Решение олимпиадных задач по математике

Побудова графіків функції з модулями.

Задачі на побудову графіків функцій з модулями часто пропонують на математичних олімпіадах для учнів. Ця стаття допоможе вчителеві ознайомити учнів з методами побудови таких графіків. Методичні рекомендації пропонуються у формі коментарів до побудови графіків.

Актуалізація опорних знань:

Задачі:

1. Побудувати графік функції.

Розв’язання.

Знаходимо область визначення функції: Д(у):

За означенням модуля маємо:

рис.1

Виколюємо точку x=2, яка не входить до Д(у).

Відповідь: див. рис.1

1. Побудувати графік функції.

Розв’язання.

Д(у):

Знаходимо підмодульні корені, розв’язав рівняння

x-2=0 і x-3=0

x=2 і x=3

Наносимо підмодульні корені на числову пряму і отримаємо проміжки

- - + - + + x

2 3

З’ясовуємо знак кожного підмодульного виразу на кожному із отриманих проміжків.

Спрощуємо вираз в кожному отриманому проміжку:

1)

2)

3)

Наносимо підмодульні корені х=2 і х=3 на вісь Ох в системі координат. Прямі х=2 і х=3 проводимо штриховою лінією.

Будуємо отримані графіки на кожному із проміжків. Виколюємо на графіках точки х=2 і х=3.

Рис.2

Відповідь: Див. рис.2

1. Побудувати графік функції

Розв’язання.

Знаючи, що , маємо

Графік має вигляд:

Рис.3

Відповідь: Див. рис.3

1. Побудувати графік функції.

+

Розв’язання.

Після тотожних перетворень одержимо:

Д(у):

За вказаною схемою в задачі 2 маємо:

Немає рішень

+ - + + x

-1 3

1)

2)

Маємо графік:

рис.4

Відповідь: Див.рис.4

1. Побудувати графік функції.

Розв’язання.

Д(у):

За означенням модуля маємо:

Тому має місце

і , якщо , тобто

Графік має вигляд

Рис.5

Відповідь: Див. рис.5

1. Побудувати графік функції.

Розв’язання.

Д(у):;

За означенням модуля маємо:

Графік має вигляд:

Рис.6

Відповідь: Див. рис.6

7.Побудувати графік функції.

Розв’язання.

Д(у):

За означенням модуля

Маємо графіки:

Якщо

1)

2)

= =

Будуємо графік функції

Рис.7

Відповідь: Див. рис.7