Статья "Замечания о методе интервалов"

ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ ИНТЕРВАЛОВ

Н.А. КЛИМЕНКО, учитель школы №1 г. Петропавловска

Тема «Неравенства» занимает важное место в курсе алгебры. Данная тема богата по содержанию, по способам и приемам решения неравенств, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем школьного курса алгебры. Так как время на выполнение теста и контрольной работы ограничено, ученики должны владеть универсальными алгоритмами решения неравенств. Как показывает опыт работы в школе, метод интервалов является универсальным методом решения не только рациональных, а широкого класса неравенств.

Для успешного применения метода интервалов, школьники должны усвоить следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции и корни уравнения . Пусть, например, корнями являются числа ;

2. Начертить числовую прямую, нанести на прямую числа . Отметить кратные корни (если есть). Числа разбивают числовую прямую, с учетом области определения, на некоторое число интервалов;

3. Определить знак функции на каждом интервале с помощью пробной точки, либо использовать «правило чередования знаков», свойства конкретной функции, соображения четности и т.д..

4. Отобрать удовлетворяющие неравенству промежутки и записать их в ответ.

Ошибки, допускаемые учащимися при решении неравенств самые разнообразные. Выше изложенный алгоритм позволяет избежать ошибок, связанных как с неверным оформлением решения, так и ошибок логического характера.

Рассмотрим примеры применения метода интервалов:

Пример 1. Решите неравенство:

Решение:

1. Согласно первому пункту выше изложенного алгоритма, определяем тип неравенства. Данное неравенство является дробно-рациональным.

2. Найдем нули функции и точки, в которых она неопределенна:

1. На числовой прямой отмечаем, полученные в пункте 2, точки.

2. В результате можно сделать вывод о том, что числовая прямая разбивается на интервалы , на каждом из которых функция сохраняет свой знак постоянным.

Определим знак на крайнем правом промежутке, воспользовавшись пробной точкой, например . Далее вступает в силу правило чередования знаков (так как нет кратных корней). Рисунок 1 является достаточным пояснением к решению.

Выберем промежутки, на которых . Запишем ответ.

Ответ: .

Пример 2. Решите неравенство:

Решение:

1. Данное неравенство является дробно-рациональным, содержит радикалы.

2. Найдем область определения функции . Функция определена и непрерывна при любых значениях переменной.
Найдем нули функции .

Нули числителя – кратными не являются, при переходе через них знаки неравенства на промежутках будут чередоваться.

3. Так как неравенство строгое, корни , на числовой оси изобразим выколотыми точками.

4. Числовая прямая разбивается на интервалы , на каждом из которых функция сохраняет свой знак постоянным.

Обобщим полученные данные. Изобразим на числовой прямой область определения и нули функции. С помощью пробной точки определяем знак функции на каждом из полученных интервалов (рисунок 5):

Неравенство выполняется в промежутках . Объединение этих промежутков и представляет собой решение данного неравенства. Запишем ответ.

Ответ: .

Пример 3. Решим неравенство:

Решение:

1. Данное неравенство является дробно-рациональным, содержащим показательные выражения.

2. Функция определена и непрерывна на множестве Найдем нули функции и точки, в которых функция неопределенна:

1. Данное неравенство является нестрогим, поэтому нули числителя будут на оси изображены закрашенными точками.

2. Числовая прямая, с учетом области определения неравенства, разбивается на интервалы , на каждом из которых функция сохраняет свой знак постоянным. Например, для определения знака на правом промежутке возьмем пробную точку , значение функции в которой равно , то есть функция на правом промежутке принимает положительные значения. В результате рассуждений получим следующий рисунок:

Выберем интервалы, на которых. Запишем ответ.

Ответ: .

Можно привести примеры применения метода интервалов для неравенств содержащих тригонометрические и логарифмические выражения.