«Решение комбинаторных задач. Сочетания»

Тема урока: «Решение комбинаторных задач. Сочетания»

Место урока в учебном плане: «Комбинаторика. Случайные события» урок 2/8.

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

Образовательные:

• ознакомить с типами задач на сочетания их решения;

• сформировать умения решать задачи на сочетания различными методами,

• продолжить формирование навыков решения задач на перестановки.

Развивающие:

• способствовать развитию логического мышления,

познавательного интереса учащихся,

памяти, внимания,

умения сравнивать и анализировать,

Воспитательные:

• воспитание интереса к изучению математики,

трудолюбия,

культуры учебного труда,

культуры речи, самостоятельности,

умения работать в коллективе.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый,.

Формы познавательной деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная.

УМК: Математика: учебник для 6 кл. под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина и др., изд-во «Просвещение», 2008 г.; Математика, 5-6 : кн. для учителя / [С. Б. Суворова, [ Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова]. — М. : Просвещение, 2006.

Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран, презентация к уроку..

Программное обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Дидактический материал: карточки для самостоятельной работы, карточки для работы на доске.

Литература:

1. Математика : учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — 10-е изд. — М. : Просвещение, 2008.—302 с.: ил. — (Академический школь­ный учебник).

1. Математика, 5—б : кн. для учителя / [С. Б. Суворова, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова]. — М. : Просвещение, 2006. — 191 с. : ил.

2. Математика. 6 класс: поурочные планы по учебнику Г. В, Дорофеева, С. Б. Суворовой, И. Ф. Шарыгина и др. Часть II / авт.-сост. Т. Ю. Дюмина. - Волгоград: Учитель, 2006. - 247 с.

3. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7—9 классы. / авт.- сост. В. Н. Студенецкая. Изд. 2-е, испр. - Волгоград: Учитель, 2006. -428 с.

4. Уроки математики с применением информационных технологий. 5-10 классы. Методическое- пособие с электронным приложением / Л.И. Горохова и др. 2-е изд., стереотип. -М.: Издательство «Глобус», 2010. - 266 с. (Coвременная школа).

5. Преподавание математики в современной школе. Методические рекомендации. Владивосток: Издательство ПИППКРО, 2003.

6. Автор-составитель - Р.И. Махиня, главный методист ПИППКРО, заслуженный учитель РФ, Рецензенты: Г.К. Пак, кандидат физико-математических наук ДВГУ; Е.А. Ланкина, кандидат физико-математических наук ДВГУ.

7. http://mmmf.math.msu.su/

8. http://portfolio.1september.ru/

9. http://combinatorica.narod.ru/

План урока:

1. Оргмомент

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация знаний

   • устная работа

   • решение задач у доски по карточкам и самостоятельно с проверкой (условия и ответы на слайдах)

4. Объяснение нового материала.

5. Физкультминутка.

6. Формирование умений и навыков решения задач на сочетания всеми приемлемыми способами.

• Решение задач на доске и в тетрадях с обсуждением.

• Решение задач самостоятельно со взаимопроверкой.

1. Итоги урока

2. Домашнее задание.

Ход урока

1. Оргмомент

2. Проверка дом. задания (фронтально) и сверить ответы с решениями

(Слайды 2-4)

3. Актуализация знаний. Устная работа

(Слайд 5)

Вызвать к доске 4 учащихся – решение задач по карточкам.

Учащиеся в тетрадях решают самостоятельно решают задачи.

(Слайды 6,7)

Ответы к задачам самостоятельной работы

(Слайды 9,10)

Способ решения первой задачи называется методом графов.

4. Объяснение нового материала

Учитель. Запищите в тетрадь тему урока.

На прошлом уроке вы познакомились с комбинаторными задачами на перестановки. Сегодня мы рассмотрим другой вид задачи. Чтобы понять их особенности, решим две задачи.

(Слайды 12-14)

Таким образом, выбрать двух школьников из четырех можно шестью

способами.(Обратите внимание, что числа расположены в виде треугольника.)

Задача 2 (рассмотреть задачу 2 из школьного учебника).

(Слайд 16)

Каждый из языков обозначим его первой буквой, и тогда каж­дый словарь будет «словом» из двух букв: например, АН — это ан­гло-немецкий словарь, а НА — немецко-английский.

Выпишем эти «слова» в алфавитном порядке, причем для удобства подсчета вариантов каждую группу «слов», начинающихся с одной и той же буквы, расположим в отдельной строке.

Сначала фиксируем букву А и добавляем к ней все остальные буквы, кроме, естественно, самой буквы А. Так мы получим пер­вую строку: АН, АР, АФ. Затем фиксируем букву Н и, добавляя к ней остальные буквы, получаем вторую строку и т. д. В резуль­тате получим 12 «слов»:

(Слайд 17)

Таким образом, переводчику понадобится 12 словарей.

Задача № 3.

(Слайд 18)

(Слайды 19,20)

Учитель: - Что общего в рассмотренных задачах? (В рассмотренных задачах из четырех элементов нужно было выбрать всевозможными способами два.)

- Почему в первой задаче мы получили 6 способов, а во второй 12? (В первой задаче коды 12 и 21 считались одинаковыми, а во второй АН и НА - разными.)

Учитель. Таким образом, в обеих задачах нужно было, как говорят в математике, составить сочетания из четырех элементов по два.

В первой задаче нам был не важен порядок этих сочетаний, то есть выбор двух школь­ников был равноправен.

А во второй задаче при работе с двумя языками, например русским и английским, нужны два словаря: англо-русский и рус­ско-английский. Поэтому порядок сочетаний был важен, и именно поэтому в результате получилось ровно в два раза больше вариантов.

Вопрос:

- Как можно изменить условие первой задачи, чтобы в результате полу­чилось не 6, а 12 вариантов?

Учитель.

(Слайд 21,22)

(Слайд 23)

Решаются они с помощью кодирования и подсчета кодов путем расположения их треугольником, с помощью дерева вариантов, таблиц.

Рассмотрим еще одну задачу (задача 3 из учебника).

Задача 3. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?

Дадим каждому из приятелей номер — от 1 до 8. Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Например, двузначное число 47 — это рукопожатие между приятелями под номерами 4 и 7.

Ясно, что среди кодов рукопожатий у нас не появится, напри­мер, 33 — это означало бы, что один из друзей пожал руку сам себе. Кроме того, такие коды, как, например, числа 68 и 86, оз­начают одно и то же рукопожатие, а значит, учитывать надо толь­ко одно из них. Договоримся, что из чисел, кодирующих одно и то же рукопожатие, мы всегда будем учитывать меньшее. Поэтому из чисел 68 и 86 надо выбрать 68.

Коды рукопожатий естественно выписывать в порядке возрас­тания. Для подсчета их удобно расположить треугольником:

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

23, 24, 25, 26, 27, 28,

34, 35, 36, 37, 38,

45, 46, 47, 48,

56, 57, 58,

67, 68,

78.

Число кодов равно: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. Таким образом, всего было сделано 28 рукопожатий.

Как вы думаете, можно решить эту задачу методом графов или таблицы? (Да)

5. Физкультминутка. (Слайд 24)

6.Формирование знаний и умений.

Решение задач на сочетания из учебника № 868, 869 на доске и в тетрадях. (Слайд 25)

№ 868. Выпишите все возможные двузначные и трехзначные числа, которые мож­но составить из цифр 0, 1,2, 3, используя каждую цифру в записи толь­ко один раз.

Проверка решения задачи:

(Слайд 26)

869. а) На соревнование по легкой атлетике нужно отправить двух мальчиков из пяти лучших спортсменов среди шестиклассников — Антона, Петра, Бо­риса, Володи, Коли. Перечислите все варианты выбора участников сорев­нования. Сколько этих вариантов?

б) Для участия в эстафете 2x100 м нужно выбрать двух мальчиков из пя­ти, обязательно указав, кто побежит первым, а кто — вторым. Перечисли­те все варианты выбора участников соревнования в этом случае. Сколько этих вариантов?

Проверка решения задачи:

(Слайд 27)

№ 870 самостоятельно с проверкой на слайде.

870. На районной олимпиаде по математике оказалось шесть победителей. Од­нако на областную олимпиаду можно отправить только двоих.

а) Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов? Указание. Дайте каждому победителю номер — от 1 до 6.

б) Сколько существует вариантов, если один из шести ребят признан луч­шим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде?

(Слайд 28)

Самостоятельная работа

Самостоятельно решить в тетрадях следующие задачи. Затем поменяться тетрадью с соседом и взаимообразно проверить решения соседа и оценить.

(Слайд 29,30)

Проверка решения задач:

(Слайд 31,32)

(Слайд 33, 34)

1. Итоги урока

Вопросы учащимся:

- В чем состоит особенность задач на сочетания?

- Какие два вида таких задач существуют? В чем состоит их отличие?

- Если нужно выбрать всевозможными способами из п элементов т эле­ментов, то в каком случае получится больше вариантов: когда порядок важен или когда порядок не важен? (Слайд 35)

8. Домашнее задание. (Слайд 36)

№ 875, стр.207 № 4. инд.№ 884.

Придумать по 2 задачи сочетание.

Спасибо за урок. (Слайд 37)

11