Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Министерство образования Пензенской области

ГАПОУ ПО «Кузнецкий колледж электронных технологий»

Методическая разработка

открытого заседания кружка

«Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

Разработала

преподаватель Н.Г. Коткова

2019

Содержание

1. Пояснительная записка…………………………………………………….3

2. Основная часть……………………………………………………………...4

3. Ход занятия………………………………………………………… …… ..5

4. Список использованных источников………………………………….…11

5. Приложения

Пояснительная записка

Данная методическая разработка предназначена для проведения занятия кружка по информатике и математике на тему “Решение систем линейных уравнений методом Крамера” для студентов первого и второго курсов.

Данная методическая разработка содержит: пояснительную записку, ход, где сформулированы цели занятия и последовательность проведения мероприятия, указан список использованных источников.

Актуальность темы: решение систем линейных алгебраических уравнений, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводится к решению систем линейных уравнений. Многие экономические задачи для решения моделируются в виде систем линейных уравнений, которые компактно записываются с помощью матриц. Особенно актуально это при работе с базами данных, почти вся информация БД хранится и обрабатывается в матричной форме.

В результате проведения мероприятия студент должен:

знать:

- решение систем линейных уравнений методом Крамера.

уметь:

- решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера (для первокурсников)

- решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера с помощью табличного редактора Excel (для второкурсников)

При разработке данного мероприятия в зависимости от специфики подготовки студентов можно внести дополнения и изменения в содержание, последовательность изучения материала занятия и распределение времени.

При проведении мероприятия, использованы учебные пособия, технические и наглядные средства обучения.

Основная часть

1. Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

2. Цель:

обучающая: рассмотреть и изучить метод Крамера решения систем линейных уравнений для студентов 1 курса; формирование практических навыков знаний по работе табличным редактором пакета MS Office по данной теме;

развивающая: развивать умения применять правила и методы при решении задач, логическое мышление и математический кругозор;

воспитательная: воспитание познавательного интереса к математике и информатике, а также последовательность в действиях, творческой активности студентов;

1. Форма проведения мероприятия: практическая и лабораторная работа;

2. Методы: практико-развивающие

3. Формы работы студентов: индивидуальная.

4. Продолжительность мероприятия: 45 минут

5. Участники: студенты 1 и 2 курсов.

6. Место проведения – компьютерный кабинет.

7. Оснащение мероприятия: компьютеры, раздаточный материал, мультимедийный проектор, доска.

8. Структурный план мероприятия:

1. Организационный момент - 2 мин.

2. Определение тематики, целей и задач - 3 мин.

3. Основная часть мероприятия - 35 мин.

4. Рефлексия – 3 мин.

5. Подведение итогов – 2 мин.

1. Подготовительная работа:

Перед проведением конкурса организуется предшествующая работа, включающая в себя:

1. подбор теоретического и практического материала;

2. оформление раздаточного материала;

3. подготовка презентации;

Ход мероприятия

Организационный момент

На экране заставка занятия. Ребята настраиваются на работу

Постановка целей и задач:

Здравствуйте студенты. Тема занятия «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Студенты второго курса уже знакомы с этим методом в отличие от студентов 1 курса. Второкурсники сегодня будут учиться решать этим методом системы с помощью табличного редактора MS Excel, а первокурсники узнают об этом методе впервые.

Основная часть мероприятия

Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: “Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления”, поэтому математика связана с будущей специальностью.

Вся группа делится на две части: первокурсники и второкурсники. Первокурсники сидят за партами, где будут выполнять задания в конспектах. Второкурсники садятся за компьютеры, где будут выполнять лабораторную работу в программе MS Excel.

Работа первокурсников.

Вопросы, разбираемые преподавателем со студентами:

1. Какое уравнение называется линейным?

2. Назовите коэффициенты при переменных.

3. Какие числа называются свободными членами?

4. Что является решением системы?

5. Какие методы решения систем линейных уравнений знаете?

Ответы: Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных; коэффициенты – это числа, стоящие перед переменными; числа, находящие без переменных, называются свободными членами; решением системы называют набор чисел, которые при подстановке в систему дают верные равенства; в школьном курсе рассматриваются способ подстановки, графический способ и способ сложения для решения системы.

В курсе высшей математике решают системы линейных уравнений тремя методами: методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет вид

Решением данной системы будет пара чисел, при подстановке которых вместо x и y  оба уравнения обращаются в верные равенства.

Составим таблицу из коэффициентов при неизвестных данной системы уравнений. Эта таблица называется определителем: . Обозначим его за Δ. Диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний, называется его главной диагональю, другая диагональ называется побочной.

Если из произведения элементов, стоящих на главной диагонали определителя Δ  вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, то получим число определителя.

То есть определитель - это число, которое вычисляется по формуле .

Метод Крамера состоит в следующем: если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами.

Другими словами

Давайте проверим эту теорию на практике, решив следующую систему уравнений:

Ответ: (3, 0)

Решите следующие системы уравнений методом Крамера самостоятельно.

Работа второкурсников.

Работа производится в табличном редакторе MS Excel за компьютерами. Программа Excel является отличном помощником для решения некоторых математических задач, особенно тех, при решении которых необходимо выполнять большое количество вычислений.

Рассмотрим систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде Ах=В, где

Для нахождения решения системы уравнений методом Крамера, необходимо вычислить главный определитель и три дополнительных, а затем с помощью деления вычислить переменные. Эти формулы выглядят следующим образом:

Рассмотрим, как можно автоматизировать решение системы уравнений. Для решения систем уравнений методом Крамера, необходимо уметь применять функцию МОПРЕД(). Данная функция вычисляет определитель матрицы. Запишем синтаксис функции:

МОПРЕД(Массив), где массив – это диапазон ячеек в которых расположены значения матрицы (массива).

Процесс вычисления определителя матрицы трудоёмкий, особенно если матрица большой размерности и мы убедимся насколько этот процесс упрощен в программе MS Excel.

В табличном редакторе второкурсникам необходимо выполнить задания по вычислению системы

1. Ввести матрицы А (диапазон ячеек В3:D5) и В (диапазон ячеек G3:G5) на лист в табличном редакторе MS Excel. Для наглядности области ввода выделены желтым цветом (рис 1).

2. В ячейке В7, с помощью функции МОПРЕД, введите расчет определителя матрицы А (рис 1).

Рисунок 1

1. Для поиска решения вычислите три определителя матриц (диапазоны B9:D11, B13:D15 и B17:D19), в каждоим из которых вместо одного из столбцов подставляется матрица В.

2. В ячейках F10, F14 и F18 расчитайте определители матриц, используя функцию МОПРЕД.

3. В ячейках I10, I14 и I18 введите формулы Крамера – отношение дополнительного определителя к главному определителю (=F10/B7, =F14/B7 и F18/B7).

Рисунок 2

Вычислите самостоятельно, используя созданный вами шаблон в табличной редакторе, следующие системы:

Список используемых источников

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математики. Москва, 2013

2. Григорьев В.П.Дубинский Ю.А Элементы высшей математики. Москва, 2011

3. Метод Крамера в Excel [Электронный ресурс] https://tutorexcel.ru/matematika/metod-kramera-v-excel/

4. Решить систему уравнений методом Крамера [Электронный ресурс] http://kontromat.ru/?page_id=4454

5. [Интернет-ресурс] www.en.edu.ru

Приложение 1