Россия, Северобайкальск
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 04.05.2025 15:55
Ларькова Татьяна Павловна
Учитель математики,информатики
53 года
1 865
33 712 
Местоположение
Специализация
Расположения корней квадратного уравнения с параметром
Категория:
Математика
22.11.2017 09:18
Просмотр содержимого документа
«Вступление Люда»
Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»
Расположения корней квадратного уравнения с параметром
Выполнила:
Хазагаева Людмила,
ученица 9б класса
МБОУ «Лицей №6».
Руководитель: Ларькова
Татьяна Павловна
г. Северобайкальск
2014
Оглавление
| 2 |
|
|
| 3 3
4 4 |
| 5 |
| 5 6 |
|
|
|
Введение
Одной из значимых тем школьного курса математики является тема «Квадратные уравнения». Решение квадратных уравнений не вызывает особых затруднений у учащихся. Однако в учебнике есть ряд задач на решение квадратных уравнений с параметром (уравнений, в которых какой-либо коэффициент задан буквой). Это задания повышенного уровня, они требуют от ученика умения анализировать каждый конкретный случай, искать способ решения.
Актуальность: Так как задания с параметром достаточно сложны, они, как правило, не входят в основную программу школьного курса. Однако встречаются в учебниках повышенного уровня, в математических олимпиадах, конкурсных заданиях. Это задачи на применение теоремы Виета, на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное расположение корней квадратного уравнения, решение квадратных уравнений и неравенств с параметром аналитически и графически. Кроме того, во второй части ЕГЭ есть задача С5 – «задача с параметром», которая имеет высокий уровень сложности. Поиск решения задачи с параметром – хороший материал для учебно-исследовательской работы. Моя работа посвящена исследованию расположения корней квадратного уравнения с параметром.
Цель исследования: расположение корней квадратного уравнения с параметром.
Объект исследования - квадратное уравнение с параметром;
Предмет исследования – расположение корней уравнения относительно заданных значений.
Задачи:
исследовать расположение корней квадратного уравнения;
разобрать примеры по каждому из случаев;
предложить подобные задания для самостоятельного решения.
При выполнении работы были использованы следующие методы:
теоретический (изучение теоретической части);
анализ;
практический (решение задач).
Основная часть
Актуализация знаний:
ax2 +bx+c=0, если а=0, уравнение – линейное; при а0 ветви параболы вверх, при а
D=b2 - 4ac;
D0, 2 корня;
D=0, 1 корень;
D
x0 = -b/2a.
Я рассмотрю семь случаев расположения корней квадратного уравнения:
Корни уравнения больше заданного числа;
Корни уравнения меньше заданного числа;
Заданное число лежит между корнями уравнения;
Корни уравнения лежат между заданными числами;
Заданные числа лежат между корнями уравнения;
Только первый корень лежит между заданными числами;
Только второй корень лежит между заданными числами.
В результате изучения интернет публикаций, чертежей получилось, что для каждого из семи случаев есть свои условия:
А 1х2 , если D 0, аf (A)0, х0 А
х1
х2, если D 0, аf (В)0, х0х12 , если аf (A)
А 1
х2, если D³ 0, аf (A)0, аf (В)0х12 , если аf (A)f (В)
А 12 , если аf (A)0, аf (В)
х12 , если аf (A)f (В)0
Применяю полученные знания на примерах1:
1См. приложение.
Изучение этого материала может быть интересно ученикам 9-11классов. Затем я предложила бы им самим «попробовать свои силы» в решении подобных заданий. Для этого я подобрала ряд упражнений для самостоятельного решения:
При каком значении параметра а один корень уравнения х2 – (3а + 2)х + 2а – 1 = 0 больше 1, а другой меньше 1? Ответ: а – 2.
Найти все значения параметра а, при которых все корни уравнения (2 – а)х2 – 3ах + 2 = 0 больше 1/2. Ответ: [16/17; 2].
При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2 – (3а + 1)х – а – 2 = 0 лежат в промежутке ( – 1;2)? Ответ: ( – 3/2; 12/7).
Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х2 + 2ах + 3а – 2 = 0 удовлетворяет условию х Ответ: а = 2, а
Найти все значения а, при которых все корни уравнения х2 + х + а = 0 больше а. Ответ: а
Заключение
Исследования, проведенные при изучении данной темы позволили мне лучше понять суть заданий, в которых есть параметр. Я уверена, что квадратные уравнения с параметром данного типа могут быть решены учениками 9 класса. Интерес вызывает процесс анализа задания, рассуждений, вычислений. При этом нет необходимости заучивать условия для всех семи типов задач, надо понять принцип и уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах. Изучение этого материала, безусловно, развивает математическое мышление, вызывает интерес к математике, готовит к изучению профильного курса математики в 10,11 классах, и, надеюсь, позволит лучше подготовиться к экзаменам.
Список источников
Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. «Просвещение». 2005.
Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8 – 9. Москва. «Просвещение». 2005.
http://dvoek-net.ru/cor/book/ky.html
6
Просмотр содержимого презентации
«расположение»
Расположение корней квадратного уравнения с параметром
Выполнила: Хазагаева Людмила
Ученица 9б класса
МБОУ «Лицей №6»
Актуализация
- ax 2 + bx + c =0, если а=0, уравнение – линейное; при а0 ветви параболы вверх, при а
- D = b 2 - 4 ac ;
- D 0, 2 корня;
- D =0, 1 корень;
- D
- x 0 = - b /2 a .
Семь случаев расположения корней квадратного уравнения
- Корни уравнения больше заданного числа;
- Корни уравнения меньше заданного числа;
- Заданное число лежит между корнями уравнения;
- Корни уравнения лежат между заданными числами;
- Заданные числа лежат между корнями уравнения;
- Только первый корень лежит между заданными числами;
- Только второй корень лежит между заданными числами;
- Задания для закрепления.
0; aX 0 1; x 0 =4/2=21. Ответ: аЄ[-3;-2)." width="640"
Корни уравнения больше заданного числа
- Пример: при каких значениях параметра а корни уравнения x 2 -4x-(a-1)=0 больше 1?
- D=4 2 +4(a-1)=4a+12≥0; a≥-3;
- F(1)=1 2 -4*1-(a-1)=-2-a0; a
- X 0 1; x 0 =4/2=21.
Ответ: аЄ[-3;-2).
Корни уравнения меньше заданного числа
- Пример: при каких значениях параметра а корни уравнения x 2 +(a+1)x-2a=0 меньше 1
- D0
- X 0 = -( a-1)/2a ; a-1
- F(1)=1 2 +(a+1)*1-2a0 ; a
- Ответ: аЄ(-1;2)
0 , то f(a)a ; (1-2a)1 2 +3a+a-5=0; a ; a Є (-∞;1/2) 3. Если 1-2а 0. Получим: a1/2 ; (1-2a)1 2 +3a+a-5=0; a2 ; a Є (2;∞) Совокупность решений: a Є (-∞;1/2)U (2;∞) ." width="640"
Заданное число лежит между корнями уравнения
Пример: При каких значениях параметра а корни уравнения
расположены по разные стороны от точки А=1?
- Если 1-2а=0, то уравнение – линейное, имеет 1 корень.
- Если 1-2а 0 , то f(a)a ;
(1-2a)1 2 +3a+a-5=0; a ;
a Є (-∞;1/2)
3. Если 1-2а 0. Получим: a1/2 ; (1-2a)1 2 +3a+a-5=0; a2 ;
a Є (2;∞)
Совокупность решений: a Є (-∞;1/2)U (2;∞) .
Корни уравнения лежат между заданными числами;
- Пример: При каких значениях параметра a , корни уравнения x 2 +ax+1=0 лежат между числами 0 и 2
- 0 0 ; F(2)0
- X 0 = -a/2
- -a/20 ; a
- -a/2-4
- F(0)=1 0
- F(2)=4+2a+10 ; a2 ,
- D=a 2 -4≥0 ; аЄ (-∞ ; -2) U (2; ∞ )
- Ответ: аЄ( -2,5; -2)
Заданные числа лежат между корнями уравнения
- Пример: При каких значениях параметра а, заданные числа лежат между корнями уравнения (а- 2 ) x 2 -2(a+3)x+4a =0
- Если а-2=0, тогда уравнение линейное
- Если a-20 , тогда F(2)2 ; ( a-2)*4-2*2(a+3)+4a=0 ; a
- Если a -2 0 ; F(3)0 . Получим: a5 ; a5 1/7 Ответ: Нет решений Совокупность решений: аЄ (2 ; 5)
Только первый корень лежит между заданными числами;
- Пример: при каких значениях параметра а, только первый корень уравнения x 2 -6 x+a=0 лежит между числами 1 и 7
- D0 ; F(1)0 ; F(7)
- D=-6 2 - 4 a=36-4a0 ; a
- F(1) =1 2 -6+а 0 ; a
- F(7)=7 2 -4a+a
- Ответ: нет решений
Только второй корень лежит между заданными числами.
- Пример: при каких значениях параметра а, только второй корень уравнения x 2 -6 x+a=0 лежит между числами 1 и 7
- D0 ; F(1)0
- F(1) =1 2 -6+а
- F(7)=7 2 -4a+a0 ; a -7
- Ответ: аЄ( -7; 5 )
Задания для самостоятельного решения
- При каком значении параметра а один корень уравнения х 2 – (3 а + 2) х + 2 а – 1 = 0 больше 1, а другой меньше 1? Ответ : а – 2.
- Найти все значения параметра а , при которых все корни уравнения (2 – а ) х 2 – 3 ах + 2 = 0 больше 1/2. Ответ: [16/17; 2].
- При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4 х 2 – (3 а + 1) х – а – 2 = 0 лежат в промежутке ( – 1;2)? Ответ : ( – 3/2; 12/7).
- Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х 2 + 2 ах + 3 а – 2 = 0 удовлетворяет условию х Ответ: а = 2, а
- Найти все значения а, при которых все корни уравнения х 2 + х + а = 0 больше а . Ответ: а
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
