Реферативно исследовательская работа "метод мажорант". Работы моих учеников.

Введение

Решение уравнений и неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения, поэтому я решила взять в качестве темы научно-исследовательской работы один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения, уравнения повышенной сложности, уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений и задачи с параметром.

В данном исследовании, я узнала совершенно новый для себя способ решения уравнений-метод мажоранта, который встречается в ЕГЭ и мало изучается в школе. Так же научилась применять его непосредственно при решении уравнений и неравенств. Для этого я изучила и проанализировала материал по данной теме, на конкретных примерах училась применять метод мажоранта при решении уравнений и неравенств.

На всех этапах нашей работы возникали трудности. Например, вначале не всегда получалось определять, есть ли в данной задаче мажоранта или ее нет. По всем непонятным вопросам я консультировалась с учителем.

Цель работы:

- изучить метод мажорант, применить этот метод для решения нестандартных уравнений и неравенств.

Задачи проекта:

- изучить определения мажоранты функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту;

- изучить метод мажоранта, применить этот метод для решения нестандартных уравнений и неравенств;

- привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажоранта.

Актуальность работы:

В последние годы в заданиях ЕГЭ по математике входят задания, как обязательного, так и повышенного уровня. Среди последних встречаются нестандартные математические задачи, в роли которых чаще всего выступают уравнения и неравенства. Одним из эффективных и оригинальных методов решения нестандартных уравнений и неравенств является метод мажорант. При этом в школьных учебниках алгебры и начал анализа материал о данном методе отсутствует.

Актуальность моей работы состоит в поиске эффективных средств и методов для изучения и освоения нестандартных методов решения уравнений и неравенств части С единого государственного экзамена и вступительных заданий. Метод мажорант – один из таких методов, который позволяет успешно решать олимпиадные задачи, конкурсные задачи, уравнения повышенной сложности по математике.

Определение мажоранты функции

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р (или множества А чисел) называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р (соответственно, х ≤ М для всех х из А, или х ≥ М для всех х из А).

Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorante», от «majorer» — объявлять большим.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

Теория

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции.

Метод мажорант — эффективный способ решения сложных и нестандартных уравнений и неравенств.

Мажоранта и миноранта – две функции, значение первой из которых не меньше, а второй - не больше соответствующих значений данной функции.

Этот нестандартный метод решения уравнений и неравенств заключается в том, что одна часть уравнения (или неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения (или неравенства) ограничена снизу этим же числом М, мажорантой.

При применении данного метода используется определение ограниченных функций.

Основная идея метода Мажоранта состоит в следующем. Пусть мы имеем уравнение f(x) = g(x) и существует такое M, что для любого x из области определения имеем f(x)≤M и g(x)≥M (или наоборот). Тогда исходное уравнение равносильно системе

Опорные неравенства:

1. а) a+ ≥2 при a 0, равенство a = 1;

б) a+ ≤2 при a

2. ≥ при a ≥ 0, b ≥ 0; равенство достигается при a = b.

3. | a sinx + b cosx| ≤

Теорема1. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу. Тогда, уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений.

Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = A+B равносильно системе уравнений

Теорема 3. Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)·g(x)= А·B равносильно системе уравнений (при условии, что A0 и B0)

Примеры функций, имеющих мажоранту

1.Тригонометрические функции.

f(x)=sin x f(x)=cos x

-1≤ sin x ≤ 1 -1≤cos x≤1

M=1, M=-1 M=1, M=-1

2.Квадратичная функция.

f(x)= ax²+bx+c,

(p ; n) -вершина параболы

M=n=(4ac-b²)/4a

3. Функции, содержащие переменную под знаком модуля.

f(x)=|g(x)|

0 ≤|g(x)|

M=0

4.

Функции, содержащие переменную под знаком корня.

f(x)= √g(x)

0 ≤ √g(x)

M=0

Решение неравенств с помощью метода мажорант

Рассмотрим задания из демонстрационного варианта ЕГЭ 2015 учебного года, при решении которых можно использовать метод мажорант.

Решение 1.

Преобразуем неравенство:

Найдем, при каких значениях х левая часть неравенства имеет смысл:

Получаем: -3

Значит, |x-3| = 3-x при всех допустимых значениях х. Поэтому

Сделаем замену:

Получаем:

Таким образом:

Откуда

Корни уравнения: -6 и -1. Условию -3

Ответ:{-1}.

Решение 2.

Можно не находить область допустимых значений х, а прийти к соотношению |x-3|=3-x другим способом. Тогда решение будет немного короче.

Преобразуем неравенство:

Заметим, что x+30 и (3-x)(3+x)0. Значит, 3-x0. Поэтому |x-3|=3-x.

Получаем:

Сделаем замену:

Получаем:

Таким образом,

Ответ: {-1}.

Признаки присутствия мажоранты в задаче:

- Смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов;

- Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты.

Для нахождения мажоранты необходимы:

- Здравый смысл и нестандартный взгляд на вещи;

- Знание свойств функций;

- Умение исследовать функции на максимум, минимум, области значений и прочие характеристики;

- Умение преобразовывать функции, так, чтобы было проще вытащить мажоранту;

Заключение

Благодаря этой работе я узнала, что сложные уравнения и неравенства можно решать с помощью метода мажорант. Я научилась с помощью мажоранта решать уравнения и неравенства, содержащие рациональные, иррациональные и тригонометрические функции.

Список литературы

http://festival.1september.ru/articles/531858/

http://bse.sci-lib.com/article072548.html

https://ru.wiktionary.org/wiki/%D0%BC%D0%B0%D0%B6%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B0

lib.znate.ru/docs/index-4018.html

http://www.berdov.com/ege/parametr/metod-mazhorant/

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/08/05/ispolzovanie-metoda-mazhoranta-pri-reshenii-uravneniy-i-neravenstv

Аляева О.Н. Использование ограниченности функций при решении конкурсных задач [электронный ресурс] // Zavuch.ru : [сайт]. URL : http://www.zavuch.info/index.php

Вариант ЕГЭ 2011. Математика [электронный ресурс] // Zavuch.info : [сайт]. URL : http://www.zavuch.info/metodichka/tochnie/algebra/algdidact

Кожухов И. Б., Прокофьев А.А. Математика. Полный справочник / И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев. – М.: Махаон, 2007. – 352 с.

Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С1-С6. Методы решения [электронный ресурс] // Аlleng.ru : [сайт]. URL : http://www.alleng.ru/d/math/math468.htm