Решение редуцированной задачи о движении тяжёлого гиростата

Илюхин А.А., Клюева М.А.

РЕШЕНИЕ РЕДУЦИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЁЛОГО ГИРОСТАТА

Аннотация: Для системы уравнений, полученной из уравнений
Эйлера-Пуассона понижением её порядка с помощью общих интегралов движения построено решение на инвариантном многообразии, где эти интегралы зависимы.

Ключевые слова: гиростат, интегралы движения, особые решения.

Ilyukhin A.A., Klyueva M.A.

DECISION TO REDUCE THE PROBLEM OF MOTION SWAT GYROSTAT

Abstract: For the system of equations obtained from the equations

Euler down her order with the help of the general integrals of motion solution built on the invariant manifold where these integrals dependent.

Key words: gyrostat, integrals of motion, special solutions.

Исходные уравнения и предположения. Результаты работ ( ) показывают, что в случае невыполнения условия

(1)

система дифференциальных уравнений движения тяжелого гиростата

^*+ (2)

(3)

эквивалентна системе, в которую входят уравнения (2) и общие интегралы системы (2) и (3):

(4)

(5)

(6)

Иначе говоря, в системе дифференциальных уравнений (2) и (3) дифференциальные уравнения Пуассона (3) можно заменить конечными соотношениями (4)-(6). Новая система трех дифференциальных уравнений (1) и трех конечных соотношений (4)-(6) будет эквивалентна исходной системе шести дифференциальных уравнений (2) и (3. Исследуем теперь многообразие, определяемое соотношением (1), найдем условия, при которых оно содержит траектории (2) и (3) и установим, когда траектории системы (2), (4)-(6) не являются траекториями исходной системы уравнений, т.е при редукции системы шестого порядка к системе третьего порядка могут появиться посторонние решения.

Удовлетворим равенству (1) положив:

(7)

Особый для условия (7) случай приводит к равномерным вращениям гиростата и в работах был отмечен как единственный возможный случай, когда общие интегралы являются зависимыми.

Спроектируем равенство на оси, жестко связанные с телом-носителем:

(8)

Вектор угловой скорости тела-носителя связан с кинетическим моментом равенством

,

где - гироционный тензор. В итоге получим связь компонент-вектора угловой скорости с вновь введенными переменными и :

(9)

В данной работе используется специальная система координат , в которой выполняется условие

Из интеграла энергии (4) с использованием геометрического интеграла (6) получаем

(10)

, где (11)

Переменные и следует считать функциями времени . В силу соотношения (11) таковыми могут быть только одновременно.

Подстановка соотношения (7) в дифференциальные уравнения (2) и учёт дифференциальных уравнений Пуассона (3) приводит к следующим равенствам:

, (12)

где и определены соотношениями (9). Считая и функциями времени , выберем их в качестве основных переменных задачи. Выразим через эти переменные исходные переменные:

(13)

Для того чтобы получить зависимость и через и , обратимся к соотношениям (12) и (13). Если учесть равенства (9), то придем к следующим зависимостям:

(14)

Здесь

Уравнение (14) можно разрешить относительно и :

(15)

где

,

Предположим, что ≠0, и подставим значения и в формулы (8) и (9):

Внесём выражения для и и равенства (15) в геометрический интеграл (6), получим

(16)

где

,

.

Аналогично преобразуем интеграл энергии (4):

(17)

где

Для того, чтобы уравнения (16) и (17) имели относительно общие корни, результат этих уравнений должен быть равным нулю:

После подстановки в это равенство выражений для входящих в него коэффициентов получим следующее уравнение:

(18)

где

Итак, получено два равенства (11) и (18), связывающие переменные и . Вместо и введём новую переменную :

, (19)

Удовлетворив тем самым уравнению (11). Таким образом, на переменную наложено ограничение (18), которое нужно преобразовать к этой переменной. Это уравнение распадается на два, и рассмотрим первое из них:

=0 (20)

в котором перейдем к переменной :

и равенство (20) примет вид:Предполагая R≠0 (R=0 приводит к стационарному решению, когда ), приравниваем нулю коэффициенты при и :

Равенство нулю коэффициента при даёт условие

Которое вместе с предыдущим равенством показывает, что и . Система уравнений (14) превращается в однородное с определителем , имеющим лишь тривиальное решение и и . Это соответствуем равномерным вращениям вокруг вертикали.

Рассмотрим второе уравнение, вытекающее из уравнения (18):

(21)

Здесь функция получена из подстановкой (19) и преобразованная к кратным углам . Её слагаемые с наибольшей кратностью имеют вид:

Непосредственной подстановкой в уравнение (21) можно убедиться, что только слагаемые с содержит наибольшей кратности . Приравнивая нулю коэффициенты при и , рассмотрим лишь неотрицательный случай . При этом условии уравнение (21) принимает вид:

Возможны следующие варианты

Из каждого варианта следует, что и должны быть постоянными величинами, что противоречит исходному предположению о переменных этих величин. Исследуем особый случай

(22)

Из системы (14) следует, что необходимо положить

??????????????????????????????????????????????????

Т.е приходим к уравнению, полученному и изученному ранее. Для этого уравнения показано, чо условия и выполняются лишь в том случае когда ,

Но тогда ии из уравнений для угловой скорости получаем, что (24)

Подставив значение , определяемое равенством (24), в формулу ( ), получим

Внося в это равенство зависимость и от и отожествляя его по , приходим к условию R=0.

Таким образом, предположение о том что и являются функциями времени t, вступает в противоречия с вытекающими из него следствиями.

Пусть и . Уравнение (14) принимает вид: , (25)

Следовательно, если считатьи переменными величинами, то необходимо потребовать, что бы, ,A=0,B=0. (26)

Преобразованный ранее интеграл энергии связывает h с остальными паромерами задачи. Для того, чтобы проанализировать условия (26), к смыслу величин, входящих в эти условия. Равенство иозначает , центр тяжести твёрдого тела лежит на перпендикулярной к круговому сечению гирационного эллипсоида. Поворотом системы координат, связанной с телом-носителем, можно добиться того, чтобы . Тогда условия A=0 и B=0 дают следующие ограничения на параметры гиростата: , (27)

Эти ограничения вместе с условиями и указывают на то, что центр тяжести гиростата и вектор лежат в главной плоскости гироционного эллипсоида. Значение постоянной h в интеграле энергии определим из следующего равенства (28)

Преобразуем формулы для компонент - вектора угловой скорости с учетом ограничений (26) и (27):

(29)

Подставляя найденные значения для компонентов ,,во второе и третье уравнения Пуассона, получим два уравнения:

(30)

Здесь

Система дифференциальных уравнений (30) допускает общий интеграл:

(31)

Выразив из (31) величину и подставив найденное выражение в первое уравнение системы (30), установим зависимость ; зависимость определяется затем из интеграла (31). Условия, полученные на параметры задачи , а так же линейное инвариантное соотношение

показывают , что найденный случай является частным решением, полученным из решения Гесса-Сретенского ( ). Если дополнительно потребовать , то приходим к частному случаю решения Лагранжа (….)

Геометрическое истолкование полученных движений указывает, что тела в данных случаях совершают прецессионные движения вокруг вертикали (….)