Раздаточный материал для урока по теме "Миноры и алгебраические дополнения"

Миноры и алгебраические дополнения

Определение1. Минором М_ij элемента а_ij определителя D n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Пример1. D=; M₁₁=; M₂₃=

Определение 2 Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j.

А_ij=(-1)^i+j· М_ij

Пример2 А₃₁=(-1)³⁺¹ М₃₁= (-1)⁴=-3

Разложение определителя по элементам строки и столбца

Теорема. Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Т.е. для всех I,j=1,2,…,n

D==- разложение по элементам i-й строки

D==- разложение по элементам j-го столбца

Пример 3. Вычислить определитель 4-го порядка

D==(разложим определитель, например, по элементам первой строки)=

D=(-5)=

-5·74-(-15)+(-4)(-31)-33=-370+15+124-33=-264

Упражнение

Вычислить определитель 4 порядка с помощью разложения определителя по элементам 2 столбца

D=

Домашняя работа

1. Вычислить определитель 3-го порядка (разложив по элементам 1 столбца)

2. Вычислить определитель 4-го порядка (разложив по элементам 3 строки)