Решение задач с помощью систем уравнений

Решение задач с помощью систем уравнений

Система уравнений  может являться моделью реальной ситуации.

Шаги решения задачи.

1. Составление математической модели задачи. 2. Работа с моделью (решение системы). 3. Ответ на вопрос задачи.

Задачи могут быть на различные ситуации и темы, рассмотрим одну из возможных.

Вася задумал дробь и рассказал Диме, что если числитель дроби умножить на  2 , а из знаменателя вычесть  2 , то получится  2 . А если из числителя вычесть  4 , а знаменатель умножить на  4 , то получится дробь  112 . Дима смог определить задуманную дробь. Как он это сделал?

1.  Составим по условию задачи математическую модель.

Пусть x — числитель задуманной дроби, а y — знаменатель этой дроби.

Если числитель дроби умножить на 2, то он станет равным 2x.   Если из знаменателя вычесть  2,  то знаменатель станет равным y−2.

Зная, что новая дробь будет равна 2, составим первое уравнение: 2xy−2=2.

Если же из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получим второе уравнение: x−44y=112.

Составляем систему:

2xy−2=2

x−44y=112   

2 . Решим систему уравнений.

Преобразуем уравнения системы и решим методом алгебраического сложения:

=2 2x=2(y−2)|:2 x=y−2 x−y=−2 x=7

= 4y=12(x−4)|:4 y=3(x−4) −3x+y=−12 y=9

3 . Ответим на вопрос задачи. Вернёмся к обозначениям: числитель дроби — x, а знаменатель дроби — y. Получаем дробь .

Ответ : .

1. Перейди от математической модели к словесной .

12x+5y=117

5y−3=7x

  телят и 5 жеребят ежедневно вместе получали 117 кг корма.

Сколько корма ежедневно скармливали каждому телёнку и каждому жеребёнку, если 5 жеребят получали корма на 3 кг  , чем 7 телят?

(В первое окошко введи число, а не слово.)

2. Дополни словесную модель по математической:

2x+7y=43

3x−2=2y

Мария и Татьяна собирали смородину.

В первый день Мария собирала ягоду 2 ч., Татьяна — 7 ч., и собрали вместе   кг смородины. 

Во второй день Мария за 3 ч. собрала смородины  ,  чем Татьяна за 2 ч.

Сколько килограммов смородины собирала каждая за 1 час?

3. Создай систему для решения задачи.

Два токаря вместе сделали 1230 заготовок.

Первый токарь трудился 18 дней, а второй — 17 дней.

Сколько заготовок делал каждый токарь ежедневно, если второй токарь за 2 дня делал на 60 заготовок меньше, чем первый токарь за 3 дня?

Пусть x заготовок в день делал первый токарь, а второй — y заготовок в день. Выбери подходящую математическую модель:

а) другой ответ;

б) 3x+60=2y г) 18x+17y=1230 е) 3x−60=2y

18x+17y=1230 3x−60=2y 35(x+y)=1230

в) x+y=1230:35 д) 18x+17y=1230

3x=2y−60 3x=2y−60

№ 1. Сумма двух чисел равна 46, а их разность равна 14. Найдите эти числа.

№ 2. Пять тетрадей и три ручки стоят 66 руб. Ручка дороже тетради на 6 руб. Сколько стоит 1 ручка и одна тетрадь?

№ 3. Три яблока и две груши вместе весят 1 кг 200 г, а 2 яблока и 3 груши весят 1 кг 300 г. Сколько весит яблоко и сколько весит груша?

№ 4. На верхней полке на 14 книг больше, чем на нижней. Всего на полках 70 книг. Сколько книг на каждой полке?

№ 5. Альбом стоит 26 руб, а ручка 14 руб. Петя купил несколько альбомов и ручек, заплатив за всю покупку 270 руб. Сколько альбомов и сколько ручек купил Петя, если за ручки он заплатил на 10 руб больше, чем за альбомы?

№ 6. Легковой автомобиль за 2,5 часа проехал то же расстояние, что и грузовой за 3 часа. Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что легковой автомобиль двигался на 10 км в час быстрее грузового.