Становление геометрии. "Начала" Евклида и их роль в развитии математической культуры

Становление геометрии. «Начала» Евклида и их роль в развитии математической культуры

Выполнила:

Манина Ирина

Становление геометрии

Геометрия ( «гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерить) - «землемерие».

Греческие ученые

Фалес (ок. 625 – 547 гг. до н.э.)

Пифагор (ок. 580-500 гг. до н.э.)

Демокрит ( ок. 460 – 370 гг. до н.э.)

Евклид (325 г. до н. э. - 265 г. до н. э.)

– древнегреческий математик

«Начала» Евклида

Излагаются:

• планиметрия,
• стереометрия,
• арифметика,
• отношения по Евдоксу.

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь гласят:

• Точка есть то, что не имеет частей («Точка есть то, часть чего ничто»).
• Линия — длина без ширины.
• Края же линии — точки.
• Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.
• Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
• Края же поверхности — линии.
• Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Постулаты:

• От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
• Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
• Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

Постулаты:

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Джироламо Саккери (1667—1733) — создатель первого наброска неевклидовой геометрии.

Никола́й Ива́нович Лобаче́вский (20 ноября (1 декабря) 1792,  — 12 (24) февраля 1856) — русский математик, один из создателей неевклидовой геометрии.

Эквиваленты пятого постулата

• Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.
• Существует треугольник сколь угодно большой площади.
• Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Иоганна Фридриха Лоренца, 1791).
• Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны (одно из предположений Лежандра, 1800).
• Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую — сближаются.

Аксиомы

• Равные одному и тому же равны и между собой.
• И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
• И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
• И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

Аксиомы

• И удвоенные одного и того же равны между собой.
• И половины одного и того же равны между собой.
• И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

• И целое больше части.
• И две прямые не содержат пространства

Обзор содержания книг II—XIII

II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры».

III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах.

IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках.

V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским.

VI книга — учение о подобии геометрических фигур.

VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике (теории целых и рациональных чисел).

Обзор содержания книг II—XIII

X книга — классификация несоизмеримых величин (квадратичные иррациональности).

XI книга — начала стереометрии. XII книга — теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания (площади и объёмы).

XIII книга — построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.

Давид Гильберт (1862 —1943) —выдающийся немецкий математик-универсал

Эквивалент пятого постулата в учебнике Атанасяна

Через точку не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы параллельных прямых

Первое следствие

Дано: a||b, с∩a

Доказать: c∩b

Доказательство от противного:

• Пусть a||b, с∩a в точке М

• Предположим, что с не ∩ b.
• Тогда через точку М проходят две прямые a и c параллельные прямой b.
• Получили противоречие с аксиомой параллельных прямых. Значит наше предположение не верно и .следовательно с∩b.

Второе следствие

Дано: a||с, b||c

Доказать: a||b

Доказательство от противного:

Пусть a||с, b||c.

Предположим, что a∩b в некоторой точке О.

Тогда через точку О проходят две прямые a и b параллельные прямой c.

Получили противоречие с аксиомой параллельных прямых. Значит наше предположение не верно, следовательно a||b.