Шредингер теңдеуі

Шредингер теңдеуі . Кванттық теориядағы күй түсінігі және оны толқындық функция арқылы бейнелеу. Суперпозиция принципі. Шредингер теңдеуі. Стационар күйлер. Квантталу. Операторлар жайында.

• Классикалық физикада бөлшектің күйі деген ұғымның анықтамасы былай беріледі. Егер берілген уақыт мезетінде бөлшектің x, y, z координаттары және жылдамдығының  x ,  y ,  z құраушылары белгілі болса, онда (осы шамалар толығымен) бөлшек күйі анықталған делінеді. Яғни классикалық бөлшек күйі берілген уақыт мезетіндегі бөлшектің радиус-векторы және жылдамдығымен анықталады.
• Кванттық механикада бөлшек күйінің берілуі классикалық механикаға қарағанда өзгеше болуға тиіс. Микробөлшектер үшін анықталмағандық қатынастарының болуынан бөлшектің күйін координаттар мен импульс арқылы классикалық анықтау жалпы алғанда мағынасын жояды. Корпускулалық-толқындық дуализмге сәйкес кванттық теорияда бөлшектің күйі  ( r , t) функциясымен беріледі, ол комплекс шама және формальды түрде толқындық қасиеттерге

Барлық кванттық ықтималдықтар ішінен бөлшектердің координаттарының үлестірілуін бейнелейтін ықтималдықты қарастырайық. Бір өлшемді қозғалыс үшін бөлшектің t уақыт мезетінде х және х+dx нүктелері аралығында болу ықтималдығы   (х,t)  2 dx -қа тең, мұндағы  (х,t)  2 =   (х,t)  (х,t) – толқындық функция модулінің квадраты,   – комплекс түйіндес функция.

(5.1)

шамасы ықтималдық тығыздығы, немесе бөлшек координаттарының үлестірілу тығыздығы.

Ықтималдық тығыздығы нормалау шартына бағынады :

( 5.2)

бұл шарт бөлшектің х осінде болуы ақиқат екендігін өрнектейді.

 (х,t) толқындық функция көмегімен координаттың орташа мәні былай анықталады :

• Толқындық функция , оның физикалық мағынасынан келіп шығатын белгілі шарттарды қанағаттандыруға тиіс. Ол координат пен уақыттың үздіксіз функциясы болуы тиіс. Толқындық функция бір мәнді және шектелген болуға тиіс. Осы математикалық талаптар жиынтығы үлгі шарттар деп аталады және нақты физикалық шарттарға сәйкес келеді: бөлшектің берілген орында болу ықтималдығы бір нүктеден келесі нүктеге біртіндеп өзгеруге (үздіксіздік), берілген нүкте үшін нақты (бір мәнділік), шектелген болуға тиіс.
• Егер бөлшектің кеңістіктің көлемі V белгілі аймағында ғана қозғалатыны белгілі болса, онда осы аймақта оның табылу ықтималдығы 1-ге тең болады.
• Кванттық теорияда негізгі постулаттардың бір ретінде пси-функцияның суперпозиция принципі қабылданылады. Егер қандайда бір жүйеде  1 және  2 күйлері мүмкін болса, онда ол үшін мынадай күй де мүмкін болады:

(5.4)

мұндағы a 1 және a 2 – қайсыбір тұрақты коэффициенттер. Осылай  - ді тауып, бұдан кейін жүйенің осы күйде болу ықтималдығының тығыздығын да анықтауға болады.

Шредингер теңдеуі

(5.5)

мұндағы m – бөлшек массасы, і – жорамал бірлік (), U – бөл-шектің потенциалдық энергиясы, – Лаплас операторы. (5.5) теңдеуінен толқындық функцияның түрін U функция, яғни түптеп келгенде бөлшекке әсер ететін күштердің сипаты анықтайтындығы шығады.

(5.5) теңдеуін Шредингердің жалпы теңдеуі дейді.

Стационарлық күйлер. Кванттық теорияда ерекше рольді стационарлық күйлер атқарады, бұларда барлық бақыланатын физикалық шамалар уақыт өткенде өзгермейді.

 -функцияның өзі негізінде бақыланбайды. Стационарлық күйлерде ол мына түрге келеді

(5.6)

мұндағы  (r) – функция уақытқа тәуелді емес.

C тационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі

Стационарлық күйлердегі  (r) - функцияны табу үшін (5.6) өрнекті (5.5) теңдеуіне қоямыз, сонда мына теңдеу шығады:

(5. 7 )

Бұл теңдеу стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі деп аталады.

(5. 8 )

Квантталу. Бордың теориясында квантталу жасанды түрде ендірілген болса, Шредингер теориясында ол өзінен-өзі шығады. Сонда (5. 8 ) теңдеуінің шешімдері ішінен физикалық мағынаға табиғи немесе үлгі (стандарт) шарттарды қанағаттандыратын шешімдері ғана ие болатынын ескеру жеткілікті болады. Осы шарттарды қанағаттандыратын шешімдер Е энергияның кейбір мәндерінде ғана мүмкін болады екен. Бұларды меншікті мәндер деп, ал энергияның осы мәндерінде (5. 8 ) теңдеуінің шешімдері болып табылатын  (r) - функциялары Е -нің меншікті мәндеріне сай меншікті функциялар деп аталады.

Физикалық шамалардың операторлары жайындағы түсінік

Оператор. 1926 ж. М.Борн, Н.Винер әрбір классикалық физикалық шамаға белгілі қасиеттерге ие, қайсыбір оператор салыстырылады деген идея ұсынды. Оператор-шартты белгі, немесе ереже; оны қолдану арқылы бір функциядан басқа функцияны алуға болады. Физикада операторлар әдетте үстіне  таңбасын қойып белгіленеді:

Оператор қасиеттері. Операторлардың қосындысы да оператор болады.

Кванттық механиканың негізгі постулаттары .

1-постулат . Әрбір динамикалық айнымалыға , әрбір физикалық шамаға (координат, импульс, энергия және т.б.) белгілі эрмиттік оператор сәйкес келеді.

Осы постулатқа сәйкес “физикалық операторлар” енгізілуге тиіс:

координат операторы, импульс операторы, энергия операторы және т.б.

2-постулат. операторымен кескінделетін қайсыбір динами-калық айнымалының сан мәнін өлшегенде, операторының меншікті мәні болып табылатын  1 ,  2 , ... сандарының бірі белгілі ықтималдықпен алынады.

• 3-постулат.  толқындық функция бейнелейтін кез-келген күйде L динамикалық айнымалы шамасының математикалық күтуі, толқындық функция нормаланған жағдайда, мына формуламен өрнектеледі:

Физикалық шамалардың операторлары .

• Координат және импульс проекциясының операторлары кванттық механиканың негізгі операторлары болып табылады.
• Импульс проекциясының операторы ретінде мына оператор алынады :
• Кинетикалық энергия операторы
• Гамильтон операторы (гамильтониан)