Ход урока I этап -актуализация знаний -постановка темы -постановка цели -формирование УУД: Познавательные Регулятивные Коммуникативные Личностные | Организационный момент Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы продолжим учиться составлять уравнения по условию задачи. Возникли ли у вас затруднения по выполнению домашней работы? (разбор нерешенных задач). И так, тема нашего урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений». Запишите сегодняшнее число и тему урока в тетради! Проверка домашнего задания Актуализация знаний Два ученика на месте работают по индивидуальным карточкам. Карточка № 1. 1.Запиши общий вид квадратного уравнения. 2.Запиши формулу корней квадратного уравнения. 3.Чему равны коэффициенты а, в, с уравнения х2 – 4х – 3 = 0? 4.Реши уравнения: а) 3х2 + 2 х – 1 = 0; б) 2х 2+ 7х – 4 = 0; в) х2 – 7х +12 = 0. Ответ: а) -1, 1/3; б)1/2, -4; в)4, 3. Карточка № 2 1.Запишите формулу дискриминанта квадратного уравнения. 2.Сколько корней имеет уравнение, если D 0? D D = 0? 3. Реши уравнения: а) 5х2 + 8х – 4 = 0; б) х2 – 6х + 11 = 0; в) 7х2 + 6х – 1 = 0. Ответ: а) 2/5, -2; б) корней нет; в) 1/7, -1. Два ученика получают карточку с задачей, решают у доски. Карточка №1 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 156. Найдите эти числа. Решение: Пусть первое натуральное число равно х, тогда второе число х+1. По условию задачи произведение чисел равно 156. Получаем уравнение: х×(х+1) = 156, х2 + х – 156 = 0, D=1+624=625, ==-13, ==12. Так как х натуральное число, то -13 посторонний корень. Значит одно из чисел 12, а другое 12+1=13 Ответ: 12; 13. Карточка № 2 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 210. Найдите эти числа. Решение: Пусть х первое натуральное число, тогда х+1 – второе число. По условию задачи произведение чисел равно 210. Получаем уравнение: х×(х+1)=210, х2 + х – 210=0, D=1+840=841, ==-15, =14. Так как х – натуральное число, то- 15 – посторонний корень, значит первое число равно 14, а второе 14+1=15. Ответ: 14; 15. Остальные учащиеся по вариантам, выполняют практическое задание. Задание на доске. 1.Вариант 1) 3х2 – 7х = 0; Ответ: =0, =2. 2) 2х2 – х = 0; Ответ:=0, =. 3) х2 – 2х + 1 = 0; Ответ:=0. 4) х2 + 3х + 3 = 0; Ответ: корней нет. 2 вариант 1) 5х2 + 14х – 3 = 0; Ответ:=- , =-3. 2) 7х2 + 8х + 1 = 0; Ответ:=-1, =-. 3) х2 – 2х + 2 = 0; Ответ: корней нет. 4) 3; Ответ:=1, =- . В конце работы проводится взаимопроверка между рядами. Давайте решим одну из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары: Обезьянок резвых стая, Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам... Стали прыгать, повисая... Сколько ж было обезьянок, Вы скажите, в этой стае? Все вместе разбираем задачу, один ученик у доски. Решение: Нам необходимо узнать сколь было всего обезьян? Значит, х обозначим количество обезьян. По условию восьмая часть забавлялась на поляне, значит, берем восьмую часть от общего количества обезьян - это будет х, да еще в квадрате . К этому количеству добавим еще, 12 обезьян, которые прыгают по лианам. Получим следующее уравнение: +12=х. Решим это уравнение: +12=х, -х+12=0, D=1-4×= 0,25; ==16, ==48. =16, =48. Два корня удовлетворяют условию задачи. Поэтому в стае могло быть 16 или 48 обезьян. Ответ: 16 или 48 обезьян. Задача: Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян? К доске приглашается ученик. Рассуждения над задачей ведется всем классом. Решение: В задаче надо найти, сколько было всего обезьян? Неизвестную величину обозначим х, тогда пятая часть от всего количества обезьян будет равна х. Это количество обезьян уменьшаем на 3, возводим в квадрат и добавляем 1 обезьяну. Получаем уравнение: +1=3. Решим это уравнение: +1=3, х+9+1=х, , D= 3025-1000=2025, ==5, ==50. Находим корни квадратного уравнения: =5 – не подходит, т.к. если подставить значение 5 в исходное уравнение, то получим х-3=-2, -2 меньше нуля. Значит, условию задачи удовлетворяет второй корень =50. Ответ: 50 обезьян. |
IIэтап - изученного нового материала - закрепление изученного материала В том числе самостоятельная работа | Изученного нового материала На прошлом уроке мы узнали, что многие задачи алгебры, приводят к необходимости решения квадратного уравнения. Давайте вспомним алгоритм решения задачи с помощью квадратного уравнения. Этапы решения задачи алгебраическим методом: 1. Выбрать неизвестно. 2. Затем составить уравнение. 3. Решить его. 4. Сделать вывод о корнях. 5. Выполнить дополнительные действия. Часто алгебраические задачи решаются двумя способами. Например, решим задачу на движение двумя способами. Для этого вспомним: - Какие величины связаны с движением? - Как зависит расстояние от скорости и времени? - Как найти скорость, если известны расстояние и время? - Как найти время, если известны расстояние и время? V. Закрепление изученного материала Решите задачу. В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 3 см, а гипотенуза равна 15 см. Найти длину меньшего катета треугольника. Чтобы правильно ученики составили уравнение. Необходимо вспомнить теорему Пифагора. Решение: + =, ++6х+9=225, +6х+9-225=0, +6х-216=0, разделим на 2 +3х-108=0, D=9+432=441, ==-12, ==9. Корень уравнения -12 условию задачи не удовлетворяет, значит, меньший катет равен 9 см. Решите задачу. Сумма смежных сторон прямоугольника равна 17 см, а его диагональ 13 см. Найти стороны прямоугольника. Решение: Проведенная диагональ, делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть х см длина наименьшего катета, тогда зная, сумму смежных сторон треугольника мы можем найти второй катет, он равен (17-х) см. По условию задачи проведенная диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника и равна 13 см. Применяя теорему Пифагора, составим уравнение: +=, раскроем скобки. +-34х+289=169, -34х+120=0, сократим на 2. -17х+60=0, D=289-240=49, ==12, ==5. Оба корня удовлетворяют условию задачи. Значит, наименьший катет равен 5 см, а наибольший катет равен 12 см. Задача № 1. (работа с классом) Турист должен был пройти 6 км за определенный срок. Однако он задержался с выходом на 30 мин, поэтому, чтобы прийти вовремя, он шел со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход? Решение. Первый способ. Пусть х ч – намеченный срок. Вспомним! Чтобы найти скорость надо путь поделить на время, следовательно, 6/х км/ч – намеченная скорость. х – 0,5 ч – время, затраченное фактически, 6/(х – 0,5) км/ч – фактическая скорость. По условию задачи известно, что пешеход увеличил скорость на 1 км/ч. Получаем уравнение: 6/(х – 0,5) – 6/х = 1. Если х≠0,5 и х≠0, то 6х – 6х + 3 = х2 – 0,5х 2х2 – х – 6 = 0, D=1+48=49, ==-1,5 ==2. Так как время – положительное число, то – 1,5 не подходит. Намеченное время – 2 часа, а скорость, с которой шел пешеход – 6 : 2 + 1 = 4 (км/ч). Ответ: 4 км/ч. Задача № 2. (Самостоятельно, с оказанием дифференцированной помощи) Велосипедист проехал с постоянной скоростью 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на 20 мин больше, чем на путь от А до В. Найдите первоначальную скорость велосипедиста. Проверим решение: Первый способ Пусть х км/ч – скорость велосипедиста при движении из пункта А в пункт В, тогда время движения – 40/х ч. На обратном пути он ехал со скоростью (х – 10) км/ч и затратил 40/(х - 10) ч. По условию задачи известно, что на обратный путь велосипедист затратил больше на 20 мин или на 1/3 часа. Получаем уравнение: 40/(х - 10) – 40/х = 1/3. Если х ≠ 0, х ≠ 10, то 120х – 120х + 1200 = х2 – 10х, х2 – 10х – 1200 = 0, D=100+4800=4900, ==-30, ==40. = - 30 - условию задачи не удовлетворяет. Значит первоначальная скорость велосипедиста – 40 км/ч. Ответ: 40 км/ч. Задача №1 Найдите стороны прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60. Решение: Пусть х см ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника (х+4) см. По условию задачи площадь прямоугольника равна 60 Составим и решим уравнение: х(х+4)=60, +4х-60=0, D=16+4×60=16+240=256, ==6, ==-10. Корень равный -10 условию задачи не удовлетворяет, т.к. ширина не может быть отрицательным числом. Следовательно, ширина равна 6м, а длина равна х+4=6+4=10м. Ответ: 6м, 10 м. Задача №2 Периметр прямоугольника 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 Решение: Пусть х м ширина прямоугольника, тогда у м длина прямоугольника. По условию периметр прямоугольника равен 62 м. Вспомним, формулу периметра прямоугольника получим: (х+у)×2=62. По условию знаем, что площадь прямоугольника равна 210. Получаем х×у=210. Получаем два уравнения: (х+у)×2=62, (1) х×у=210. (2) В уравнении (1) разделим обе части на 2. х+у=31, Выразим переменную х через у. х=31-у, Подставим во второе уравнение. (31-у)×у=210, Раскроем скобки. 31у-=210, Приведем к виду квадратного уравнения. -+31у-210=0, умножим на -1. -31у+210=0, D=961-840=121. =21, =10. Корни подходят по условию задачи. Значит 21 м ширина прямоугольника, а 10 м его длина. Ответ: 21м, 10м. |