

Тема 15.2. Формулы объёма тел вращения.

Содержание учебного материала

Формулы объема цилиндра и конуса. Формулы объема шара

2

Тема 15.3. Формулы площадей поверхности тел вращения.

Содержание учебного материала

Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса и площади сферы.

2

Тема 15.4. Отношения площадей поверхностей и объёмов подобных тел.

Содержание учебного материала

2

Отношение объемов подобных тел.

ПЗ № 43. Контрольная работа по теме «Объем и площадь поверхности».

Контрольная работа по теме «Объем и площадь поверхности».

2

Раздел 16.

Элементы теории вероятности и математической статистики

18

Тема 16.1. Понятие математической статистики. Представление данных (таблицы, диаграммы, графики).

Содержание учебного материала

2

Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события.

ПЗ № 44. Теория вероятности и её основные понятия. Сложение и умножение вероятностей

Содержание учебного материала

Сложение и умножение вероятностей. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

2

ПЗ № 45. Самостоятельная работа по теме «Элементы теории вероятности».

Практические занятия

Самостоятельная работа по теме «Элементы теории вероятности».

2

Тема 16.2.Дискретные случайные величины.

Содержание учебного материала

2

Дискретные случайные величины и распределения. Совместные распределения. Распределение суммы и произведения независимых случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин.

Бинарная случайная величина, распределение Бернулли. Геометрическое распределение. Биномиальное распределение и его свойства. Гипергеометрическое распределение и его свойства.

Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Функция распределения. Равномерное распределение.

Тема 16.3. Показательное распределение, его параметры.

Содержание учебного материала

2

Показательное распределение, его параметры.

Распределение Пуассона и его применение. Нормальное распределение. Функция Лапласа. Параметры нормального распределения. Примеры случайных величин, подчиненных нормальному закону (погрешность измерений, рост человека). Центральная предельная теорема.

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева и теорема Бернулли. Закон больших чисел. Выборочный метод измерения вероятностей. Роль закона больших чисел в науке, природе и обществе.

Ковариация двух случайных величин. Понятие о коэффициенте корреляции. Совместные наблюдения двух случайных величин. Выборочный коэффициент корреляции. Линейная регрессия.

Статистическая гипотеза. Статистика критерия и ее уровень значимости. Проверка простейших гипотез. Эмпирические распределения и их связь с теоретическими распределениями. Ранговая корреляция.

Построение соответствий. Инъективные и сюръективные соответствия. Биекции. Дискретная непрерывность. Принцип Дирихле.

Тема 16.4. Основные понятия теории графов

Содержание учебного материала

2

Основные понятия теории графов. Деревья. Двоичное дерево. Связность. Компоненты связности. Пути на графе. Эйлеровы и Гамильтоновы пути.

Консультация на тему «Прикладная математика. Планиметрия. Тригонометрия»

Содержание учебного материала

Экзаменационный вариант 0, материалы сайтов подготовки ЕГЭ

2

Консультация на тему «Производная, интеграл и стереометрия»

Содержание учебного материала

Экзаменационный вариант 0, материалы сайтов подготовки ЕГЭ

2

Консультация на тему «Уравнения и неравенства. Теория вероятности»

Содержание учебного материала

Экзаменационный вариант 0, материалы сайтов подготовки ЕГЭ

2

Экзамен

36

Всего:

296

Результаты обучения

Критерии оценки

Формы и методы оценки

Элементы теории множеств и математической логики

Элементы теории множеств и математической логики

- Свободно оперировать понятиями: конечное множество, элемент множества, подмножество, пересечение, объединение и разность множеств, числовые множества на координатной прямой, отрезок, интервал, полуинтервал, промежуток с выколотой точкой, графическое представление множеств на координатной плоскости;

- задавать множества перечислением и характеристическим свойством;

- оперировать понятиями: утверждение, отрицание утверждения, истинные и ложные утверждения, причина, следствие, частный случай общего утверждения, контрпример;

- проверять принадлежность элемента множеству;

- находить пересечение и объединение множеств, в том числе представленных графически на числовой прямой и на координатной плоскости;

- проводить доказательные рассуждения для обоснования истинности утверждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- использовать числовые множества на координатной прямой и на координатной плоскости для описания реальных процессов и явлений;

- проводить доказательные рассуждения в ситуациях повседневной жизни, при решении задач из других предметов

- Свободно оперирует понятиями: конечное множество, элемент множества, подмножество, пересечение, объединение и разность множеств, числовые множества на координатной прямой, отрезок, интервал, полуинтервал, промежуток с выколотой точкой, графическое представление множеств на координатной плоскости;

- задает множества перечислением и характеристическим свойством;

- оперирует понятиями: утверждение, отрицание утверждения, истинные и ложные утверждения, причина, следствие, частный случай общего утверждения, контрпример;

- проверяет принадлежность элемента множеству;

- находит пересечение и объединение множеств, в том числе представленных графически на числовой прямой и на координатной плоскости;

- проводит доказательные рассуждения для обоснования истинности утверждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- использует числовые множества на координатной прямой и на координатной плоскости для описания реальных процессов и явлений;

- проводит доказательные рассуждения в ситуациях повседневной жизни, при решении задач из других предметов

Текущий контроль:

- индивидуальный и фронтальный опрос;

- выполнение индивидуальных заданий;

- тестирование;

- разноуровневые карточки;

- внеаудиторные самостоятельные работы.

-выполнение практических заданий;

- контрольные работы по темам учебной дисциплины.

Числа и выражения

Числа и выражения

- Свободно оперировать понятиями: натуральное число, множество натуральных чисел, целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число, множество рациональных чисел, иррациональное число, корень степени n, действительное число, множество действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;

- понимать и объяснять разницу между позиционной и непозиционной системами записи чисел;

- переводить числа из одной системы записи (системы счисления) в другую;

- доказывать и использовать признаки делимости суммы и произведения при выполнении вычислений и решении задач;

- выполнять округление рациональных и иррациональных чисел с заданной точностью;

- сравнивать действительные числа разными способами;

- упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби, числа, записанные с использованием арифметического квадратного корня, корней степени больше 2;

- находить НОД и НОК разными способами и использовать их при решении задач;

- выполнять вычисления и преобразования выражений, содержащих действительные числа, в том числе корни натуральных степеней;

- выполнять стандартные тождественные преобразования тригонометрических, логарифмических, степенных, иррациональных выражений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- выполнять и объяснять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений, используя разные способы сравнений;

- записывать, сравнивать, округлять числовые данные реальных величин с использованием разных систем измерения;

- составлять и оценивать разными способами числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов

- Свободно оперирует понятиями: натуральное число, множество натуральных чисел, целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число, множество рациональных чисел, иррациональное число, корень степени n, действительное число, множество действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;

- понимает и объясняет разницу между позиционной и непозиционной системами записи чисел;

- переводит числа из одной системы записи (системы счисления) в другую;

- доказывает и использует признаки делимости суммы и произведения при выполнении вычислений и решении задач;

- выполняет округление рациональных и иррациональных чисел с заданной точностью;

- сравнивает действительные числа разными способами;

- упорядочивает числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби, числа, записанные с использованием арифметического квадратного корня, корней степени больше 2;

- находит НОД и НОК разными способами и использовать их при решении задач;

- выполняет вычисления и преобразования выражений, содержащих действительные числа, в том числе корни натуральных степеней;

- выполняет стандартные тождественные преобразования тригонометрических, логарифмических, степенных, иррациональных выражений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- выполняет и объясняет сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений, используя разные способы сравнений;

- записывает, сравнивает, округляет числовые данные реальных величин с использованием разных систем измерения;

- составляет и оценивает разными способами числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов

Уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства

- Свободно оперировать понятиями: уравнение, неравенство, равносильные уравнения и неравенства, уравнение, являющееся следствием другого уравнения, уравнения, равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений;

- решать разные виды уравнений и неравенств и их систем, в том числе некоторые уравнения 3-й и 4-й степеней, дробно-рациональные и иррациональные;

- овладеть основными типами показательных, логарифмических, иррациональных, степенных уравнений и неравенств и стандартными методами их решений и применять их при решении задач;

- применять теорему Безу к решению уравнений;

- применять теорему Виета для решения некоторых уравнений степени выше второй;

- понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений и уметь их доказывать;

- владеть методами решения уравнений, неравенств и их систем, уметь выбирать метод решения и обосновывать свой выбор;

- использовать метод интервалов для решения неравенств, в том числе дробно-рациональных и включающих в себя иррациональные выражения;

- решать алгебраические уравнения и неравенства и их системы с параметрами алгебраическим и графическим методами;

- владеть разными методами доказательства неравенств;

- решать уравнения в целых числах;

- изображать множества на плоскости, задаваемые уравнениями, неравенствами и их системами;

- свободно использовать тождественные преобразования при решении уравнений и систем уравнений

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- составлять и решать уравнения, неравенства, их системы при решении задач других учебных предметов;

- выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении различных уравнений, неравенств и их систем при решении задач других учебных предметов;

- составлять и решать уравнения и неравенства с параметрами при решении задач других учебных предметов;

- составлять уравнение, неравенство или их систему, описывающие реальную ситуацию или прикладную задачу, интерпретировать полученные результаты;

- использовать программные средства при решении отдельных классов уравнений и неравенств

- Свободно оперирует понятиями: уравнение, неравенство, равносильные уравнения и неравенства, уравнение, являющееся следствием другого уравнения, уравнения, равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений;

- решает разные виды уравнений и неравенств и их систем, в том числе некоторые уравнения 3-й и 4-й степеней, дробно-рациональные и иррациональные;

- владеет основными типами показательных, логарифмических, иррациональных, степенных уравнений и неравенств и стандартными методами их решений и применяет их при решении задач;

- применяет теорему Безу к решению уравнений;

- применяет теорему Виета для решения некоторых уравнений степени выше второй;

- понимает смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений и умеет их доказывать;

- владеет методами решения уравнений, неравенств и их систем, умеет выбирать метод решения и обосновывает свой выбор;

- использует метод интервалов для решения неравенств, в том числе дробно-рациональных и включающих в себя иррациональные выражения;

- решает алгебраические уравнения и неравенства и их системы с параметрами алгебраическим и графическим методами;

- владеет разными методами доказательства неравенств;

- решает уравнения в целых числах;

- изображает множества на плоскости, задаваемые уравнениями, неравенствами и их системами;

- свободно использует тождественные преобразования при решении уравнений и систем уравнений

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- составляет и решает уравнения, неравенства, их системы при решении задач других учебных предметов;

- выполняет оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении различных уравнений, неравенств и их систем при решении задач других учебных предметов;

- составляет и решает уравнения и неравенства с параметрами при решении задач других учебных предметов;

- составляет уравнение, неравенство или их систему, описывающие реальную ситуацию или прикладную задачу, интерпретировать полученные результаты;

- использует программные средства при решении отдельных классов уравнений и неравенств

Функции

Функции

- Владеть понятиями: зависимость величин, функция, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, график зависимости, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание на числовом промежутке, убывание на числовом промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции на числовом промежутке, периодическая функция, период, четная и нечетная функции; уметь применять эти понятия при решении задач;

- владеть понятием степенная функция; строить ее график и уметь применять свойства степенной функции при решении задач;

- владеть понятиями показательная функция, экспонента; строить их графики и уметь применять свойства показательной функции при решении задач;

- владеть понятием логарифмическая функция; строить ее график и уметь применять свойства логарифмической функции при решении задач;

- владеть понятиями тригонометрические функции; строить их графики и уметь применять свойства тригонометрических функций при решении задач;

- владеть понятием обратная функция; применять это понятие при решении задач;

- применять при решении задач свойства функций: четность, периодичность, ограниченность;

- применять при решении задач преобразования графиков функций;

- владеть понятиями числовая последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессия;

- применять при решении задач свойства и признаки арифметической и геометрической прогрессий.

В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:

- определять по графикам и использовать для решения прикладных задач свойства реальных процессов и зависимостей (наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, асимптоты, точки перегиба, период и т.п.);

- интерпретировать свойства в контексте конкретной практической ситуации;

- определять по графикам простейшие характеристики периодических процессов в биологии, экономике, музыке, радиосвязи и др. (амплитуда, период и т.п.)

- Владеет понятиями: зависимость величин, функция, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, график зависимости, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание на числовом промежутке, убывание на числовом промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции на числовом промежутке, периодическая функция, период, четная и нечетная функции; умеет применять эти понятия при решении задач;

- владеет понятием степенная функция; строить ее график и умеет применять свойства степенной функции при решении задач;

- владеет понятиями показательная функция, экспонента; строит их графики и умеет применять свойства показательной функции при решении задач;

- владеет понятием логарифмическая функция; строить ее график и умеет применять свойства логарифмической функции при решении задач;

- владеет понятиями тригонометрические функции; строит их графики и умеет применять свойства тригонометрических функций при решении задач;

- владеет понятием обратная функция; применять это понятие при решении задач;

- применяет при решении задач свойства функций: четность, периодичность, ограниченность;

- применяет при решении задач преобразования графиков функций;

- владеет понятиями числовая последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессия;

- применяет при решении задач свойства и признаки арифметической и геометрической прогрессий.

В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:

- определяет по графикам и использовать для решения прикладных задач свойства реальных процессов и зависимостей (наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, асимптоты, точки перегиба, период и т.п.);

- интерпретирует свойства в контексте конкретной практической ситуации;

- определяет по графикам простейшие характеристики периодических процессов в биологии, экономике, музыке, радиосвязи и др. (амплитуда, период и т.п.)

Элементы математического анализа

Элементы математического анализа

- Владеть понятием бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и уметь применять его при решении задач;

- применять для решения задач теорию пределов;

- владеть понятиями бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности и уметь сравнивать бесконечно большие и бесконечно малые последовательности;

- владеть понятиями: производная функции в точке, производная функции;

- вычислять производные элементарных функций и их комбинаций;

- исследовать функции на монотонность и экстремумы;

- строить графики и применять к решению задач, в том числе с параметром;

- владеть понятием касательная к графику функции и уметь применять его при решении задач;

- владеть понятиями первообразная функция, определенный интеграл;

- применять теорему Ньютона-Лейбница и ее следствия для решения задач.

В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:

- решать прикладные задачи из биологии, физики, химии, экономики и других предметов, связанные с исследованием характеристик процессов;

- интерпретировать полученные результаты

- Владеет понятием бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и умеет применять его при решении задач;

- применяет для решения задач теорию пределов;

- владеет понятиями бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности и умеет сравнивать бесконечно большие и бесконечно малые последовательности;

- владеет понятиями: производная функции в точке, производная функции;

- вычисляет производные элементарных функций и их комбинаций;

- исследует функции на монотонность и экстремумы;

- строит графики и применяет к решению задач, в том числе с параметром;

- владеет понятием касательная к графику функции и умеет применять его при решении задач;

- владеет понятиями первообразная функция, определенный интеграл;

- применяет теорему Ньютона-Лейбница и ее следствия для решения задач.

В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:

- решает прикладные задачи из биологии, физики, химии, экономики и других предметов, связанные с исследованием характеристик процессов;

- интерпретирует полученные результаты

Статистика и теория вероятностей, логика и комбинаторика

Статистика и теория вероятностей, логика и комбинаторика

- Оперировать основными описательными характеристиками числового набора, понятием генеральная совокупность и выборкой из нее;

- оперировать понятиями: частота и вероятность события, сумма и произведение вероятностей, вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

- владеть основными понятиями комбинаторики и уметь их применять при решении задач;

- иметь представление об основах теории вероятностей;

- иметь представление о дискретных и непрерывных случайных величинах и распределениях, о независимости случайных величин;

- иметь представление о математическом ожидании и дисперсии случайных величин;

- иметь представление о совместных распределениях случайных величин;

- понимать суть закона больших чисел и выборочного метода измерения вероятностей;

- иметь представление о нормальном распределении и примерах нормально распределенных случайных величин;

- иметь представление о корреляции случайных величин.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- вычислять или оценивать вероятности событий в реальной жизни;

- выбирать методы подходящего представления и обработки данных

- Оперирует основными описательными характеристиками числового набора, понятием генеральная совокупность и выборкой из нее;

- оперирует понятиями: частота и вероятность события, сумма и произведение вероятностей, вычисляет вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

- владеет основными понятиями комбинаторики и умеет их применять при решении задач;

- имеет представление об основах теории вероятностей;

- имеет представление о дискретных и непрерывных случайных величинах и распределениях, о независимости случайных величин;

- имеет представление о математическом ожидании и дисперсии случайных величин;

- имеет представление о совместных распределениях случайных величин;

- понимает суть закона больших чисел и выборочного метода измерения вероятностей;

- имеет представление о нормальном распределении и примерах нормально распределенных случайных величин;

- имеет представление о корреляции случайных величин.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- вычисляет или оценивает вероятности событий в реальной жизни;

- выбирает методы подходящего представления и обработки данных

Текстовые задачи

Текстовые задачи

- Решать разные задачи повышенной трудности;

- анализировать условие задачи, выбирать оптимальный метод решения задачи, рассматривая различные методы;

- строить модель решения задачи, проводить доказательные рассуждения при решении задачи;

- решать задачи, требующие перебора вариантов, проверки условий, выбора оптимального результата;

- анализировать и интерпретировать полученные решения в контексте условия задачи, выбирать решения, не противоречащие контексту;

- переводить при решении задачи информацию из одной формы записи в другую, используя при необходимости схемы, таблицы, графики, диаграммы.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- решать практические задачи и задачи из других предметов

- Решает разные задачи повышенной трудности;

- анализирует условие задачи, выбирает оптимальный метод решения задачи, рассматривая различные методы;

- строит модель решения задачи, проводит доказательные рассуждения при решении задачи;

- решает задачи, требующие перебора вариантов, проверки условий, выбора оптимального результата;

- анализирует и интерпретирует полученные решения в контексте условия задачи, выбирает решения, не противоречащие контексту;

- переводит при решении задачи информацию из одной формы записи в другую, используя при необходимости схемы, таблицы, графики, диаграммы.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- решает практические задачи и задачи из других предметов

Геометрия

Геометрия

- Владеть геометрическими понятиями при решении задач и проведении математических рассуждений;

- самостоятельно формулировать определения геометрических фигур, выдвигать гипотезы о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывать или опровергать их, обобщать или конкретизировать результаты на новых классах фигур, проводить в несложных случаях классификацию фигур по различным основаниям;

- исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную на чертежах;

- решать задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из условия, выполнять необходимые для решения задачи дополнительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для решения задач;

- уметь формулировать и доказывать геометрические утверждения;

- владеть понятиями стереометрии: призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр;

- иметь представления об аксиомах стереометрии и следствиях из них и уметь применять их при решении задач;

- уметь строить сечения многогранников с использованием различных методов, в том числе и метода следов;

- иметь представление о скрещивающихся прямых в пространстве и уметь находить угол и расстояние между ними;

- применять теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;

- уметь применять параллельное проектирование для изображения фигур;

- уметь применять перпендикулярности прямой и плоскости при решении задач;

- владеть понятиями ортогональное проектирование, наклонные и их проекции, уметь применять теорему о трех перпендикулярах при решении задач;

- владеть понятиями расстояние между фигурами в пространстве, общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и уметь применять их при решении задач;

- владеть понятием угол между прямой и плоскостью и уметь применять его при решении задач;

- владеть понятиями двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярные плоскости и уметь применять их при решении задач;

- владеть понятиями призма, параллелепипед и применять свойства параллелепипеда при решении задач;

- владеть понятием прямоугольный параллелепипед и применять его при решении задач;

- владеть понятиями пирамида, виды пирамид, элементы правильной пирамиды и уметь применять их при решении задач;

- иметь представление о теореме Эйлера, правильных многогранниках;

- владеть понятием площади поверхностей многогранников и уметь применять его при решении задач;

- владеть понятиями тела вращения (цилиндр, конус, шар и сфера), их сечения и уметь применять их при решении задач;

- владеть понятиями касательные прямые и плоскости и уметь применять из при решении задач;

- иметь представления о вписанных и описанных сферах и уметь применять их при решении задач;

- владеть понятиями объем, объемы многогранников, тел вращения и применять их при решении задач;

- иметь представление о развертке цилиндра и конуса, площади поверхности цилиндра и конуса, уметь применять их при решении задач;

- иметь представление о площади сферы и уметь применять его при решении задач;

- уметь решать задачи на комбинации многогранников и тел вращения;

- иметь представление о подобии в пространстве и уметь решать задачи на отношение объемов и площадей поверхностей подобных фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- составлять с использованием свойств геометрических фигур математические модели для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин, исследовать полученные модели и интерпретировать результат

- Владеет геометрическими понятиями при решении задач и проведении математических рассуждений;

- самостоятельно формулирует определения геометрических фигур, выдвигает гипотезы о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывает или опровергает их, обобщает или конкретизирует результаты на новых классах фигур, проводит в несложных случаях классификацию фигур по различным основаниям;

- исследует чертежи, включая комбинации фигур, извлекает, интерпретирует и преобразовывает информацию, представленную на чертежах;

- решает задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из условия, выполняет необходимые для решения задачи дополнительные построения, исследует возможность применения теорем и формул для решения задач;

- умеет формулировать и доказывать геометрические утверждения;

- владеет понятиями стереометрии: призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр;

- имеет представления об аксиомах стереометрии и следствиях из них и умеет применять их при решении задач;

- умеет строить сечения многогранников с использованием различных методов, в том числе и метода следов;

- имеет представление о скрещивающихся прямых в пространстве и умеет находить угол и расстояние между ними;

- применяет теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;

- умеет применять параллельное проектирование для изображения фигур;

- умеет применять перпендикулярности прямой и плоскости при решении задач;

- владеет понятиями ортогональное проектирование, наклонные и их проекции, умеет применять теорему о трех перпендикулярах при решении задач;

- владеет понятиями расстояние между фигурами в пространстве, общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и умеет применять их при решении задач;

- владеет понятием угол между прямой и плоскостью и умеет применять его при решении задач;

- владеет понятиями двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярные плоскости и умеет применять их при решении задач;

- владеет понятиями призма, параллелепипед и применять свойства параллелепипеда при решении задач;

- владеет понятием прямоугольный параллелепипед и применяет его при решении задач;

- владеет понятиями пирамида, виды пирамид, элементы правильной пирамиды и умеет применять их при решении задач;

- имеет представление о теореме Эйлера, правильных многогранниках;

- владеет понятием площади поверхностей многогранников и умеет применять его при решении задач;

- владеет понятиями тела вращения (цилиндр, конус, шар и сфера), их сечения и умеет применять их при решении задач;

- владеет понятиями касательные прямые и плоскости и умеет применять из при решении задач;

- имеет представления о вписанных и описанных сферах и умеет применять их при решении задач;

- владеет понятиями объем, объемы многогранников, тел вращения и применяет их при решении задач;

- имеет представление о развертке цилиндра и конуса, площади поверхности цилиндра и конуса, умеет применять их при решении задач;

- имеет представление о площади сферы и уметь применяет его при решении задач;

- умеет решать задачи на комбинации многогранников и тел вращения;

- имеет представление о подобии в пространстве и умеет решать задачи на отношение объемов и площадей поверхностей подобных фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

- составляет с использованием свойств геометрических фигур математические модели для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин, исследовать полученные модели и интерпретировать результат

Векторы и координаты в пространстве

Векторы и координаты в пространстве

- Владеть понятиями векторы и их координаты;

- уметь выполнять операции над векторами;

- использовать скалярное произведение векторов при решении задач;

- применять уравнение плоскости, формулу расстояния между точками, уравнение сферы при решении задач;

- применять векторы и метод координат в пространстве при решении задач

- Владеет понятиями векторы и их координаты;

- умеет выполнять операции над векторами;

- использует скалярное произведение векторов при решении задач;

- применяет уравнение плоскости, формулу расстояния между точками, уравнение сферы при решении задач;

- применяет векторы и метод координат в пространстве при решении задач

История математики

История математики

- Иметь представление о вкладе выдающихся математиков в развитие науки;

- понимать роль математики в развитии России

Имеет представление о вкладе выдающихся математиков в развитие науки;

- понимает роль математики в развитии России

Методы математики

Методы математики

- Использовать основные методы доказательства, проводить доказательство и выполнять опровержение;

- применять основные методы решения математических задач;

- на основе математических закономерностей в природе характеризовать красоту и совершенство окружающего мира и произведений искусства;

- применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач;

- пользоваться прикладными программами и программами символьных вычислений для исследования математических объектов

- Использует основные методы доказательства, проводит доказательство и выполняет опровержение;

- применяет основные методы решения математических задач;

- на основе математических закономерностей в природе характеризует красоту и совершенство окружающего мира и произведений искусства;

- применяет простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач;

- пользуется прикладными программами и программами символьных вычислений для исследования математических объектов