Школьный этап олимпиады по математике 5- 7 классы

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников

по математике

2019-2020 учебный год

5 класс

1. Решите ребус. Одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры.

1. Можно ли число 1000 выразить восемью одинаковыми цифрами? При этом, кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками действий.

2. Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за половину секунды. Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой. Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров?

1. Петя и Миша играют в игру. Петя берёт в каждую руку по монетке: в одну – 10 копеек, а в другую 5 копеек. После этого содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки – на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя складывает два получившихся произведения и называет Мише результат. Может ли Миша, зная этот результат, определить, в какой руке у Пети – правой или левой – монета достоинством в 10 копеек? Почему?

1. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две равные части так, чтобы из этих полученных частей можно было сложить квадрат. Разрешается резать только по линиям клетчатой бумаги.

6 класс

1. Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все девять цифр были различными: *** + ** = 1056.

2. Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?

3. Как разложить гирьки весом 1, 2, ..., 9 г в три коробочки так, чтобы в первой было две гирьки, во второй – три, в третьей – четыре, а суммарный вес гирек в коробочках был одинаковым? (3 балла)

4. На  доске  написано  число 20.  За  один  ход  разрешается  либо удвоить  число,  либо  стереть  его  последнюю  цифру. Можно  ли  за  несколько ходов получить число 25?

5. Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной получилась половина от общего количества пирожков; пирожков с черникой – на 14 меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше, чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла Надя?

7 класс

1. Написав контрольную работу, ученики Володя, Саша и Петя сообщили дома:
   Володя: «Я написал на 5».
   Саша:«Я написал на 3».
   Петя: «Я написал не на 5».
   После проверки выяснилось, что один из мальчиков получил 3, другой 4, третий 5. Какую оценку получил каждый, если известно что из трех сделанных высказываний одно ложно, а два других истинны?

2. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.

3. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

4. Замените буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство

АААА + ВВВ + С = 2005,

если известно, что одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные – разным.

1. Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

Критерии оценки

5 класс

1. Решите ребус. Одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры.

Ответ:

1+1999=2000.

1. Можно ли число 1000 выразить восемью одинаковыми цифрами? При этом, кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками действий.

Решение: 
1 решение 888+88+8+8+8=1000
2 решение (2222 – 222) / 2 = 1000
Во втором решении цифру 2 можно заменить на любую другую (разумеется, кроме нуля).

Ответ: можно.

1. Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за половину секунды. Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой. Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров?

Решение:

1 шаг 240 : 3 = 80 (с) - скакала мама Кенгуру.
2 шаг сын за половину секунды - 1 м, за 1 с - 2 м 
3 шаг 80 * 2 = 160 (м) - проскачет кенгурёнок за 80 с.
4 шаг 240 - 160 = 80 (м) - осталось проскакать кенгурёнку, когда 
мама уже под эвкалиптом.
5 шаг 80 : 2 = 40 (с) 

Ответ: 40 секунд.

1. Петя и Миша играют в игру. Петя берёт в каждую руку по монетке: в одну – 10 копеек, а в другую 5 копеек. После этого содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки – на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя складывает два получившихся произведения и называет Мише результат. Может ли Миша, зная этот результат, определить, в какой руке у Пети – правой или левой – монета достоинством в 10 копеек? Почему?

Решение:

Содержимое левой руки Петя умножает на чётное число, а содержимое правой – на нечётное. Первое произведение будет всегда чётным числом. Поэтому сумма двух произведений будет иметь ту же чётность, что и второе произведение, которое в свою очередь будет иметь ту же чётность, что и монета в правой руке.

Итак, если Петя назвал нечётный результат, то в правой руке у него 5 копеек, а если чётный, то 10 копеек.

Ответ: Миша может определить, где монета достоинством в 10 копеек. Если результат нечётный, она в левой руке, если чётный – в правой.

1. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две равные части так, чтобы из этих полученных частей можно было сложить квадрат. Разрешается резать только по линиям клетчатой бумаги.

Ответ:

6 класс

1.Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все девять цифр были различными: *** + ** = 1056.

Возможные ответы

• 984 + 72 = 1056

• 982 + 74 = 1056

• 974 + 82 = 1056

• 972 + 84 = 1056

Дополнительных объяснений не требуется.

Критерии проверки

• Приведён любой из возможных ответов — 7 баллов.

• Приведён ответ, в котором какие-то две цифры совпадают, — 2 балла.

2. Ответ: «Нет». Решение: Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – правдивый. Кроме того, правдивый не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит, среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит третий ответил «Нет».

3. Ответ: Например, 9+6, 8+2+5, 1+3+4+7. Решение: Суммарный вес гирек в каждой коробочке равен 15, (1+2+3+4+5+6+7+8+9):3=15.

4.

Ответ. Можно.

Решение

Число 25  можно  получить,  стерев  последнюю  цифру  числа 256, которое  является  степенью  двойки.  Таким  образом,  необходимая  цепочка преобразований может выглядеть так:

20 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25.

Существуют и другие решения.

Критерии проверки

• Любое полное верное решение — 7 баллов.

• Неполное решение (например, указано, что 25 можно получить из числа 256, но не указано, как получить 256) — 3 балла.

• Приведён только ответ — 0 баллов.

1. Решение. Так как пирожков с малиной половина от общего количества, то пирожков с черникой и клубникой вместе столько же, сколько пирожков с малиной. При этом, пирожков с черникой на 14 меньше, чем пирожков с малиной, следовательно, эти 14 пирожков – с клубникой. Тогда пирожков с малиной и черникой: 14·2 = 28, значит, всего испечено 28 +14 = 42 пирожка. Таким образом, пирожков с малиной 42 : 2 = 21, с черникой – 7, а с клубникой – 14.

Ответ : 21 пирожок с малиной, 7 пирожков с черникой и 14 пирожков с клубникой

7 класс

1. Решение:

ОТВЕТ: Володя — 5; Петя — 3; Саша — 4.

1. 

2. Решение: При первом взвешивании в одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 + 6. Получили искомое количество гвоздей: 19 = 13 + 6.

3. Ответ: 1111+888+6=2005.

4. Ответ: