Брянская область, с. Лакомая Буда
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 01.09.2025 17:23
Каменец Людмила Александровна
учитель математики
23
272 473 
Местоположение
Специализация
Разные способы решения одного тригонометрического уравнения
Категория:
Алгебра
21.01.2025 15:11
Просмотр содержимого документа
«Разные способы решения одного тригонометрического уравнения»
sin x + cos x = 1
1 . Графический способ
sin x = 1 - cos x
sin x + cos x = 1 ,
у = sin x ,
у = 1 - cos x
х 2 = 2Пп, п Z
х 1 = П/2 + 2Пп, п Z
2. Сведение к однородному уравнению
второй степени
sin x + cos x = 1
2 sin x /2 * cos x /2 + cos 2 x /2 – sin 2 x /2 - sin 2 x /2 - cos 2 x /2 = 0
2 sin x /2 * cos x /2 – 2 sin 2 x /2 = 0
2 sin x /2 * ( cos x /2 – sin x /2 )= 0
| : cos x /2 ≠0
cos x /2 – sin x /2 = 0
или
2 sin x /2 = 0
tg x /2 = 1
sin x /2 = 0
x /2 = П /4 + П п, п Z
x /2 = П п, п Z
х 2 = П/2 + 2Пп, п Z
х 1 = 2Пп , п Z
3 . Использование тригонометрических формул
sin x + cos x = 1
По формуле приведения cos x = sin ( П/2 - x ).
Преобразуем сумму синусов
в произведение.
sin x + sin ( П/2 - x ) = 1
х 1 = П/2 + 2Пп, п Z
х 2 = 2Пп, п Z
4. Возведение в квадрат обеих частей уравнения
sin x + cos x = 1
- Проверка:
Числа П , (3 П ) /2, 3 П …
посторонние корни
(не обращают данное
уравнение в верное
равенство).
1 + 2 sin x * cos x = 1
sin 2 x = 0
2 x = П п, п Z
x = ( П п) /2, п Z
Значит корни уравнения
0 , П /2, 2 П , (5 П ) /2 ... т.е.
х = 0, П /2, П , (3 П ) /2,
2 П , (5 П ) /2, 3 П …
х 1 = П/2 + 2Пп, п Z
х 2 = 2Пп, п Z
5. Введение вспомогательного аргумента
sin x + cos x = 1
Разделим обе части уравнения на
Так как 1/ = sin П/4 = cos П/4, то
П Z
х 1 = П/2 + 2Пп, п Z
х 2 = 2Пп, п Z
6 . Метод введения новой переменной
sin x + cos x = 1
Пусть sin x = а, cos x = b . Добавим основное тригонометрическое тождество, составим и решим систему уравнений:
Возвращаемся к подстановке:
или
х= П/2 + 2Пп, п Z
х = 2Пп, п Z
7. Универсальная подстановка
В тригонометрии так называют формулы ,выражающие
функции через тангенс половинного угла.
где
, где
7. Универсальная подстановка
sin x + cos x = 1
или
sin 2 x cos x cos 2 x sin x + cos x sin 2 x +cos 2 x Итак: sin x + cos x 1 Уравнение корней не имеет. Уравнение корней не имеет. " width="640"
- Аналитический метод
(метод оценивания)
sin x + cos x = 1
2). Если аргумент находится
во II четверти, то
1). Если аргумент находится
в I четверти, то
0
0
-1 0
-1 sin x + cos x
Значит, sin x sin 2 x
cos x cos 2 x
sin x + cos x sin 2 x +cos 2 x
Итак: sin x + cos x 1
Уравнение корней
не имеет.
Уравнение корней
не имеет.
- Аналитический метод
(метод оценивания)
sin x + cos x = 1
3 ). Если аргумент находится
в III четверти, то
Проверим решения в «граничных» точках.
sin x
Значит, sin x + cos x
Вычисления подтверждают, что уравнение имеет корни:
Уравнение корней не имеет.
4 ). Если аргумент находится
в IV четверти, то
х= П /2 + 2 П п, п Z
-1
0 1
-1 sin x + cos x
х = 2Пп, п Z
Уравнение корней
не имеет.
Литература
- Соболь Б. В., Виноградова И.Ю. Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд. 7-е. - Ростов н/Д: «Феникс», 2004.
2. Подгорная И.И. Уроки математики. Пособие для поступающих
в вузы. - М., 21006.
3. Шарыгин И.Ф. Математика: решение задач: 10 кл. 3-е изд.- М.:
Просвещение, 21007. (Профильная школа).
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
