Разработка урока по теме "Мир тригонометрии"

« Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества»

Эпиграф урока:

«Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика»

Галилео Галилей

Технологическая карта урока

Предмет: алгебра и начала анализа

Тема: Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества

Тип урока: повторительно-обобщающий

Формы работы:

• фронтальная;

• индивидуальная;

• групповая

Технологии: информационно-коммуникационные

Методы деятельности: репродуктивный и частично- поисковый.

Средства обучения: презентация Power Point, компьютер, проектор, экран, тематическая наглядность (тригонометрический круг), раздаточный материал (карточки)

Цели урока:

образовательные - систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений;

воспитательные - воспитание самостоятельности, работоспособности, способности к сотрудничеству, воспитание патриотизма;

развивающие - развитие коммуникативных способностей, навыков сотрудничества, повышение интеллектуального уровня, кругозора, повышение мотивации к изучению математики.

Задачи урока:

- знакомство учащихся с историей математики;

-повторение ранее изученного материала по тригонометрии;

-повторение формул тригонометрии;

- отработка навыка преобразования тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических формул.

Оборудование:

- мультимедиа проектор, экран, доска, презентация, карточки.

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя: (Слайд 1,2)

«Дорогие друзья!

Беритесь за решение трудных математических задач! И тех, которые только что поставлены, и тех, которые уже многие десятилетия или столетия не поддаются решению.

Вас будут ожидать страдания, вы будете разочарованы, когда вам будет казаться, что вы напрасно потратили годы на поиски ускользающего призрака. Все может быть.

Но вы будете сторицей вознаграждены, когда в один прекрасный день окажетесь перед той заветной целью, к которой так долго и так трудно шли.

Не будьте безучастными и равнодушными, в противном случае это будет духовная смерть»

Я начала наш открытый урок словами Данте о беспредельной жажде познания, с которой должен жить человек.

На нашем уроке вы познакомитесь с интереснейшими фактами, мимо которых никак нельзя пройти равнодушными.

Они взяты наугад из истории математики, густо насыщенной героическими и драматическими эпизодами, исполненными высокого пафоса и гражданского мужества, а нередко забавными и курьезными.

Желаю вам удачи, отличного настроения и хороших результатов.

1. Ученик рассказывает историю первую -Гипатия (Слайд 3)

ГИПАТИЯ

-Вот она, хватайте ее! - архиепископ Кирилл властным жестом указал на паланкин, в котором возлежала молодая красивая женщина.

Толпа, окружавшая архиепископа, с диким ревом бросилась на паланкин. Четверо рослых нубийцев - носильщиков были вмиг опрокинуты и десятки грязных, грубых рук потянулись к женщине.

-Сюда ее, сюда! - продолжал неистовствовать Кирилл. - Тащи ее, проклятую чернокнижницу и язычницу!

Гипатия тщетно пыталась прикрыть свою голову от ударов обезумевшей толпы. Один из слуг Кирилла схватил за волосы несчастную женщину и поволок ее к тому месту, где стоял архиепископ.

-Братья мои во Христе! - зычным голосом закричал Кирилл, стараясь перекрыть им шум возбужденной толпы. - Эта мерзкая язычница не признала учения нашего божественного учителя. Она проповедует богопротивные догматы математики и философии, много лет льет она ядовитое зелье в дело нашей святой христианской церкви! Пришла пора рассчитаться с нечестивицей! Убить исчадие геенны! Очистить наш богоспасаемый город от скверны греха и словоблудия!

Звериный рев потряс площадь. Оборванные, грязные, десятки лет не мытые и нечесаные пустынники, утратившие во славу Христа человеческий разум, ринулись на женщину…

Это случилось в Александрии в 415 году. Гипатия Александрийская была первой известной нам женщиной-математиком. Она была растерзана толпой фанатиков - христиан по наущению архиепископа Кирилла за то, что не убоявшись угроз, продолжала преподавать в Александрийском музее философию и математику.

Учитель

Однажды великого греческого философа Сократа спросили о том, что, по его мнению, легче всего в жизни. Он ответил, что легче всего поучать других, а труднее – познать самого себя. Мы познаем окружающий нас мир. Но сегодня давайте заглянем в себя. Как мы воспринимаем окружающий мир? Как художники или как мыслители?

1) Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П».

2) Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась сверху? Запишите результат.

3) Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху? Запишите результат.

Подведем итоги, учитывая, что результат «ЛЛЛ» соответствует художественному типу личности, а «ППП» - типу мыслителя.

(Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное мышление, у «мыслителей» – соответственно – левое полушарие и логическое мышление).

Какой же тип мышления преобладает у Вас?

Несколько «мыслителей», несколько «художников», большинство – личности, которым свойственно и логическое и образное мышление.

Вот и познакомились ближе: вы – с собой, я – с вами. Можно переходить к познанию темы урока.

3. Сообщение темы и целей урока (Слайд 4)

«Мир тригонометрии- основные тригонометрические тождества»

Цель урока: Главной целью нашего урока является систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений.

4.Разминка

Учитель: в начале проведём разминку.

• Вытянуть правую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на 720 градусов.

• Вытянуть левую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на (-1080) градусов.

• Положите кисти рук на плечи и сделайте по 4 круговых движения вперед и назад. Какова сумма углов поворота?

5. Актуализация опорных знаний: (Слайд 5,6)

За каждый правильный ответ 1 балл. Старший группы заносит баллы в оценочный лист. Также заполняем листы самооценки.

1. Сформулируйте определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, косинуса и тангенса .

2. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, противолежащий катет которого равен 8, а гипотенуза равна 10.

3) Назовите знаки тригонометрических функций по четвертям.

4) Что такое 1 радиан?

5)Перевести:

в радианы

а)30°,45°,90,270°,-720°

в градусы

π, π/3, π/2, -3π, π/18

6.Самостоятельная работа: (Слайд 7)

Учитель: Я думаю мы достаточно подготовились к мини самостоятельной работе, которую проведём в 3-х уровнях. А определиться, кто какой уровень будет писать, могут нам итоги психологического теста.

1 вариант - пишут художники (ЛЛЛ),

2 вариант - пишут ребята со смешенным мышлением (ПЛП),

3 вариант - пишут мыслители (ППП).

‌

Тема: Переход от градусной меры углов к радианной

Переход от радианной меры углов к градусной

Приложение 1

Как вы думаете, зачем надо изучать тригонометрию, встречается ли она в жизни? На этот вопрос нам ответит ,,,,,,, который подготовил небольшой проект по этой теме (Слайд 8)

7. Ученик с презентацией «Зачем нужна тригонометрия?»

Слайд 9

• Тригонометрия – слово греческое и в переводе означает «измерение треугольников». Это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникновение тригонометрии связано с измерениями на земле, строительным делом, астрономией. А первое знакомство с ней произошло тогда, когда вы взяли в руки транспортир. Тригонометрия возникла в древние времена из потребностей людей при ведении расчетов, связанных с земельными работами (определение расстояния до недоступных предметов, составление географических карт и пр.).

Слайд 10

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд.

Слайд 11

Тригонометрическая символика с годами совершенствовалась. Лишь в трудах Л.Эйлера в XVIII в. она приобрела современный вид, удобный для решения вычислительных задач, а Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символику тригонометрических функций.

Слайд 12

Тригонометрия делится на плоскую, или прямолинейную, и сферическую тригонометрию.

Слайд 13,14

Теория тригонометрических функций (гониометрия) и её приложения к решению плоских прямоугольных и косоугольных треугольников мы с вами изучаем в средней школе . Вспомним Основные формулы плоской тригонометрии .

Слайд 15 Сферическая тригонометрия рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов на сфере. Исторически сферическая тригонометрия и геометрия возникли из потребностей астрономии, геодезии, навигации, картографии.

Слайд 16 Давайте прислушаемся к биению своего сердца. Сердце – самостоятельный орган. Головной мозг управляет любой нашей мышцей, кроме сердечной. У нее есть собственный центр управления – синусный узел. При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла (размером с просяное зерно)– распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду)

Слайд 17 А теперь поговорим о музыке. Математика – это музыка, это союз ума и красоты. 
Музыка – это математика по вычислениям, алгебра по абстрагированию, тригонометрия по красоте. Гармоническое колебание (гармоника) – это синусоидальное колебание.

Слайд 18

Почему летом теплее, чем зимой? Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты

ПОТОК ЭНЕРГИИ, ИДУЩЕЙ ОТ Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности.

Слайд 19

Итак восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года, биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы – модели этих многообразных процессов описываются тригонометрическими функциями.

Звук, электрический ток, радио представляют собой колебания различной частоты и амплитуды.

Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

8. Повторение формул приведения

Учитель: Поблагодарим ????? за столь интересное выступление. А теперь настало время повторить формулы приведения.

Но сначала послушайте такую историю: Слайд 20

История: (Лошадиное правило).

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента ( п/2+ а ) или (п + а).

Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять».

Предлагаю вжиться в образы и решить примеры, применяя «Лошадиное правило». На слайде, есть подсказки, для определения знаков функции.

Ученик отвечает у доски.

1) sin (90° + х) =

2) cos (180°- х) =

3) tg (180° + х) =

4) sin (360° + х) =

5) sin (270° - х) =

6) cos (7 п + х) =

Учитель: Ещё раз проверим себя на применение формул приведения. Практическая работа с самопроверкой.

Учитель: После плодотворной работы положен отдых. Послушаем ещё один исторический факт.

9. ЭЙЛЕР (Слайд 21)

ЭЙЛЕР.

… Работа была трудной. Цифры, цифры, цифры…Колонки цифр, страницы цифр, стопки исписанных страниц…

Стенные часы пробили половину третьего. Эйлер встал из-за стола. Комната была погружена во мрак. Свет единственной свечи, стоявшей на столе, освещал лишь небольшой заваленный бумагами круг.

Несколько шагов по мягкому ковру, несколько взмахов руками. Глубока усталость, вызванная изнурительной много часовой работой, не проходила. Ломило грудь, ныла поясница, несколько раз мучительно резко потянуло в глазу. Откуда такие немощи? Это в двадцать-то восемь лет!

На какой-то миг пронзительно захотелось бросить все, залечь в теплую мягкую постель и отоспаться за все долгие-долгие бессонные ночи. Но это невозможно. Его честь, честь ученого поставлена на карту. Надо за трое суток выполнить важное задание, во что бы то ни стало. Работа и вправду оказалась трудной, но в то же время чрезвычайно захватывающей. Настолько захватывающей, что математик, забывая сон и еду, весь отдавался во власть чарующей гармонии строгих зависимостей.

Эйлер потер глаза ладонью. Боль, кажется, немножко утихла.

Работа была окончена в срок. Но оставила после себя страшный, чудовищный след - глаз, его правый глаз, так мучительно нывший в последнее время, не выдержал сверхчеловеческого напряжения и вытек. Двадцатидевятилетний математик стал кривым. Но не перестал вычислять. А когда вычислять стало уже нельзя, прекратилась и жизнь.

После его смерти сказали так:

«Эйлер перестал вычислять и жить. Именно так - вычислять, а потому и жить!»

Это был один из величайших математиков всех времен. Родился он в начале восемнадцатого века в Швейцарии, но почти половину своей долгой жизни прожил в России. Здесь он умер, здесь и покоится его прах. Мы по праву называем Эйлера отечественным математиком.

10. Повторение основных тригонометрических формул.

Учитель: - Следующий этап нашего урока - это повторение основных формул тригонометрии

Ваша задача дописать формулу, чтобы получилось верное тождество.

11. Слайд 22

Далее вас ждёт проверка усвоенного материала с помощью теста

на упрощение тригонометрических выражений с использованием основных тригонометрических формул.

Два человека пойдут работать к доске, выполнять индивидуальную работу по карточкам.

Остальные выполняют тест на упрощение тригонометрических выражений с использованием основных тригонометрических формул.

У вас на столах лежат цветные кружочки. Разберите их по цвету. Какой вам больше нравится. Соответственно вы сейчас определились с выполнением варианта теста. Интересный факт, ребята, выбравшие красный кружочек, по психологии цвета считаются активными, волевыми, они будут писать 1 вариант.

А ребята выбравшие синий кружок, считается нуждаются в поддержке окружающих. Они будут писать второй вариант, но им разрешается обратиться за помощью к товарищам, если им таковая понадобится.

На выполнение работы даётся 3 минуты.

Тест в двух вариантах .

Вариант 1

1. Упростить выражение:

9 cos²а +9sin²а - 10

а) -1; б) 0; в) sin²а; г) 10.

2) Упростить выражение:

8 – 3 sin²а - 3cos²а

а)1+ sin²а; б) cos²а-1; в) 1; г) 5.

3) Упростить выражение:

  (1 –sin²а): sin²а– сtg²а

а) sin²а ; б) 0; в) 2сtg²а г) sin²а

4) Упростить выражение

  sin⁴х + sin²х·cos²х

а) sin⁴х; б) 2sin²х; в) sin ²x г) cos²x

Вариант 2

1. Упростить выражение:

7 cos²а +7sin²а - 5

а) 1+cos²а; б) 2; в) –12; г) 12

1. Упростить выражение:

5 – 4 sin²а - 4cos²а

а) 1; б) 9; в) 1+8sin²а; г) 1+cos²а.

1. Упростить выражение:

(1 – cos²а): cos²а – tg²а

а) ctg²а; б) 0; в) ctg²а - tg²а; г) 2tg²а

1. Упростить выражение:

cos⁴х + sin²х·cos²х

а) cos²x; б) 2sin²х; в)- cos²х; г) cos⁴х

Ответы теста на экране через 3 минуты

Ответы:

Вариант 1: 1а, 2г, 3б, 4в Слайд 23

Вариант 2: 1б, 2а, 3б, 4а

Учитель: Слайде 24

- Проверим ребят , которые работали у доски. Им было предложено задание из

ЕГЭ, которое они должны были решить каждый своим способом.

1.Решить с помощью тригонометрических формул

2.Решить с помощью определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

- Как вы думаете, какой способ для вас предпочтительнее?

13. Групповая работа

Тогда давайте это проверим. Выполним практическую работу, в которой присутствуют типичные задания по нашей теме из Единого Государственного экзамена.

Работать вы будите в группах, на которые разбились изначально. Также у вас есть оценочный лист группы. Его будет заполнять старший группы.

Ведушие специалисты в группах:

1 группа –

2 группа –

3 группа –

Класс разбивается на 3 группы и решают задания из сборников по подготовке к ЕГЭ ( Приложение2) Слайде 25

14. Это интересно! Слайд 26

Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на слайде). Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения.

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, т.е. 0.

Введем нумерацию пальцев:

мизинец № 0 – соответствует 0,

безымянный № 1 – соответствует 30,

средний № 2 – соответствует 45,

указательный № 3 – соответствует 60,

большой № 4 – соответствует 90.

Учитель: А теперь снова заслуженный отдых. История третья - Архимед

14. Ученик рассказывает историю третью - АРХИМЕД Слайд 27

Архимед

Жителей Сиракуз трудно было удивить неожиданностями, но то что случилось в жаркий полдень лета от первой Олимпиады, не оставило равнодушными даже их. По главной улице города, по раскаленным от жаркого солнца плитам мостовой, высоко задирая кверху бороду, бежал старик и с восторгом выкрикивал одно и то же слово:

-Эврика! Эврика!

Старик был почти гол, бурая пена пятнами покрывала его спину и время от времени падала наземь. Вслед за стариком бежала стая ребятишек, создавая шум, который был слышен на морском берегу. На этот шум с разных сторон сбегались праздные сиракузсцы. Часть из них устремлялась вслед за мальчишками, часть с недоумением глазела на это забавное зрелище.

Бег закончился перед домом Гиерона. Старик, приняв немножко театральную позу, произнес торжественным голосом:

-Царь! Эврика! Я узнал, сколько золота содержится в короне!

Никто не отозвался.

-Царь! - повысил голос старик. - Я нашел способ узнать, обманул тебя ювелир или нет!

Снова никакого ответа. В толпе загудели, пытаясь выяснить, кто это такой.

Плешивый горшечник высказал предположение, что старика, кажется, зовут Архимедом. Так именно называл его Гиерон, когда они два дня назад беседовали на городской площади. Несколько голосов немедленно подтвердили это…

Это случилось в 3 в. до н. э. Говорят, что примерно так вел себя Архимед, когда открыл свой знаменитый закон о погружении тел в жидкость.

15.Подведение итогов урока: учитель с заключительным словом.

Заключение

Итак, одну терзают разъяренные христиане, другой от чрезмерного напряжения теряет свой глаз, третий забылся до того, что, выскочив из ванны, побежал по улице почти голым,

Математика - это орудие, с помощью которого человек познает и покоряет окружающий мир. Но это - особое орудие. Оно покоряет не только внешний мир, оно властно подчиняет себе и того, кто за него берется. А, подчинив, оно не остановит его перед тем, чтобы принести во имя науки любые жертвы, которые она от него потребует. Чтобы сделать в математике что-то действительно ценное, надо любить, ее так, как любил ее каждый из трех упомянутых математиков, как любили ее десятки и сотни других ее ревнителей.

Не спорьте с безумствующими архиепископами, не бегайте голыми по улицам, не жертвуйте своими глазами во имя науки, но сделайте хотя бы малую часть того, что сделал каждый из них, и мир навсегда останется Вам благодарным.

Наш урок подходит к концу. Надеюсь, что этот удивительный язык – язык формул, стал вам понятнее. В начале урока я пожелала вам отличного настроения, и сейчас, в конце урока, я хочу узнать о вашем настроении. А узнать мы его сможем, если продолжим несколько фраз.

16.Рефлексия урока Слайд 28

Продолжите фразы:

- сегодня на уроке я узнал …

- сегодня на уроке я научился…

- сегодня на уроке я повторил…

- сегодня на уроке я познакомился…

- сегодня на уроке мне понравилось…

Учитель: Домашнее задание я вам приготовила в виде интересных старинных и современных задач. Прошу вас после урока перекинуть его к себе в группу. Слайд 29-32

А еще нам необходимо подвести итоги и поставить те оценки, которые вы заработали.

Если останется время на уроке , то ученикам предлагается решить кроссворд. Слайд 33

Источники информации: Слайд 34

http://laila50.livejournal.com/111671.html

http://blogs.mail.ru/mail/kareglazka_liana/726E0A12FACCD455.html

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/Archimedes_and_the_burning_mirrors.html

http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/ARHIMED.html?page=0,3

http://kid-mathematics.narod.ru/eiler.htm

http://flotprom.ru/publications/history/slava/eiler/

Н.И. Кованцов «Математика и романтика»

Приложение №1

Самостоятельная работа

Приложение №2

Тест

1 вариант

1. Упростить выражение: 9 cos²а+ 9sin²а - 10

а) -1; б) 0; в) sin²а; г) 10.

2) Упростить выражение: 8 – 3 sin²а - 3cos²а

а)1+ sin²а; б) cos²а-1; в) 1; г) 5.

3) (1 –sin²а): sin²а– сtg²а

а) sin²а; б) 0; в) 2сtg²а; г) sin²а.

4) Упростить выражение: sin⁴х + sin²х·cos²х

а) sin⁴х; б) 2sin²х; в) sin ²x; г) cos²x.

2 вариант

Упростить выражение: 7 cos²а +7sin²а - 5

а) 1+cos²а; б) 2; в) –12; г) 12

2) Упростить выражение: 5 – 4 sin²а - 4cos²а

а) 1; б) 9; в) 1+8sin²а; г) 1+cos²а.

3) Упростить выражение: (1 – cos²а): cos²а – tg²а

а) ctg²а; б) 0; в) ctg²а - tg²а; г) 2tg²а

4) Упростить выражение: cos⁴х + sin²х·cos²х

а) cos²x; б) 2sin²х; в) - cos²х; г) cos⁴х

Приложение №3

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАБОТЫ В ГРУППАХ

1 ГРУППА.

Решить задачи:

1. В треугольнике АВС АС = ВС = 5, _{ }. Найдите АВ.

2. Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

2 ГРУППА.

Решить задачи:

1)В треугольнике АВС угол С равен 90, угол А равен 60, АВ = 8. Найдите АС.

2)Найти площадь фигуры , изображенной на рисунке

3 ГРУППА.

Решить задачи:

1. В треугольнике АВС угол С равен 90, _{ }. Найдите _{ }

2. Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

Индивидуальные задания для работы у доски.

1.Решить с помощью тригонометрических формул

Дано cost=0,4; 90°t