Սահմանափակ ֆունկցիաներ

Սահմանափակ ֆունկցիաներ

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի m թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≥m անհավասարությունը:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ  X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի M թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≤M անհավասարությունը:

Օրինակ

ա) f(x)=|x|+3 ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից 3-ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ f(x)≥3 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:

f(x)=|x|+3 ֆունկցիան վերևից սահմանափակ չէ:

բ) f(x)=2−|x| ֆունկցիան սահմանափակ է վերևից 2-ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ f(x)≤0 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:

f(x)=2−|x| ֆունկցիան ներքևից սահմանափակ չէ:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե այն սահմանափակ է և՛ ներքևից և՛ վերևից, այսինքն  գոյություն ունեն այնպիսի m և M թվեր, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի m≤f(x)≤M կրկնակի անհավասարությունը:

Ապացուցել ֆունկցիայի սահմանափակությունը նշանակում է գտնել m և M թվերը:

Օրինակ. ա) f(x)=  ֆունկցիան սահմանափակ է x∈[0;2] բազմության վրա, քանի որ 1≤f(x)≤  անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած x∈[0;2] արգումենտի համար:

բ) Նույն f(x)=  ֆունկցիան [0;+∞) բազմության վրա ներքևից սահմանափակ է մեկով՝  ≥1, x∈[0;+∞), սակայն վերևից սահմանափակ չէ, քանի որ այն ընդունում է ցանկացած դրական թվից մեծ արժեքներ:

Բերենք սահմանափակ ֆունկցիայի ևս մեկ սահմանում, որը համարժեք է արդեն տրված սահմանմանը:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ  X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի A թիվ, որ ցանկացած  x∈X արգումենտի համար տեղի ունի |f(x)|≤A անհավասարությունը: