Составление системы заданий исследовательского характера по алгебре и началам анализа.

Государственное бюджетное учреждение дополнительного образования Республики Адыгея

Адыгейский республиканский институт повышения квалификации

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

Составление системы заданий

исследовательского характера по алгебре и началам анализа.

Выполнили:

Учитель математики МБОУ СОШ №11

Кошехабльского района РА

Терчукова Майя Джабраиловна

Учитель математики МБОУ СОШ №11

Кошехабльского района РА

Бегеретова Муминат Измагиловна

Учитель математики МБОУ СОШ №11

Тахтамукайского района РА

Хатит Саниет Меджидовна

Майкоп, 2014

Актуальность проекта 3

Исследовательская деятельность учащихся. 5

Примеры задач исследовательского характера 9

Литература. 14

Главное изменение в обществе, влияющее на ситуацию в сфере образования, - ускорение темпов развития общества. В результате школа должна готовить своих учеников к жизни, к переменам, развивать у них такие качества, как мобильность, динамизм, конструктивность. Такая подготовка не может быть обеспечена за счёт усвоения определённого количества знаний. На современном этапе требуется другое: выработка умений делать выбор, эффективно использовать ресурсы, сопоставлять теорию с практикой и многие другие способности, необходимые для жизни в быстро меняющемся обществе.

Основной задачей при обучении учащихся математике стало:

• научить школьников учиться, то есть научить их решать проблемы в сфере учебной деятельности;

• научить объяснять решение любой, даже не математической, задачи;

• не отрицая значения предметных знаний, научить выпускников школы решать проблемы, задачи, которые ставит перед ними социум, общество, жизнь.

Мы считаем, что развитие школьника становится ключевым словом педагогического процесса, сущностным, глубинным понятием обучения. Именно поэтому выбрали проблему использования исследовательских методов решения задач, зная, что выпускники хотят связать свою жизнь с активной деятельностью, требующей от современного человека поиска наиболее актуальных и эффективных решений как в бизнесе. Так и в других сферах.

Действующие программы по математике определяют главным образом последовательность изучения определённого содержания. Они ориентируются в первую очередь на достижение «объёмных» образовательных результатов - на усвоение определённого объёма знаний. Поэтому наша задача на современном этапе - применяя новые педагогические технологии, научить школьников учиться. Ведь современная жизнь ставит человека в чрезвычайно изменчивые условия, требует от него решения всё новых и новых задач. Эффективное решение этих задач невозможно без определённого опыта деятельности по поиску подходов к проблеме, проигрыванию ситуации в уме, прогнозированию последствий тех или иных действий, проведению анализа результатов, поиску новых подходов и т.д. Конечно же, этот опыт нужно приобретать ещё в школе.

Но традиционные уроки не способствуют этому. На них ученик - пассивный слушатель, поглотитель информации.

Конечно, ни одна школьная программа не сможет предвидеть и охватить весь круг будущих задач, с которыми придётся столкнуться выпускнику. Кроме того, на материале школьного предмета можно построить далеко не любые, а только научные задачи, так называемые «познавательные». Думаю здесь важно то, что теоретические методы решения научных задач содержат те этапы, которые необходимы для рационального решения многих житейских вопросов. Поэтому обучать этим методам - означает готовить школьника к реальной жизни.

Как организовать такое обучение? Практика работы в школе привела нас к убеждению, что методу нельзя научить, рассказывая о нём или приводя примеры его применения другими людьми. Метод может быть освоен только в действии.

Каждому ребёнку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Ведь одного желания, как правило, недостаточно для успешного решения поисковых или исследовательских задач. Эффективность исследовательской деятельности зависит и от меры увлечённости ученика этой деятельностью, и от умения её выполнять. Прививая ученикам вкус к исследованию, тем самым вооружаю их методами научно-исследовательской деятельности необходимо организовывать работу детей так, чтобы они ненавязчиво усваивали бы процедуру исследования, последовательно проходя все его основные этапы:

• мотивация исследовательской деятельности;

• постановка проблемы;

• сбор фактического материала;

• систематизация и анализ полученного материала;

• выдвижение гипотез;

• проверка гипотез;

• доказательство или опровержение гипотез.

Свою задачу видим в поиске простых и удобных средств для практической реализации каждого из названных этапов.

Наиболее полно всем этим требованиям отвечает метод исследований.

Учителя нередко задают вопрос: “Зачем тратить время на исследовательскую работу, если часы на изучение предмета и так сокращаются, а программа при этом уплотняется и расширяется? ” У каждого учителя, увлекающего ребят исследовательской деятельностью, наверное, свой ответ на этот вопрос. Мне кажется, что именно этот вид деятельности способствует в большей степени формированию и развитию личности ребенка.

Учебные исследовательские работы учат грамотно решать любые проблемы, научные они или житейские. В решении проблем растет и развивается личность ребенка, при этом неважно каковы успехи ученика по математике, потому что опытный учитель сможет выбрать тему исследовательской работы, посильную данному учащемуся, дать ему индивидуальную работу или объединить усилия нескольких учеников. Групповая работа в исследовательском режиме удовлетворяет основную потребность подростка в общении.

Учебная исследовательская работа – один из методов проблемного обучения, а исследовательская работа на уроке – одна из форм постановки и решения проблемной задачи или изучения новой темы.

Успех исследовательской деятельности учащихся в основном зависит и обеспечивается правильным планированием видов и форм заданий, использованием эффективных систем заданий, а так же умелым руководством учителя этим видом деятельности. Сейчас в печати мы часто видим материал, посвященный, организации исследовательской деятельности, в котором много наукообразности. Эта наукообразность и пугает многих учителей. На самом деле овладение учащимися и учителями навыками исследовательской деятельности должно происходить поэтапно. Очень важно в данном процессе поддерживать интерес к самому процессу исследовательской деятельности, стимулировать творческий подход, создавать ситуацию успеха. Часто давая ребятам, тему для исследования и задание подобрать материал, учителя получают стопку листов бумаги, на которых материалы, скачанные с Интернета. Конечно, такой вид исследовательской деятельности не ведёт к развитию ребёнка, но и здесь учитель может получить положительный результат, если составит по этому тексту вопросы, на которые ученик должен найти ответы, используя, хотя бы данные материалы, но лучше не только их. Пусть эти банальные ответы на вопросы и будут его первой исследовательской работой на первом этапе. Работа с текстом и станет первым навыком исследовательской деятельности, который усвоит ученик. Этот навык ему очень пригодиться в дальнейшем. На этом этапе ученику важно показать, что ему по силам проведение исследований, что он сможет овладеть всеми навыками исследовательской деятельности.

Здесь же ученику можно показать, где и как осуществляется сбор фактического материала, как производится систематизация и анализ полученного материала. Лучше всего, если на первом этапе ученик выполнит работу реферативного плана, которая позволяет не выдвигать гипотезы, а лишь искать ответы на поставленные вопросы. Именно на этом этапе необходимо сделать акцент на значимости работы ученика и предложить ему выступить со своей работой перед учащимися, например, младших классов.

После того как ученик приобрёл навык работы с текстом и учебной литературой, можно перейти к следующему этапу. Теперь перед учеником следует обозначить некоторую проблему, которую он должен решить и предложить ему уже самому постараться составить вопросы, на которые он должен найти ответы, чтобы решить поставленную проблему.

Примером таких работ могут служить работы, связанные с решением задач различными способами, составление новых задач, вытекающих при решении данных.

На очередном этапе обучения исследовательской деятельности предполагается уже более глубокая работа с учащимися, заинтересованными в ней. Несомненно, на этом этапе ученик должен быть уверен в том, что он сможет сам поставить перед собой проблему и решить её. Сделав самостоятельно подборку литературы по этой теме, он сможет узнать историю данного вопроса, изучить материал необходимый для решения поставленной проблемы, т.е. выполнить основные этапы исследования:

• установление объекта изучения;

• постановка и формирование проблемы;

• определение цели и задач исследования;

• выдвижение гипотезы;

• построение плана исследования;

• проверка гипотезы;

• оформление результатов исследования;

• определение возможностей применения полученного результата на практике.

На этом этапе ученик уже должен не только оформить своё исследование в печатном виде, но и сделать презентацию этой работы, включив в неё основные этапы работы и полученный результат.

Реализации исследовательской деятельности на уроке, прежде всего, способствуют групповые формы работы учащихся, а темой исследования может стать, как, например, широкий круг задач с параметрами по любой из изучаемых тем, так и сама изучаемая тема в целом или её отдельные вопросы.

Но первое, что учитель для себя должен определить – это уровень готовности данного класса к тому или иному виду исследовательской деятельности. Начать формировать исследовательские навыки на уроке необходимо, прежде всего, с умения работать с учебником, поэтому обучение составлению по учебнику конспекта изучаемой темы - это первый шаг.

Следующий шаг – работа в парах. Например, при объяснении нового материала по теме “Линейная функция y= kx+m” ребятам можно дать задание:

• при каких значения параметра k график функции находится в I и III четвертях, а при каких в II и IV?

• как связаны между собой графики функций y=kx и y=kx+m?

Нам хотелось бы предложить для примера несколько тем исследовательской работы учащихся:

Отец современной алгебры - Франсуа Виет.

Цель работы:

• проследить историю жизни Ф.Виета;

• выяснить какие основы современной алгебры заложил Виет;

• установить какие геометрические открытия совершил он;

• как реформировал математический язык;

• каковы важнейшие труды Виета.

География математики.

Цель работы: исследовать возникновение и развитие различных математических понятий в наиболее известных странах мира; первая её часть может быть посвящена Греции и Индии.

Ребята провели исследования по следующим вопросам:

• как зарождалась математика в Элладе

• каковы были первые успехи научной школы Эллады

• что такое “Афинское содружество учёных”

• как Евклид создал свою Математическую Вселенную

• кто является наследниками Евклида

• как произошёл закат греческой математики

• почему можно говорить о самобытности математической школы Индии

• кто способствовал распространению открытий индийских математиков

• в чем заключаются особенности математических достижений эллинов и индийцев.

Учет расходов семьи на питание, составление алгоритмов кулинарных рецептов.

Цель работы:

• научиться рассчитывать семейный бюджет, для этого провести исследование расходов семьи на питание в течение одного - двух месяцев;

• узнать правила составления меню на неделю для семьи из 4-х человек с учётом рациональности питания.

1. Исследование потребления электроэнергии в зависимости от времени года. Анализ статистических результатов перехода на летнее время.

2. Тайны натурального ряда и систем счисления.

3. Практические задачи с параметрами при изучении темы “Линейная и квадратичная функции”.

4. История возникновения топологии. Исследование и решение простейших типов топологических задач.

5. Исследование квадратных уравнений с параметрами.

Задача 1. Может ли корень уравнения ─3(х ─ 4) ─ b = х ─ 11 являться положительным числом? При каком условии?

Решение. Данную задачу можно решить как аналитическим, так и графическим способом.

Выразим переменную х через b:

х = (b + 1) : 2.

Задача 2. Верно ли, что при любом значении k система уравнений

х² + у² = 9,

х ─ у = k.

имеет единственное решение?

Решение. Выразим х из второго уравнения системы и подставим в первое. Получим

(у + k) ² + у² = 9, или 2 у² + 2у k + k² ─ 9 = 0.

Вычислим дискриминант D последнего уравнения: D = ─ k² + 18. Система имеет единственное решение, если D = 0, т.е. при k₁ = ─ 3√2 или k₂ = 3.

Но для любого значения k нельзя утверждать, что исходная система имеет единственное решение. Значит, на вопрос задачи надо ответить отрицательно.

Задача 3. Могут ли не пересекаться графики функций

у = ах² + 3х ─ 4 и у = ах ─ 5?

Решение. Найдем условие, при котором графики данных функций пересекаются. Для этого составим уравнение ах² + 3х ─ 4 = ах ─ 5, ах² + х(3 ─ а) + 1 = 0.

Его дискриминант D = а² ─ 10а + 9. Уравнение не имеет решения, если D ˂ 0, т.е. а а ɕ (1; 9). Следовательно, графики функций у = ах² + 3х ─ 4 и у = ах ─ 5

не пересекаются при а ɕ (1; 9). Значит, к задаче надо дать такой ответ: да, графики исходных функций могут не пересекаться.

Задача 4. Могут ли числа а, в, с быть одновременно последовательными членами арифметической и геометрической прогрессий?

Решение. Пусть d – разность арифметической прогрессии, а q – знаменатель геометрической прогрессии. Представим числа а, в, с в виде арифметической прогрессии: а, в = с + d, с = а + 2 d и геометрической прогрессии: а, в = а q, с = а q² .

Тогда а + d = а q, (*)

а + 2d = а q²

Если а = 0, то d = 0 и q – любое действительное число, тогда последовательность выглядит так: 0, 0, 0.

Если а ≠ 0, то от системы (*) переходим к квадратному уравнению

относительно q. Решая его, находим, что условие задачи выполняется

лишь при d = 0. Тогда q = 0, и последовательность выглядит так: а, а, а.

Задача 5. Имеет ли решение уравнение

(х + 6) + (х + 9) + (х + 12) + (х + 15) + (х + 18) + (х + 21) + (х + 24) = 182 ?

Решение. Слагаемые в скобках – члены арифметической прогрессии с разностью, равной 3. Тогда, использовав формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, получим

((х + 6) + (х + 24)) · 7 : 2 = 182

Отсюда х = 11 Таким образом, данное уравнение имеет решение

х = 11.

Задача 6. Существуют ли такие значения а, что уравнение (а² + а ─ 2) х = а ─ 1 не имеет корней?

Задача 7. Найти значения параметра m, при каждом из которых уравнение 2x² + 3x + m = 0 имеет два различных отрицательных корня.

Решение. В соответствии с теоремой

D = 9 – 8m, 9 – 8m 0, m