Сложные задачи с параметром

Сложные задачи с параметром

Эта задача является сложной не столько по количеству шагов в решении, сколько по не так часто встречающейся необходимости доказать, что для найденных значений a система имеет четыре различных решения.

Сначала решим облегчённую версию задачи из сборника для подготовки к ЕГЭ-2020. Математика. Профиль (10 вариантов, под ред. И. В. Ященко).

1. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

Перепишем второе уравнение системы в виде

 .

Это уравнение обращается в верное числовое равенство при выполнении любого из условий:

1)  ,  — любое число или 2)  ,  — любое число.

Рассмотрим эти случаи.

1) Если  , то первое уравнение системы имеет вид

 ,

 . (1)

При уравнение (1) имеет единственный корень , а система —решение (1; 0). Даже если в случае 2) получим два других решения, у системы не будет четырёх различных решений.

При a ≠ 0 уравнение (1) имеет два корня, если   0, т. е. если
a ∈  , где   .

Эти корни есть   и   .

Итак, в случае 1) лишь при a ∈  система имеет два различных решения:  и  .

2) Этот случай можно разобрать подробно, а можно заметить, что исходная система симметрична относительно x и y, т. е. если она имеет решение  , то имеет и решение  . Это означает, что в случае 2) лишь при a ∈  система имеет два различных решения:  и  , где
 и  .

Так как для любого значения a из множества A выполняются неравенства

 и  , то осталось из множества A исключить такие значения a (если они существуют), для которых совпадает хотя бы одна пара решений, записанных в разных строках:

 , 

 ,  .

Проверка показывает, что не существует значений a из множества A, для которых хотя бы одна из систем

   

имеет решение. Это означает, что для любого значения a из множества A исходная система имеет 4 различных решения.

Ответ.  .

Теперь рассмотрим задание 18 из шестого варианта упомянутого сборника.

2. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

Перепишем второе уравнение системы в виде

 .

Это уравнение обращается в верное числовое равенство при выполнении любого из условий:

1)  ,  — любое число или 2)  ,  — любое число.

Рассмотрим эти случаи.

1) Если  , то первое уравнение системы имеет вид

 ,

 . (2)

При  уравнение (2) не имеет корней.

При a ≠  уравнение (2) имеет два различных корня, если

  0, т. е. если
a ∈  , где  .

Эти корни есть   и   .

Итак, в случае 1) лишь при a ∈  система имеет два различных решения:  и  .

2) Если  , то первое уравнение системы имеет вид

 ,

 . (3)

При  уравнение (3) имеет единственный корень, а исходная система не имеет четырёх различных решений.

При a ≠  уравнение (3) имеет два различных корня, если

  0, т. е. если a ∈  , где   .

Эти корни есть  и  .

Итак, в случае 2) лишь при a ∈  система имеет два различных решения:  и  .

Так как для любого значения a из множества A ∩ B, т. е. из интервала  , выполняются неравенства  и  , то осталось из этого интервала исключить такие значения a (если они существуют), для которых совпадает хотя бы одна пара решений, записанных в разных строках:

 , 

 ,  .

Проверка показывает, что не существует значений a из интервала  , для которых хотя бы одна из систем

   

имеет решение. Это означает, что для любого значения a из интервала  исходная система имеет 4 различных решения.

Ответ.  .

А. В. Шевкин,
avshevkin@mail.ru

24.06.2020

2