Решение логарифмических неравенств. Методы отбора корней. Типичные ошибки обучающихся.

Тема: Решение логарифмических неравенств. Методы отбора корней. Типичные ошибки обучающихся.

Добрый день. Предлагаю рассмотреть способы решения и ошибки в решениях задания профильного уровня математики ЕГЭ этого года №15. Данное здание входит в число тех, к которым учащиеся приступают чаще всего. Поэтому, применяя различные методы решения данного задания мы можем предупредить те ошибки, которые ученики допускают на экзамене и тем самым позволить учащимся быть более успешными. Текст задания вы видите на экране.

Решить неравенство:

Рассмотрим, как можно было бы решать данное неравенство разными подходами. Заметим, что 625 это 5⁴, следующее, что можно заметить, что выражение это точный квадрат выражения (х+2)^2, следовательно, неравенство может быть записано следующим образом:

Далее приводим множители в левой и правой части к такому виду, чтобы они стали одинаковыми:

В правой части выносим 2 очень аккуратно, не забываем, что появляется модуль, но за счет того, что выражение (х+2) есть в левой части, используя свойства логарифмической функции модуль опускаем, но не забываем, что х-2. Исходное неравенство мы преобразовали в неравенство вида: .

Далее рассмотрим несколько способов решения данного неравенства.

Способ 1. Левая часть неравенства - это произведение двух множителей, значит есть две возможности, когда оба выражения принимают неотрицательные или неположительные значения.

Первая возможность: → →

Отметим все на числовой прямой:

-1

Зафиксируем этот момент: [

Рассмотрим вторую возможность, когда оба множителя принимают неположительные значения. Аналогично повторим все для 2 случая: → →

-1

-2

Получаем: ( .

Объединяем решения и получаем ответ: ( ]

Способ 2. (Метод рационализации, композиции, метод замены множителей).

Заметим, что в произведении, стоящем в левой части мы можем заменить логарифм на следующее выражение: -2)(5-1)(х+2-1)≥0

умножаем обе части на 4, получаем -8)(5-1)(х+2-1)≥0, далее разделим обе части на 4: . Но еще мы должны учитывать, что х-2. Используя метод интервалов, проставляем знаки на числовой прямой

-1

-2

Получаем ответ: ( ] .

Способ 3. (Классический метод интервалов)

Рассмотрим функцию После введения функции определяем ее область определения D_f=(-2 При таком способе явно выписываем область определения.

Далее решаем уравнение f(x)=0

=8 x+2=1

=- x=-1

=

Замечаем, что корень =- .

Отмечаем нули функции только на области определения, это важно. На каждом из промежутков находим знаки функции.

-1

-2

Решением неравенства будет объединение промежутков ( ] .

Способ 4. Он основан на выяснении знака одного из множителей.

У нас есть три варианта:

х+21

х-1

х²-8≥0

-1

Получаем промежуток .

0

-2

-1

-2

Получаем промежуток ( ).

х+2=1

х=-1

Объединяя все решения, получаем ответ: ( ] .

Далее рассмотрим типичные ошибки, которые допускают ученики при решении данного неравенства

1.Деление обеих частей неравенства на выражение, которое может принимать отрицательное значение.

В неравенстве делят обе части неравенства на выражение и получают неравенство , не учитывая, что данное выражение может быть отрицательным.

2. Сокращение логарифмов в обеих частях неравенства при том, что в неравенстве остались другие элементы:

Ошибка от того, что при решении логарифмических неравенств мы учим детей «отбрасывать» логарифмы, забывая о том, что это работает только в том случае, когда в уравнении нет других элементов.

3. Этот случай похож на второй:

4. Некорректное применение свойств разности логарифмов в случаях, когда при логарифмах стоят коэффициенты:

5. Использование того, что показательная функция возрастает, хотя она может и убывать:

Ученики убирают основания степени забывая, что здесь рассматриваются 2 возможности, идущие от свойств показательной функции.

Спасибо за внимание!