Разбор геометрических задач для подготовки к ОГЭ

В треугольнике два угла равны 48° и 79°. Найдите третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол равен:

180° – (48° + 79°) = 180° – 127° = 53°.

В треугольнике АВС известно, что

- биссектриса. Найдите угол ВАD.

Ответ дайте в градусах.

Решение:
, так как биссектриса делит угол пополам.

Ответ:

В треугольнике АВС известно, что АС = 54,

ВМ – медиана, ВМ = 45. Найдите АМ.

Решение: АМ = 54 : 2 = 27, так как медиана делит противоположную сторону пополам.

Ответ: АМ = 27.

D

В равнобедренном треугольнике АВС

с основанием АС внешний угол при

вершине С равен 132°. Найдите угол АВС.

Ответ дайте в градусах.

Решение:
.

, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны.

, сумма углов треугольника равна 180.

Ответ:

В остроугольном треугольнике АВС

проведена высота ВН,

Найдите угол АВН.

Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим

значит по теореме о сумме углов треугольника

Ответ:

В треугольнике одна из сторон равна 29, а опущенная на нее высота равна - 12.

Найдите площадь треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, поэтому

Точки М и N являются серединами сторон

АВ и ВС треугольника АВС, сторона

АВ равна 28, сторона ВС равна 44, сторона АС равна 42. Найдите МN.

Решение:

Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине.

Ответ: 21.

Точки М и N являются серединами сторон

АВ и ВС треугольника АВС соответственно.

Отрезки АN и СМ пересекаются в точке О,

АN = 18, СМ = 21. Найдите ОМ.

Решение:

Точки М и N являются серединами сторон

АВ и ВС, значит медианы,

поэтому поэтому точкой пересечения

делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины

Ответ: 7.

Катеты прямоугольного треугольника

равны 12 и 5. Найти гипотенузу этого треугольника.

Решение:

Квадрат гипотенузы равен сумме

квадратов катетов:

Ответ: 13.

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза соответственно равны 7 и 25.

Найти второй катет этого треугольника.

Решение:

Квадрат гипотенузы равен сумме

квадратов катетов:

Ответ: 24.

В треугольнике АВС угол А равен 45°,

угол В равен 30°, ВС = .Найдите АС.

Решение:

По теореме синусов:

Ответ: 6.

В треугольнике АВС угол С равен 90°,

АС = 14, АВ = 20. Найдите .

Решение:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение

противолежащего катета к гипотенузе.

Ответ: 0,7.

В треугольнике АВС угол С равен 90°,

ВС = 12, АВ = 15. Найдите .

Решение:

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение

прилежащего катета к гипотенузе.

Ответ: 0,8.

В треугольнике АВС угол С равен 90°,

АC = 8, ВС = 5. Найдите .

Решение:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение

противолежащего катета к

прилежащему катету.

Ответ: 0,625.

Сторона равностороннего треугольника

равна .Найдите его высоту.

Решение: Высота – медиана и биссектриса.

Ответ: 18.

На стороне треугольника АВС отмечена точка D так, что АD = 5, DС = 15. Площадь треугольника АВС равна 120.

Найдите площадь треугольника ВСD.

Решение:

Площади треугольников, имеющих одинаковые высоты относятся как основания.

Ответ: 90.

В треугольнике АВС АВ = 15, ВС = 8,

.

Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Ответ: 50.

Синус острого угла А треугольника АВС

равен . Найдите косинус угла А.

Решение:

Ответ: 0,75

М

В треугольнике АВС угол С равен 90°
М – середина АВ, АВ = 42, ВС = 30.

Найдите СМ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности , значит

СМ = АМ = ВМ = 42 : 2 = 21

Ответ: 21

Биссектриса равностороннего треугольника

равна . Найдите его сторону.

Решение:

Любая биссектриса равностороннего треугольника является его медианой и высотой.

Ответ: 20.