Разбор задания №2 "Векторы"

Решение заданий №2

ВЕКТОРЫ по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2025года

Логвинова Мария Алексеевна, учитель математики и информатики

МБОУ «СОШ №14 с УИОП»

Прототип задания 2

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

Решение.

По правилу треугольника:

Найдём длину AD из п/у ∆ AOD

(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD

и ВО = О D = 6, АО = ОС = 8)

С

O

D

В

А

Ответ: 10.

Прототип задания 2

Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 45. Найдите длину разности векторов  и   .

Решение.

По правилу треугольника:

D

С

45

В

А

60

Ответ: 75.

Прототип задания 2

Две стороны прямоугольника ABCD равны 17 и 26. Найдите скалярное произведение векторов  и .

Решение.

D

С

Т.к. векторы ⊥ , то

их скалярное произведение

17

В

А

26

Ответ: 0.

Прототип задания 2

Две стороны прямоугольника равны 15 и 23. Диагонали пересекаются в точке О . Найдите длину суммы векторов  и  .

Решение.

D

С

По правилу треугольника:

О

15

В

А

23

Ответ: 15.

Прототип задания 2

Две стороны прямоугольника равны 13 и 25. Диагонали пересекаются в точке О . Найдите длину разности векторов  и  .

Решение.

D

С

По правилу треугольника:

О

13

В

А

25

Ответ: 25.

Прототип задания 2

Диагонали ромба ABCD равны 54 и 72. Найдите длину вектора .

Решение.

С

Найдём длину из п/у ∆ AOB

(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD

и ВО = О D = 27, АО = ОС = 36)

O

B

D

А

Ответ: 45.

Прототип задания 2

Диагонали ромба ABCD равны 44 и 66. Найдите длину вектора .

Решение.

С

По правилу параллелограмма

O

B

D

А

Ответ: 66.

Прототип задания 2

Стороны правильного треугольника ABC равны . Найдите длину вектора  .

Решение.

М

С

По правилу параллелограмма:

О

а

где АО – высота, медиана,

биссектриса р/с ∆ АВС

А

В

а

Ответ: 135.

9

Прототип задания 2

Стороны правильного треугольника ABC равны 18. Найдите скалярное произведение векторов и   .

Решение.

С

По определению скалярного

произведения, имеем:

18

60 °

А

В

18

Ответ: 162.

10

8 – 2

Прототип задания 2

Дан вектор .

Найдите: 1) координаты вектора; 2) длину вектора.

Решение.

1) координаты вектора :

y

8

2) длина вектора :

2

или :

9 – 1

0

x

9

1

Ответ: 1) {8; 6} ; 2) 10.

11

Прототип задания 2

Даны векторы и .

Найдите: 1) скалярное произведение; 2) длины векторов.

Решение.

Координаты векторов и :

1) скалярное произведение:

2) длины векторов :

y

6

4

x

2

8

0

Ответ: 1) 40; 2) √40; √80.

12

Прототип задания 2

Даны векторы и .

Найдите: 1) сумму координат вектора ;

2) найдите квадрат длины вектора .

Решение.

Координаты векторов и :

1) сумма координат вектора :

2) квадрат длины вектора :

y

6

1) сумма векторов :

4

сумма координат вектора :

x

2

8

0

Ответ: 1) 20; 2) 200.

13

Прототип задания 2

Найдите угол между векторами  и .

Ответ дайте в градусах.

Решение.

y

Координаты векторов и :

Найдём угол между ними через скалярное

произведение :

6

4

x

2

8

0

⇒

⇒

Ответ: 45.

13