"Решение задач с помощью систем уравнений второй степени"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

г. Шахты Ростовской области

«Средняя общеобразовательная школа № 49»

(МБОУ СОШ №49 г.Шахты)

Тема урока:

«Решение задач с помощью систем уравнений

второй степени»

Автор:

учитель математики

высшей категории

Гладкая Наталья Викторовна

2025 г

Цель урока: формировать умение решать задачи «на работу» составлением систем уравнений.

Задачи: совершенствовать навык составления уравнения и систем уравнений по условию задачи, умения проверять соответствие найденного решения условию задачи; развивать навыки само и взаимоконтроля; развивать математическую речь, умение рассуждать и делать выводы; воспитывать культуру поведения учащихся на уроке, уважительное отношение к сверстникам.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Форма урока: урок формирования умений и навыков.

Техническое оснащение урока: компьютерная презентация, раздаточный материал.

Класс: 9 «А»

Форма организации учебной деятельности: применение технологии сотрудничества, здоровьесберегающей технологии.

План урока:

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя.

2. Проверка домашней работы.

А) Решение систем уравнений.

Б) Математический диктант

1. Актуализация знаний.

2. Изучение нового материала. Решение задач.

3. Самостоятельная работа.

4. Итог урока. Рефлексия

Ход урока:

1.Организационный момент.

Вместе с дежурными учитель проверяет готовность класса к уроку.

2.Проверка домашнего задания.

А)Проверка домашнего задания осуществляется в виде самостоятельной работы по вариантам. При решении учащиеся 1 и 2 вариантов могут воспользоваться карточками- консультантами. (Варианты для учащихся с низким уровнем математической подготовки)

Ответ: x = 1; y = 2.

Ответ: x = 3; y = 0.

Ответ: ( -7; -8 ); ( 5; 4 ).

Карточки-консультанты:

Слайд 3.

Б) Математический диктант.

Ученики делают диктант под копировку. Копию работы оставляют себе для самопроверки. Два ученика выполняют диктант у доски по вариантам.

1. Система уравнений второй степени - это …(два и более уравнений, которыми можно манипулировать для нахождения общих решений).

2. Решением системы уравнений второй степени называют … (пару значений переменных, обращающую каждое из уравнений системы в верное равенство)
3. Решить систему уравнений второй степени значит … (найти все её решения или доказать, что этих решений нет)
4. Равносильные системы уравнений - это … (системы, имеющие одни и те же решения)

5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете? (Способ подстановки, способ сложения, графический способ)
6. Подберите наиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

Слайд 4

(1 - подстановка; 2 – сложением; 3 – подстановка; 4 – графически; 5 – сложением)

Самопроверка с доски, обсуждение результатов (по необходимости)

3. Актуализация знаний.

Для подготовки учащихся к решению задач повторяются и систематизируются их знания.

Решение задач состоит из трёх этапов:

1. Введение условных обозначений по условию задачи и составление при помощи них системы уравнений.

2. Работа с системой уравнений.

3. Ответ на вопрос задачи.

Каждый из этих этапов является важным в решении задачи.

Слайд 5

Задачи, в которых кто-то выполняет некоторую работу, или задачи, связанные с наполнением или опорожнением резервуаров, напоминают задачи «на движение». В задачах такого типа вся работа или полный объем резервуара аналогичны роли расстояния в задачах «на движение», а производительности выполняющих работу объектов аналогичны скоростям движения. Часто объем работы в таких задачах не указывается и не является искомым. В таких случаях объем всей работы удобно принимать за единицу.

Давайте вспомним, какими величинами характеризуется данный процесс - совместная работа.

1. Работа. Обозначаем буквой – А. Если объем работы неизвестен, то всю работу принимаем за 1. Единицы измерения работы: м³, га, машин, деталей, литров и т.д.

2. Время – срок выполнения работы. Обозначаем буквой – t. Единицы измерения: ч, мин, смена и т.д.

3. Производительность – это часть работы за 1 единицу времени. Обозначаем буквой – Р. Единицы измерения: м³/ч, га/смена, дет/день и т.д.

Совместная производительность – это часть работы, выполненная за 1 единицу времени вместе всеми участниками.

Формулы: А= Р ^. t , при А=1, Р=1/t

Слайд 6

4.Изучение нового материала. Решение задач.

А) Ученик решает на доске № 279. [1]

Примем всю работу за 1. Пусть первый экскаватор, работая один, выполнит всю работу за x часов, а второй – за y часов.

y-x=4

+ = 1

3 ч 45 мин = 3 ч = 3 ч = ч

Таким образом, получим систему уравнений:

Выберите способ решения системы уравнений. (Подстановка)

;

;

,

,

D=289,

X₁= - 2,5, не удовлетворяет условию x 0;

X₂=6

Решением системы будет пара чисел

Ответ: 6 часов, 10 часов.

Обсуждение, уточнение хода решения.

Алгоритм:

1. Если неизвестен объем работы, то всю работу примем за 1

2. Обозначим время выполнения работы переменной

3. Выражаем производительность работы каждого участника процесса или их совместную производительность.

4. По условию задачи составляем уравнения и объединяем их в систему.

5. Решаем систему уравнений, записываем ответ.

Слайд 7

Б) Задача №325 на доске и в тетрадях

Работа по алгоритму:

1. Если неизвестен объем работы, то всю работу примем за 1

2. Обозначим время выполнения работы для первой трубы переменной х. для второй переменной у

3. Выражаем производительность работы каждого участника процесса: первой трубы - , второй трубы -

Из данной таблицы видно, что принято за х, за y, какова производительность каждой трубы. Составим первое уравнение на основании того, что одна вторая труба могла наполнить бассейн в 1, 5 раза быстрее, чем одна первая.

х=1,5у

+ = 1

Имеем систему уравнений:

; ;

24y - 3y²=0;

3y(8 – y)=0;

y₁=0, не удовлетворяет условию y 0;

y₂=8.

Таким образом,

Ответ: 12 часов, 8 часов.

5.Самостоятельная работа.

При решении работы учащиеся могут воспользоваться карточками-консультантами.

1 вариант.

Разность двух чисел равна 5, а их произведение 84. Найдите эти числа.

2 вариант.

Разность двух натуральных чисел равна 24, а их произведение равно 481. Найдите эти числа.

Слайд 8

Карточки-консультанты к самостоятельной работе.

6.Итог урока. Рефлексия.

В конце урока оцениваются ответы учащихся у доски и самостоятельные работы. Ещё раз обращается внимание учащихся на 3 этапа и алгоритм решения данных задач. Учащимся предлагается оценить, что было самым интересным, самым легким, самым трудным.

7.Задание на дом.

№ 280, 324, 288 (б,г).

Список литературы:

1. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворов; Под редакцией С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2018.