Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Занятие 56. Тема «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными»

План лекции:

1. Понятие ДУ с разделяющимися переменными

2. Метод решения ДУ с разделяющимися переменными

3. Решение задачи Коши

Понятие ДУ с разделяющимися переменными

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка существуют такие, в которых возможно переменные x и y разнести по разные стороны знака равенства. В уравнениях вида   переменные уже разделены, а в уравнении   переменные разделяются посредством преобразований. Кроме того, некоторые дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными после введения новых переменных.

Определение. Дифференциальные уравнения   , а также уравнение называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.

Метод решения ДУ с разделяющимися переменными

1. Уравнение вида решается методом интегрирования обеих частей уравнения, при этом число С ставится в правой части, где переменная х. То есть . Интегралы вычисляются определенным методом интегрирования, которые мы с вами изучили.

Пример1. Найти общее решение ДУ с разделяющимися переменными

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения

Интегралы табличные, поэтому решение будет следующим - это общий интеграл дифференциального уравнения, который записывается в ответ.

Пример2. Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными .

Решение: Проинтегрируем обе части равенства:  . По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных:

 
где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Мы пришли к неявно заданной функции  , которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде.

1. Уравнение вида для начала преобразовывается следующим образом: все, что содержит у перенести в левую часть, а все, что содержит х перенести в правую часть, то есть разделить переменные по сторонам. В итоге получим уравнение первого вида

При разделении переменных следует быть очень внимательными, чтобы проводимые преобразования были эквивалентными (чтобы f₂(y) и g₁(x) не обращались в ноль на интервале интегрирования). В противном случае можно потерять некоторые решения. Разберемся с этим на примере.

Пример 3. Найти все решения дифференциального уравнения 

Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y:

Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество

  , поэтому, y=0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными

В преобразованиях мы заменили C₂ - C₁ на С.

Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции 

Ответить на контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Перечислите виды ДУ.

3. Что значит решение дифференциального уравнения?

4. Назовите виды решений ДУ.

5. Как решается диф.уравнение?

6. Пользуясь этим и теоретическим материалом учебника П.Е. Данко «Высшая математика в упражнениях и задачах» часть 2 глава IV §1 п.2 стр.118, разобрать №507, №510 и найти общее решение ДУ и решить задачу Коши при условии у(1)=2.