Разработка урока по теме «Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций »

Урок алгебры в 8 классе по теме

«Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций »

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Цели урока.

Обучающие:

• формирование умений и навыков переводить реальные ситуации в различные математические модели;

• закрепить умения решать рациональные уравнения и определять, соответствуют ли найденные корни условию задачи;

• Закрепить знания правил дорожного движения для пешеходов через решение текстовых задач.

Развивающие:

• развитие познавательной активности учащихся;

• развитие творческих способностей ;

• развитие интереса к предмету;

• применение знаний в нестандартных и проблемных ситуациях;

• интеллектуальное развитие учащихся;

• развивать алгоритмическое и структурное мышление учащихся;

• навыки устной и письменной речи.

Воспитательные:

• воспитание ответственности, самостоятельности, критичному отношению к себе, организованности, дисциплинированности, настойчивости;

• формировать качества мышления, необходимые для продуктивной жизни в обществе;

• воспитывать культуру умственного труда, способствовать укреплению здоровья;

• воспитывать навыки общения.

• воспитание культуры безопасного поведения детей на дороге через закрепление знаний правил дорожного движения.

Оборудование урока:

1.Компьютер, проектор, интерактивная доска.

2.Презентация к уроку.

3.Карточки с заданием для игры в «лото», стикеры с ответами с одной стороны и заданием с другой.

4. Учебник комплект Мордковича А.Г.

Формы обучения: коллективная, индивидуальная, работа в парах.

Структура урока.

1.Постановка целей и задач урока.

2.Актуализация прежних знаний и способов действий.

2.1.Игра «лото».

2.1. Повторяем правила дорожного движения.

3.Формирование новых знаний и способов действий.

4. Применение – формирование умений и навыков.

5. Рефлексия.

6. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Постановка целей и задач урока. (Организационный момент)

Учитель: - Ребята, перед вами написана тема урока. Какие знакомые словосочетания вы здесь видите?

Ученики: - Рациональные уравнения;

-Математические модели;

-Реальные ситуации.

Учитель:- Предположите, чем же будем заниматься сегодня на уроке?

Ученик: - Решать задачи, математические модели которых будут рациональные уравнения.

Учитель: - Причем здесь дороги?

Ученик: - текстовые задачи на движение по дорогам.

Учитель:- Итак, в 7-м классе, после изучения темы «линейные уравнения» и «системы уравнений», были уроки, на которых решали текстовые задачи, математической моделью которых являлись линейные уравнения. Сейчас, изучив квадратные, рациональные уравнения, логично будет рассмотреть текстовые задачи, решение которых сводиться к этим уравнениям. Ребята, скажите, когда вы находитесь в транспорте, от кого зависит ваша безопасность?

Ученик:- От водителя.

Учитель:- А вот когда вы являетесь пешеходом, от кого зависит ваша безопасность?

Ученик: В первую очередь от нас, потом уже от водителей на дороге, других обстоятельств.

Учитель: Попробуйте сформулировать цель урока.

Ученик: Закрепить знания правил дорожного движения для пешеходов через решение текстовых задач.

Ученик: Решение задачи с помощью квадратных и рациональных уравнений.

Учитель еще раз знакомит учащихся с целями урока.

Учитель: По данным статистики Одинцовского района около одной тысячи пешеходов были привлечены к административной ответственности за нарушение правил дорожного движения в течение этого 2010 года, только с 1 июня по 11 октября зафиксировано 9 несчастных случаев в дорожно-транспортных происшествиях с детьми и подростками г. Одинцово, 7 из них по вине пешеходов, есть погибшие. Возраст этих подростков с 11-16 лет, именно в этом возрасте родители разрешают самостоятельно детям передвигаться по городу. Все вы знаете правила дорожного движения, их немного для пешеходов, но ситуации бывают разные, все зависит от вашей внимательности, от того как вы оцените ситуацию на дороге, проанализируете ее, и какое примите решение. Сегодня на уроке будем решать задачи, сюжеты которых соответствуют реальным ситуациям.

2. .Актуализация прежних знаний и способов действий.

Учитель: Прежде чем приступить к решению задач, выполним тест с простейшими уравнениями, игра «Лото». Необходимо решить уравнение, для этого используем рабочую тетрадь. Выбрать правильный ответ на листочках (стикерах самоклеющихся), наклеить на соответствующее уравнение в карточке, ответом вниз, так как с другой стороны листочка написаны части слов. По окончании работы на карточке будет записан вопрос по правилам дорожного движения.

Вариант 1.

Листочки с ответами 1варианта.

Вариант 2.

Листочки с ответами 2 варианта.

После обсуждения, на слайде - правила дорожного движения.

-« Пешеходы должны пересекать проезжую часть по пешеходным переходам, в том числе по подземным и надземным, а при их отсутствии — на перекрестках по линии тротуаров или обочин.
  При отсутствии в зоне видимости перехода или перекрестка разрешается переходить дорогу под прямым углом к краю проезжей части на участках без разделительной полосы и ограждений там, где она хорошо просматривается в обе стороны.»

-« На нерегулируемых пешеходных переходах пешеходы могут выходить на проезжую часть после того, как оценят расстояние до приближающихся транспортных средств, их скорость и убедятся, что переход будет для них безопасен. При пересечении проезжей части вне пешеходного перехода пешеходы, кроме того, не должны создавать помех для движения транспортных средств и выходить из-за стоящего транспортного средства или иного препятствия, ограничивающего обзорность, не убедившись в отсутствии приближающихся транспортных средств.»

3. Формирование новых знаний и способов действий.

Учитель напоминает учащимся, что решение текстовых задач оформляется в виде трех этапов математического моделирования, при решении задачи можно придерживаться схеме (приложение 1).

Коллективное решение задачи по теме.

«Паше и Диме необходимо перейти дорогу, где был нерегулируемый пешеходный переход (смотри схему движения). Паша всегда соблюдал правила дорожного движения, поэтому он пошел по пешеходному переходу, пройдя некоторое расстояние до него и по «зебре» на 4 шага меньше. Дмитрий пошел наискосок, сделав на 8 шагов больше, чем Паша прошел по «зебре». Мальчики были примерно одного роста, длина их шага была в среднем 0,5м. Средняя скорость подростков 1,2м/c. Определите, сколько времени сэкономил Дмитрий?»

Паша

Дима

Решение. Первый этап. Составление математической модели.

Вопросы: - Что необходимо знать для того, чтобы сравнить время?

- Что необходимо знать для того , чтобы найти расстояние?

- Чем можно дополнить схему движения для удобной записи?

Рассуждения учащихся: обозначим буквами АВ - расстояние до пешеходного перехода, ВС. - длина пешеходного перехода, АС - путь Димы (наискосок). Пусть х шагов сделал Паша по пешеходному переходу, тогда до перехода он сделал х+4 шага. Дима наискосок сделал х+8 шагов. Заметим, что движение подростков на схеме представляет из себя прямоугольный треугольник. АВ и ВС катеты, АС- гипотенуза. Так как длина шага 0,5м, то ВС=0,5х, АВ= 0,5(х+4)=0,5х+2, АС=0,5(х+8)=0,5х+4. По теореме Пифагора составим равенство АВ²+ ВС²=АС²

(0,5х+2)²+(0,5х)²=(0,5х+4)².

Второй этап. Работа с составленной моделью.

…0,25х²-2х-12=0, х²-8х-48=0 - квадратное уравнение. Решение: х₁ = - 4; х₂=12.

Третий этап. Исследование задачи и ответ на вопрос задачи.

Количество шагов определяется положительным числом. Следовательно, - 4 нас не устраивает, значит, 12 шагов сделал Паша по переходу, т.е. его длина перехода 0,5 *12=6 метров. Расстояние до перехода 0,5 * 16=8 метров. Расстояние, которое преодолел Дима 0,5*20=10 метров. Используя формулу пути S=Vt, найдём время, потраченное на переход, каждого подростка.

T_паши=14: 1, 2 =11,66…=12 секунд

T_димы=10:1, 2=8, 33…=8 секунд.

Т_паши – Т_димы=12-8=4 секунды.

Ответ. Дима сэкономил 4 секунды.

Вопрос: Стоит ли рисковать жизнью ради 4 секунд?

4. Применение – формирование умений и навыков.

Самостоятельная работа в парах.

Задача. «Успеет ли перейти пешеход дорогу на нерегулируемом пешеходном переходе, если его ширина 7 метров ( 6 метров – ширина двухполосной дороги и по 0,5 м дорожки), а автомобиль находится от пешеходного перехода на расстоянии 100,2 метров, если известно, что скорость автомобиля больше скорости пешехода на 15, 3 м/с?»

Наводящие вопросы к задаче: (на слайде)- Нахождение, какой величины подразумевает вопрос задачи?

- Какой может быть наименьшей разница между этими величинами?

( В процессе работы учитель помогает некоторым ученикам. Учитель все время наблюдает за работой учеников, отмечая, кому из учеников и в чем он помог. Затем задача проверяется и оценивается с учетом степени самостоятельности ученика.)

Один вариант решения задачи.

Первый этап. Составление математической модели.

Пешеход успеет, если время движения автомобиля до пешеходного перехода будет как минимум больше времени движения пешехода по переходу на 1 секунду.

t_автом. t_пеш. на 1 секунду. Обозначим за х скорость пешехода, тогда х+15, 3 – скорость автомобиля. - время автомобиля, -время пешехода.

Составим уравнение: - =1.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

- =1; = 1; х² – 77,9х + 107,1=0 ; Д = 5640,01

х₁=1,4; х₂= 76,5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Пешеход не может идти со скоростью 76,5 м/с, значит, этот корень уравнения не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость пешехода 1,4 м/c.

Время движения пешехода по переходу 7: 1,4=5 секунд. Время движения автомобиля до пешеходного перехода 100,2: (1,4+15,3)=6 секунд.

Автомобиль двигался до перехода дольше, чем пешеход. Следовательно, если автомобиль будет находиться на расстоянии больше, чем 100,2 метров, пешеход успеет перейти дорогу.

5. Рефлексия.

Подвести итог урок. Мнение ребят «Нужны ли такие задачи на уроках? Помогают ли они лучше усвоить правила дорожного движения? Было ли тебе интересно?». Выставить оценки . Сообщить, что следующий урок по этой теме также будет иметь тематическую направленность-решение задач по экономике.

6. Домашнее задание. П.27 № 27.2; 27.13.

Дополнительно. «Для одного из предприятий - монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p(тыс.руб) задаётся формулой q=255 – 15p. Определите максимальный уровень цены p(в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r=qp составит не менее 90 тыс. руб.»